1．①平行向量就是共線向量；②若向量與是共線向量，則A、B、C、D四點共線；③若非零向量與滿足+＝0，則、為相反向量．其中正確的有（ ）個．
A．0B．1C．2D．3
2．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則＝（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量滿足，且，則＝（ ）
A．B．C．D．
4．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝（λ，﹣1），，則λ等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣D．
5．已知向量與的夾角為30°，，，若，則實數(shù)λ＝（ ）
A．B．1C．D．2
6．設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為﹣，則|﹣2|＝（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ccsB+bcsC＝asinA，△ABC的面積S＝（b2+a2﹣c2），則B＝（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分線AD的長為，則BC邊上的高線AH的長等于（ ）
A．B．C．2D．
二．多選題
（多選）9．下列說法中錯誤的為（ ）
A．已知，且與夾角為銳角，則
B．已知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．若且，則
D．若非零，滿足，則與的夾角是60°
（多選）10．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若csA＝csB，則△ABC為等腰三角形
B．若A＞B，則sinA＞sinB
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個
D．若sin2A+sin2B＞sin2C，則△ABC是銳角三角形
（多選）11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列選項正確的是（ ）
A．若，，則△ABC有兩解
B．若，，則△ABC無解
C．若△ABC為銳角三角形，且B＝2C，則
D．若A+B＝2C，則a+b的最大值為
三．填空題（共10小題）
12．在△ABC中，，P是直線BD上一點，若，則實數(shù)m的值為 ．
13．在矩形ABCD中AB＝4，，點E為邊AB的中點，點F為線段BC上的動點，則的取值范圍是 ．
14．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時間約是 分鐘．（注：）
四．解答題
15．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且（2﹣）?（+3）＝﹣5．
（1）若（﹣k）⊥（k+），求實數(shù)k的值；
（2）求與2+的夾角．
16．在△ABC中，BC＝6，∠ACB＝60°，邊AB，BC上的點M，N滿足，，P為AC中點．
（1）設(shè)，求實數(shù)λ，μ的值；
（2）若，求邊AC的長．
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為
.
（1）求角C；
（2）若的面積為，求△ABC的周長．
18．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，連接AD并延長到點E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求線段BE的長．
19．如圖所示，在△ABD的邊BD外側(cè)作△BCD，使得四點A，B，C，D在同一平面內(nèi)．
（1）若證明：為一個定值；
（2）若銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2+b（b﹣a）＝4，c＝2，求a﹣b的取值范圍．
江陰市第二中學(xué)2024級高一數(shù)學(xué)階段性檢測參考答案與試題解析
一．選擇題
1．①平行向量就是共線向量；②若向量與是共線向量，則A、B、C、D四點共線；③若非零向量與滿足+＝0，則、為相反向量．其中正確的有（ ）個．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：對于①：由共線向量定義可知，①正確；
對于②：若向量與是共線向量，則表示向量與的線段有可能平行或重合，故②錯誤；
對于③：若非零向量與滿足，則，所以、互為相反向量，故③正確．
故選：C．
2．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意得：，又，，
所以．故選：D．
3．已知平面向量滿足，且，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為平面向量，滿足，且，，
所以，所以，解得，
所以，．故選：D．
4．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝（λ，﹣1），，則λ等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．﹣D．
【解答】解：∵＝（1，2），＝（2，﹣2），∴2+＝2（1，2）+（2，﹣2）＝（4，2），
∵＝（λ，﹣1），，∴（λ，﹣1）＝（4，2），∴2λ＝﹣4，解得λ＝﹣2，
故選：A．
5．已知向量與的夾角為30°，，，若，則實數(shù)λ＝（ ）
A．B．1C．D．2
【解答】解：若，則?（λ﹣）＝λ﹣?＝4λ﹣2××cs30°＝0，
即4λ﹣3＝0，解得實數(shù)λ＝．故選：A．
6．設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為﹣，則|﹣2|＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為在方向上的投影向量為﹣，所以＝﹣，則＝﹣，
又因為，為單位向量，所以，所以cs＜，＞＝﹣，
所以|﹣2|＝＝＝＝．故選：D．
7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ccsB+bcsC＝asinA，△ABC的面積S＝（b2+a2﹣c2），則B＝（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【解答】解：由正弦定理及ccsB+bcsC＝asinA，得sinCcsB+sinBcsC＝sin2A，
所以sin（C+B）＝sinA＝sin2A，
因為0＜A＜180°，所以sinA＝1，即A＝90°，
因為S＝（b2+a2﹣c2）＝absinC，且c2＝b2+a2﹣2abcsC，
所以?2abcsC＝absinC，化簡得tanC＝＝，
又0＜C＜90°，所以C＝60°，所以B＝30°．故選：D．
8．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分線AD的長為，則BC邊上的高線AH的長等于（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：由題意知，設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，則∠BAC＝2α，如圖所示，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得，
整理得，即，又因為sinα≠0，所以，
所以，所以，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝32+22﹣2×3×2cs2α＝13﹣4＝9，所以a＝3，
由，可得，解得．
故選：B．
二．多選題
（多選）9．下列說法中錯誤的為（ ）
A．已知，且與夾角為銳角，則
B．已知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．若且，則
D．若非零，滿足，則與的夾角是60°
【解答】解：對于A選項，已知，且與夾角為銳角，
則，解得，
當(dāng)與共線時，即（1，2）∥（1+λ，2+λ），可得2+λ﹣2（1+λ）＝0，解得λ＝0，
由于當(dāng)λ＝0時，與相等，夾角為零度，不符合題意，所以且λ≠0，故A選項錯誤；
對于B選項，因為，所以與共線，
則，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，
故B選項正確；
對于C選項，由可得：，
因為，所以有可能或，故C選項錯誤；
對于D選項，若非零，滿足，
由可得：
，
，解得，
根據(jù)兩向量的夾角公式可得
，再利用，代入得：
，
因為，所以，
則與的夾角是60°是錯誤的，故D選項錯誤．
故選：ACD．
（多選）10．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若csA＝csB，則△ABC為等腰三角形
B．若A＞B，則sinA＞sinB
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個
D．若sin2A+sin2B＞sin2C，則△ABC是銳角三角形
【解答】解：A，在三角形內(nèi)，若csA＝csB，則A＝B，∴△ABC為等腰三角形，故A正確，
B，若A＞B，由a＞b，所以2rsinA＞2rsinB，則sinA＞sinB，故B正確；
C，由余弦定理可得b2＝82+102﹣2×8×10×cs60°，b唯一，只有一解，故C錯誤；
D，若sin2A+sin2B＞sin2C，則根據(jù)正弦定理得a2+b2＞c2，cs＝＞0，∴C為銳角，但角A，B無法判斷，故D不正確；
故選：AB．
（多選）11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列選項正確的是（ ）
A．若，，則△ABC有兩解
B．若，，則△ABC無解
C．若△ABC為銳角三角形，且B＝2C，則
D．若A+B＝2C，則a+b的最大值為
【解答】解：對于A，因為，所以csinB＜b＜c，則△ABC有兩解，故A正確；
對于B，因為，所以△ABC有且僅有一解，故B錯誤；
對于C，由，得，故C正確．
對于D，因為A+B＝2C，所以，又因為，
所以，
則
＝，
因為，所以，
所以當(dāng)，即時，a+b取得最大值，故D正確．
故選：ACD．
三．填空題
12．在△ABC中，，P是直線BD上一點，若，則實數(shù)m的值為 ﹣ ．
【解答】解：在△ABC中，，P是直線BD上一點，且，
故可設(shè)，
所以，
又，所以，
所以，所以，所以，．故答案為：．
13．在矩形ABCD中AB＝4，，點E為邊AB的中點，點F為線段BC上的動點，則的取值范圍是 [8，20] ．
【解答】解：以A為坐標(biāo)原點，AB，AD分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則D（0，2），E（2，0），F(xiàn)（4，t），其中t∈[0，2]，
所以＝（2，﹣2），＝（4，t﹣2），
所以＝8﹣2（t﹣2）＝20﹣2t∈[8，20]．
故答案為：[8，20]．
14．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時間約是 15 分鐘．（注：）
【解答】解：設(shè)緝私艇最快在D處追上走私船，追上走私船需t小時，則BD＝10t，，
∴在△ABC中，已知，AC＝2，
∵∠BAC＝45°+75°＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cs∠BAC
＝，即，
由正弦定理得，則，
∴∠ABC＝45°，∴BC為東西走向，∴∠CBD＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得，
則，且∠BCD為銳角，
∴∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°∴，
即，∴小時，即15分鐘．故答案為：15．
四．解答題
15．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且（2﹣）（+3）＝﹣5．
（1）若（﹣k）⊥（k+），求實數(shù)k的值；
（2）求與2+的夾角．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量，滿足||＝1，||＝2，且（2﹣）?（+3）＝﹣5，
則有（2﹣）?（+3）＝22﹣32+5?＝2﹣12+5?＝﹣5，變形可得?＝1，
若（﹣k）⊥（k+），則（﹣k）⊥（k+）＝k2﹣k2+（1﹣k2）?＝﹣3k+1﹣k2＝0，
解可得：k＝或；
（2）根據(jù)題意，設(shè)與2+的夾角為θ，
則（2+）2＝42+2+4?＝12，則|2+|＝2，
?（2+）＝22+?＝3，
故csθ＝＝＝，
又由0≤θ≤π，則θ＝，即與2+的夾角為．
16．在△ABC中，BC＝6，∠ACB＝60°，邊AB，BC上的點M，N滿足，，P為AC中點．
（1）設(shè)，求實數(shù)λ，μ的值；
（2）若，求邊AC的長．
【解答】解：（1）因為，，所以，，
所以＝，
又，且、不共線，所以，；
（2）因為，
所以
＝，
解得或（舍去），即邊AC的長為8．
17.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為
，且．
（1）求角C；
（2）若的面積為，求△ABC的周長．
【解答】解：（1）∵，＝（a，c﹣b），＝（sinC+sinB，sinA+sinB），
∴a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），∴由正弦定理得a（a﹣b）＝（c﹣b）（c+b），
即a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理得，又C∈（0，π），則；
（2）由（1）得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴（a+b）2﹣ab＝c2＝18，
又，則ab＝6，∴（a+b）2＝18+ab＝24，即，
∴△ABC的周長為．
18．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，連接AD并延長到點E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求線段BE的長．
【解答】解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，
∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cs∠ADB+cs∠ADC＝0，
由題意設(shè)BD＝DC＝x，AB＝4，AC＝2，
則在△ADB中，由余弦定理得cs∠ADB＝＝＝，
在△ADC中，由余弦定理得cs∠ADC＝＝＝，
∴+＝0，解得x＝2，∴BC＝2BD＝4，
在△ABC中，由余弦定理得cs∠BAC＝＝＝﹣；
（2）∵AB＝4，AC＝2，∠ABC＝，
∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcs∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4×BC，解得BC＝2，∵點D為BC的中點，∴BD＝BC＝，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BDcs∠ABC＝16+2﹣2××4×＝10，即AD＝，∵AE＝3DE，∴AE＝AD＝，
在△ABD中，由余弦定理得cs∠BAE＝＝＝，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB?AEcs∠BAE＝16+（）2﹣2×4××＝，即BE＝．
19．如圖所示，在△ABD的邊BD外側(cè)作△BCD，使得四點A，B，C，D在同一平面內(nèi)．
（1）若，證明：為一個定值；
（2）若銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2+b（b﹣a）＝4，c＝2，求a﹣b的取值范圍．
【解答】（1）證明：在△ABD中，因為，
由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB?ADcs∠BAD
＝＝，①
在△BCD中，BC＝CD＝m，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC?CDcs∠BCD
＝m2+m2﹣2×m×mcs∠BCD＝2m2﹣2m2cs∠BCD，②
由①②可得，
化簡得，即證得為一個定值1；
（2）解：由a2+b（b﹣a）＝4，c＝2，可知a2+b2﹣ab＝c2，
由余弦定理可得a2+b2﹣2abcsC＝c2，所以csC＝，又0°＜∠ACB＜180°，則∠ACB＝60°，
由正弦定理可得：＝，
所以，
所以＝[sin∠BAC﹣sin（∠BAC+∠ACB）]
＝
＝＝，
在銳角△ABC中，則，
則30°＜∠BAC＜90°，得﹣30°＜∠BAC﹣60°＜30°，可得sin（∠BAC﹣60°）∈（﹣，），
所以，故，
即a﹣b的取值范圍為．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
A
A
D
D
B

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