（滿分150分，時間 120分鐘）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量加法三角形法則即可得到結(jié)果.
【詳解】.
故選：A.
2. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式計算即可.
【詳解】
,
故選：B
【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值，屬于容易題.
3. 在中，為邊上一點，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的減法法則化簡可得答案.
【詳解】在中，為邊上一點，，即，
因此，.
故選：C.
4. 如圖，有三個相同的正方形相接，若，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出和的值，再由正切函數(shù)的兩角和的正切公式即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)正方體邊長為1，由圖可得，，
則，
故選：B.
5. 已知=（cs23°，cs97°）， =（sin97°，sin23°），則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運算和逆用兩角和的正弦公式即可得出答案.
【詳解】由數(shù)量積的坐標(biāo)運算可知，
故選：D.
6. 已知向量、的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量垂直可得出，再利用投影向量的定義可求得向量在向量上的投影向量.
【詳解】因為，則，可得，
因為向量、的夾角為，則向量在向量上的投影向量為.
故選：B.
7. 已知，則的值是（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】變形給定等式，利用和差角的余弦公式化簡即得.
【詳解】由，得，
則，
因此，
所以.
故選：D
8. 已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點且，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意得，由三點共線求得，利用向量數(shù)量積運算求解即可.
【詳解】由，得，且，
而三點共線，則，即，
所以，
所以.
故選：A.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分.
9. 下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（ ）
A. 若向量、共線，則點、、、必在同一直線上
B. ，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底
C. 邊長為的正方形中，
D. 若點為的重心，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量的定義可判斷A選項；利用平面向量基底的概念可判斷B選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷C選項；利用平面向量的線性運算結(jié)合重心的幾何性質(zhì)可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若向量、共線，則點、、、在同一直線上或，A錯；
對于B選項，因為，，則，即，
所以，，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底，B對；
對于C選項，因為四邊形是邊長為的正方形，則，
，C錯；
對于D選項，延長交于點，則為的中點，且，
所以，，
所以，，D對.
故選：BD.
10. 下列選項正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若．且，則
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對選項A，由分子分母同除以求解判斷；對選項B，利用兩角和的余弦公式求解判斷；對選項C，利用二倍角的正弦公式求解判斷；對選項D，利用兩角和的正切公式求解判斷.
【詳解】對選項A，分子分母同除以得，即，故A正確；
對選項B，∵，∴，
∴，
∵，∴，∴．故B正確；
對選項C，，
，故C錯誤；
對選項D，，
，故D正確．
故選：ABD.
11. 定義兩個平面向量的一種運算，為的夾角，則對于兩個平面向量，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù) 的定義對選項逐一分析, 由此判斷出結(jié)論正確的選項.
【詳解】對于A選項，, 所以A 選項結(jié)論正確；
對于 B 選項，等式左邊 ，右邊 ，其中 是 與 的夾角，
故當(dāng) ，等式不成立，所以B選項結(jié)論錯誤.
對于C選項，等式左邊 右邊，故C 選項結(jié)論正確.
對于D選項，根據(jù)C的分析可知
，
而 為非負數(shù).
故 .
所以D選項結(jié)論正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.
12. 已知向量、滿足，，，則與的夾角等于______
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算、定義可計算出，結(jié)合平面向量夾角的取值范圍可得出的值.
【詳解】因為，
可得，
因為，故，即與的夾角為.
故答案為：.
13 已知，則______
【答案】##
【解析】
【分析】在等式兩邊平方，結(jié)合二倍角的正弦公式可求得的值.
【詳解】在等式兩邊平方得，
解得.
故答案為：.
14. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M，N是BC上的兩動點，且MN＝2，則的最小值為_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
根據(jù)題意設(shè)，則，再根據(jù)向量的加法和數(shù)量積進行化簡，得，再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法即可求解.
【詳解】由題意，,且可設(shè)，則，則
，
則，當(dāng)時取得最小值.
故答案為：8
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是會進行數(shù)量積的運算，能夠?qū)⑾蛄窟\用基底進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合數(shù)量積運算出結(jié)果.
四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，，且與的夾角為60°.
（1）求的值
（2）求的值；
（3）若向量與平行，求實數(shù)的值．
【答案】（1）60 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運算法則及向量模的計算式求值即可；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，運算法則及向量模的計算式求值即可；
（3）由平面向量共線定理及平面向量基本定理列出方程組求解即可.
【小問1詳解】
因為，，
所以.
【小問2詳解】
因為，，且與的夾角為60°，
所以，
所以，
所以.
【小問3詳解】
因為向量與平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值為.
16. （1）已知平面上三點，若A，B，C三點共線，求實數(shù)k的值；
（2）求函數(shù)的值域
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示求出值.
（2）利用二倍角的余弦公式，結(jié)合二次函數(shù)求出值域.
詳解】（1）由，得，
由A，B，C三點共線，得，則，即，
所以或.
（2）函數(shù)，
而，則當(dāng)時，；當(dāng)，，
所以函數(shù)值域為.
17. 已知，．
（1）求和的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及兩角和的余弦公式可求得的值；
（2）求出，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.
【小問1詳解】
因為，，則，
由二倍角公式可得，
，
因此，.
【小問2詳解】
因為，，則，
所以，，
所以，
.
18. 已知向量，．
（1）求的值；
（2），求；
（3）若向量與的夾角為銳角，求的取值范圍．
【答案】（1）5； （2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的坐標(biāo)，再求出模即可；
（2）求出和的坐標(biāo)，再由，得到關(guān)于的方程，求解即可；
（3）由向量與的夾角為銳角，得到且與不共線，從而建立關(guān)于的不等式關(guān)系，求解即可.
【小問1詳解】
由，知，所以．
【小問2詳解】
由，知,,
因為，
所以，解得：
【小問3詳解】
由題可得，，由已知有與的夾角為銳角，
故即是要且與不共線．
從而命題等價于，即，所以的取值范圍是．
19. 已知．
（1）求的周期；
（2）求在的值域；
（3）若，求的值．
【答案】（1），且
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡即可；
（2）將看作整體，求出其范圍，然后求出的范圍即可得出答案；
（3）根據(jù)條件得出，然后結(jié)合得出，利用兩角和差的正弦公式和二倍角公式即可求解.
【小問1詳解】
,
所以的最小正周期為，的周期為，且；
【小問2詳解】
當(dāng)，，
，
；
【小問3詳解】
，
，，
，，，

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