一、單選題（本大題共8小題）
1．某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中一本，則有（ ）種購書方法
A．3B．6C．7D．9
2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
A．＝2B．＝
C．＝2D．＝
3．設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（ ）
A．2B．1C．D．4
4．函數(shù)在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．若定義在 上的函數(shù) 的圖象如圖所示，則函數(shù) 的增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
6．函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
7．動直線分別與直線，曲線相交于兩點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)有三個零點，則k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．
B．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
D．函數(shù)有兩個極值點
10．有4位同學(xué)參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（ ）
A．每位同學(xué)限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種
B．每位同學(xué)限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種
C．每個社團限報一人且不同社團參加的人不同，則不同的報名方法共有24種
D．每個社團限報一人且不同社團參加的人不同，則不同的報名方法共有33種
11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)有相同的極小值
B．若方程有唯一實根，則的取值范圍為
C．當(dāng)時，總有
D．當(dāng)時，若，則成立
三、填空題（本大題共3小題）
12．如圖所示，積木拼盤由五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是 .

13．定義在上的函數(shù)，若對任意的兩個不相等的實數(shù)，都有，則稱為“函數(shù)”，給出下列函數(shù)：
①
②
③
④
其中為“D函數(shù)”的所有序號 .
14．已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．用五個數(shù)字，問：
(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位密碼？
(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？
(3)可以組成多少個十位數(shù)字比個位數(shù)字大的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
16．已知函數(shù)．
(1)若為的一個極值點，求在上的最小值和最大值；
(2)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
17．某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費（百萬元），可增加的銷售額為（百萬元）（）.
(1)若該商場將當(dāng)年的廣告費控制在五百萬元以內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產(chǎn)生的收益最大？
(2)現(xiàn)在該商場準備投入五百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造.經(jīng)預(yù)算，每投入技術(shù)改造費（百萬元），可增加的銷售額約為（百萬元），請設(shè)計一個資金分配方案，使該商場由這兩項共同產(chǎn)生的收益最大.
18．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
19．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，函數(shù)的圖像恒在的圖像的下方，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的兩個不同極值點分別為，求實數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】該同學(xué)決定至少購買一本書，則他可能購買本
購買1本時：有3種可能
購買2本時：有種可能
購買3本時：有1種可能
所有共有7種可能.
故選C.
2．【答案】B
【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的乘法運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可.
【詳解】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則可得：
.
故選B.
3．【答案】D
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，.
故選D.
4．【答案】A
【詳解】，求在處的切線，則為切點，
斜率，
所以，即.
故選A.
5．【答案】B
【詳解】由圖象可得，
當(dāng)時，由得，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，由得，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，由得，在上單調(diào)遞減，
綜上，函數(shù) 的增區(qū)間為.
故選B.
6．【答案】D
【詳解】的定義域為，關(guān)于原點對稱，
由，
所以為奇函數(shù).
，
所以在單調(diào)遞減，
可轉(zhuǎn)換為，
即，因為單調(diào)遞減，
所以，解不等式得或.
故選D.
7．【答案】A
【詳解】設(shè)點是直線上任意一點﹐點是曲線上任意一點，當(dāng)點處的切線和直線平行時，這兩條平行線間的距離的值最小﹐
因為直線的斜率等于，
曲線的導(dǎo)數(shù)，令，
可得或(舍去)，故此時點的坐標為，，
故選A.
8．【答案】A
【詳解】由，得，設(shè)，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，且，其圖象如圖所示：
若使得函數(shù)有3個零點，則.
故選A.
9．【答案】BD
【詳解】對于A，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，則，A錯誤；
對于B，由，求導(dǎo)得，
令，解得，B正確；
對于C，的定義域為，求導(dǎo)得，
由，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯誤；
對于D，，的變號零點為，函數(shù)有兩個極值點，D正確.
故選BD.
10．【答案】AC
【詳解】對于選項A，B，每位同學(xué)報一種社團，可以有3種選擇，那么4個人可以報名的方法共有，故A對，B錯；
對于選項C，D，每個社團限報一人且不同社團參加的人不同，則種，故C對，D錯.
故選AC.
11．【答案】ACD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)思想，對函數(shù)求導(dǎo)后分析原函數(shù)單調(diào)性，即可解決極小值問題，對于零點問題，則用數(shù)形結(jié)合，利用單調(diào)性作出函數(shù)圖象分析即可，對于不等式問題，可利用熟悉的指對數(shù)不等式來推理，對于兩根之積則利用指對數(shù)同構(gòu)思想再結(jié)合單調(diào)性去解決恒等問題.
【詳解】對于，，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
所以有極小值；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，故A正確；
對于B，結(jié)合已求的單調(diào)性作圖分析，
因為，恒有，
所以方程有唯一實根，則的取值范圍為或，故B錯誤；
對于C，不等式等價于，由基本指數(shù)不等式可知是成立，故C正確；
對于D，當(dāng)時，由得，，
即，顯然，則，
則成立，故D正確.
故選ACD．
12．【答案】960
【詳解】先涂，則有種涂法，再涂，因為與相鄰，所以的顏色只要與不同即可，有種涂法，同理有種涂法，有種涂法，有種涂法，由分步乘法計數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為.
13．【答案】②③
【詳解】由題意，對任意的兩個不相等的實數(shù)，都有，
可化為，這表明函數(shù)在上是減函數(shù).
①對于函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)不是“函數(shù)”；
②對于，
求導(dǎo)得，
因為，所以恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，是“函數(shù)”.
③對于，求導(dǎo)得恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，是“函數(shù)”.
④對于，當(dāng)時，
，則函數(shù)在上不為減函數(shù)，不是“函數(shù)”.
14．【答案】
【詳解】由，可得，
當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，
，
，在上單調(diào)遞增，
，
對任意的，都有成立，
，
.
15．【答案】(1)120
(2)96
(3)32
【詳解】（1）從5個數(shù)字任取4個進行全排列，故有個；
（2）首位不能為0，則有個；
（3）由題意，是偶數(shù)個位數(shù)必須是.
分3種情況討論：
①0在個位，十位必須比0大，千位數(shù)字不能是0且不能與個位和十位數(shù)字重復(fù)，百位數(shù)字在剩下的數(shù)字選一個，所以共有；
②在個位，十位數(shù)字必須比2大，千位數(shù)不能是0且不能與個位和十位數(shù)字重復(fù)，百位剩下2個里面選一個.有種選法；
③4在個位，里面沒有比4大的數(shù)字，不存在這種可能.則共有種情況.
16．【答案】(1)最小值是，最大值是；
(2)．
【詳解】（1）的定義域為，，，則，
解得，
故，令，即，
解得或，
故在上的最小值是，最大值是；
（2）在區(qū)間上恒成立，故，
設(shè)，當(dāng)時，是增函數(shù)，其最小值為，
故，即實數(shù)的取值范圍為．
17．【答案】(1)百萬元
(2)三百萬元用于技術(shù)改造，兩百萬元用于廣告促銷，這樣商場由此所增加的收益最大，最大收益為8百萬元.
【詳解】（1）設(shè)投入廣告費（百萬元）后由此增加的收益為（百萬元），
則.
所以當(dāng)時，，
即當(dāng)商場投入百萬元廣告費時，才能使商場由廣告費而產(chǎn)生的收益最大.
（2）設(shè)用于技術(shù)改造的資金為（百萬元），則用于廣告促銷的費用為（百萬元），
兩項增加的收益為.
對求導(dǎo)，得，令，得或（舍去）.
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，.
故在五百萬資金中，三百萬元用于技術(shù)改造，兩百萬元用于廣告促銷，這樣商場由此所增加的收益最大，最大收益為8百萬元.
18．【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）由，得，
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，當(dāng)時，，
要證：當(dāng)時，，
可證：，
因為，即證：，
設(shè)，，
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
，所以，
即，
所以當(dāng)時，．
19．【答案】(1).
(2).
【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時，恒有.
即，
參數(shù)分離可得，
令，，
則，
令，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，
所以，
故實數(shù)的取值范圍是.
（2）由題可得，，定義域為，
，
則有兩個不等實根，
令函數(shù)，即有兩個不同的零點.
，令，則，
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故的極大值也是最大值為.
因為有兩個不同的零點，所以，
即，即；
當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，
故至多一個零點，不符合題意，
綜上所述：.
下證：當(dāng)時，有兩個不同的零點.
∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，
根據(jù)零點存在定理，知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點；
即，
，令，則，
令函數(shù)，
則，，
所以，
∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
根據(jù)零點存在定理，知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.
所以當(dāng)時，有兩個不同的零點.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
1
3
4
0
極小值

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