1. 下列關于空間幾何體的論述，正確的是（ ）
A. 有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱
B. 有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺
C. 連接圓柱上下底面圓周上任意兩點的線段是圓柱的母線
D. 存在三棱錐，其四個面都是直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩個底面全等的斜棱柱拼接可判斷A；利用兩個上底面全等，下底面相似的棱臺拼接可判斷B；考慮連線是否平行于旋轉(zhuǎn)軸可判斷C；在正方體中，取三棱錐即可判斷D.
【詳解】對于A，如圖1，利用兩個底面全等的斜棱柱拼接而成的幾何體滿足A中條件，但該幾何體不是棱柱，A錯誤；
對于B，如圖2，利用兩個上底面全等，下底面相似的棱臺拼接而成的幾何體滿足B中條件，
但該幾何體不是棱臺，B錯誤；
對于C，連接圓柱上下底面圓周上任意兩點，只有連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線，C錯誤；
對于D，如圖3，在正方體中，連接，
因為平面，平面，
所以，所以為直角三角形.
又平面，平面，
所以，所以為直角三角形.
所以三棱錐的四個面都是直角三角形，D正確.
故選：D
2. 已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則在復平面內(nèi)對應的點為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)乘法求出的實部和虛部，即可得出其對應的點.
【詳解】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，所以，
所以，則在復平面內(nèi)對應的點為.
故選：.
3. 已知平面向量和滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影向量為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定義求解即可.
【詳解】向量和滿足，由在方向上的投影向量為，
可得，解得，
所以在方向上的投影向量為.
故選：D.
4. 充滿氣的車輪內(nèi)胎可由下面某個圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)而成，這個圖形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：由已知可得選項C繞對稱軸旋轉(zhuǎn)才能形成充滿氣的車輪內(nèi)胎，故選C.
考點：空間幾何體.
5. 已知O是△ABC的外心，，，則△ABC的外接圓半徑（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先結(jié)合圓的性質(zhì)可得，則，再利用正弦定理求解可得答案.
【詳解】O是△ABC的外心，則在上的投影向量為，
所以，解得，
由正弦定理，∴，
故選：B.
6. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′（如圖2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，則直角梯形DC邊的長度是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】由圖形可知 ．故選B．
7. 如圖，圓錐底面半徑為3，母線，，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達B點，最短路線長度為（ ）
A. B. 16C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】把圓錐側(cè)面沿母線剪開，展在同一平面內(nèi)，再利用兩點間距離最短求出結(jié)果.
【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線剪開，展在同一平面內(nèi)得扇形，連接，如圖，
令扇形圓心角大小為，則，解得，
在中，，則，
所以一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達B點，最短路線長度為.
故選：C
8. 圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美.小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為（ ）
A. 30mB. 20mC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中由正弦得出AM，再結(jié)合中由正弦定理得到CM，進而能求CD．
【詳解】由題意知：，則，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
且
在中，
(m)．
故選：C．
二、多選題
9. 已知復數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 若，則D.
【答案】BD
【解析】
【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)復數(shù)的乘法運算及復數(shù)的模的公式即可判斷B；根據(jù)兩個虛數(shù)無大小關系判斷C；根據(jù)復數(shù)加減法的幾何意義及坐標表示即可判斷D.
【詳解】對于A，設，顯然，但，故A錯誤；
對于B，設，，則，
所以，
，
所以，故B正確；
對于C，因為兩個虛數(shù)的?？梢员容^大小，而兩個虛數(shù)不能比較大小，所以C錯誤；
對于D，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，復數(shù)在復平面內(nèi)對應向量，復數(shù)對應向量，
為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的對角線的長度，
所以，故D正確.
故選：BD.
10. 已知，，則正確的有（ ）
A. B. 與方向相反的單位向量是
C. 與的夾角為D. 在上的投影向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】由坐標表示向量的數(shù)量積可得A正確；先求出與方向同向的單位向量再求其相反向量可得B錯誤；由向量夾角的余弦計算可得C正確；由投影向量的計算可得D錯誤.
詳解】對于A，，故A正確；
對于B，與方向同向的單位向量是，所以相反的單位向量為，故B錯誤；
對于C，，又，所以與的夾角為，故C正確；
對于D，在上的投影向量是，故D錯誤.
故選：AC
11. 已知銳角三個內(nèi)角的對應邊分別為，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的取值范圍為
B. 的最小值為
C. 的面積最大值為
D. 的值可能為3
【答案】AD
【解析】
【分析】先根據(jù)為銳角三角形，求出的范圍，再根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，則利用的取值范圍判斷A，利用平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理將數(shù)量積表示為一元函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值判斷B，利用三角形面積公式判斷C，利用余弦定理求出的范圍，再判斷D即可.
【詳解】對于A，因為為銳角三角形，且，
所以，解得，
同理可得，則的取值范圍為，故A正確，
對于B，由余弦定理得，即，
則，而，
，
令，由正弦定理得，
則，
因為，所以，得到，
則，而，得到，
由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則，
即的最小值不為，故B錯誤，
對于C，由三角形面積公式得，
則的面積最大值不為，故C錯誤，
對于D，因為，所以，
因為，
而，所以的值可能為3，故D正確.
故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是結(jié)合題意求出的取值范圍，然后利用平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到所要求的最值即可．
三、填空題
12. 如圖所示，三棱臺的體積為，，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分幾何體的體積為____.
【答案】
【解析】
【分析】設的面積為，三棱臺的高為，可知，利用臺體的體積公式可求得的值，再利用臺體和錐體的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】設的面積為，三棱臺的高為，
易知，且，則，
則，可得，
，
所以，沿平面截去三棱錐，
則剩余的部分幾何體的體積為.
故答案為：.
13. 已知的三個內(nèi)角分別為、、，，求的值___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到結(jié)果.
【詳解】由余弦定理得：，
由正弦定理（r為外接圓的半徑），
得，
則，
故答案為：
14. 在中，是邊的中點，是線段的中點．設，，若，的面積為，則當______．時，取得最小值．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)向量加減法的線性運算求解，由的面積求得的值，利用平面向量的線性運算與數(shù)量積運算求出，利用基本不等式求出它取最小值時、的值，再利用余弦定理求出的值．
【詳解】是邊的中點，是線段的中點，
則，，
所以，
如圖所示，中，，
所以的面積為，
所以，
所以
，
當且僅當時取等號，
所以最小值為6，
所以此時，，，
所以，
所以．
故答案為：2．
四、解答題
15. 已知復數(shù)
（1）若復數(shù)是方程的一個復數(shù)根，求實數(shù)a，b的值；
（2）若復數(shù)滿足，求．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的乘法運算，結(jié)合復數(shù)相等的充要條件，即可列方程求解，
（2）由復數(shù)的除法運算可得，即可由模長公式求解.
【小問1詳解】
，所以，
【小問2詳解】
由可得
故
16. 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，向量，.
（1）求；
（2）若.求的面積.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標表示可得，利用正弦定理把邊化為角，再利用三角形內(nèi)角和定理、和差公式及輔助角公式即可求解；
（2）利用向量的線性運算可得，結(jié)合題意由、向量數(shù)量積及面積公式即可求解.
【小問1詳解】
因為，所以，
所以，
所以，
所以，
，即，
又，故，即.
【小問2詳解】
，所以，
，
,
又,即,
,
或（舍）,
故.
17. 在直角梯形中，，，，點是邊上的中點.
（1）若點滿足，且，求的值；
（2）若點是線段上的動點（含端點），求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加減運算法則，以為基底表示出得出的取值可得結(jié)論；
（2）法1：建立平面直角坐標系利用數(shù)量積的坐標表示即可得出的取值范圍；
法2：利用極化恒等式得出，即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
如下圖所示：
由可得，
所以，
又，可得
所以；
【小問2詳解】
法1：以點為坐標原點，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標系，
則，則，
由點是線段上的動點（含端點），可令，
所以，則，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得當時取得最小值；
當時取得最大值；
可得
法2：取中點，作垂足為，如下圖所示：
則
顯然當點位于點時，取到最大值3，當點位于點時，取到最小值，
可得
18. 養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖為直岸線，，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.
（1）求岸線上點與點之間的直線距離；
（2）如果線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬元的經(jīng)濟收益，線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬元的經(jīng)濟收益.記，設兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益為萬元，求的取值范圍.
【答案】（1）千米
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理，結(jié)合題意，可得答案；
（2）由正弦定理，表示出邊，整理利潤的三角函數(shù)表達式，可得答案.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理，得
即岸線上點A與點之間直線距離為千米.
【小問2詳解】
在中，設，
，
故有，
，
設兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益為萬元，則
，
故的取值范圍為.
19. 定義：若非零向量，函數(shù)的解析式滿足，則稱為的伴隨函數(shù)，為的伴隨向量．
（1）若向量為函數(shù)的伴隨向量，求；
（2）若函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)，在中，，，且，求的值；
（3）若函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)，關于x的方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式與誘導公式化簡，依題即得，求其模長即可；
（2）利用伴隨函數(shù)定義和題設條件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；
（3）利用降冪公式根據(jù)將方程化成，根據(jù)和余弦值的符號分段化簡函數(shù)，作出其圖象，將方程的根的情況化成函數(shù)與函數(shù)的圖象在上的交點情況，結(jié)合圖象易得.
【小問1詳解】
因，
則，故.
【小問2詳解】
依題意，，
由可得，
因，則，故，解得
因，則，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
【小問3詳解】
依題意，，
由可得，
即，
當或時，；
當時，，
作出函數(shù)在上的圖象.
因方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根
等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有四個交點.
由圖知，當且僅當時，兩者有四個交點.
故實數(shù)m的取值范圍為.

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