一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設函數(shù)在處的導數(shù)存在，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義求得正確答案.
【詳解】.
故選：D
2. 若函數(shù)的導數(shù)為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及導數(shù)的運算法則即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
則.
故選：B
【點睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及導數(shù)的運算法則，需熟記公式以及導數(shù)的運算法則，屬于基礎題.
3. 已知是的導數(shù)，的圖象如圖，則的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導函數(shù)的正負及變化規(guī)律即可判斷.
【詳解】由的圖象可知，，所以的圖象單調遞增，
因為的值先增大后減小，所以的切線的斜率先增大后減小，根據(jù)圖象可判斷A正確.
故選：A.
4. 用充氣筒吹氣球，氣球會鼓起來，假設此時氣球是一個標準的球體，且氣球的體積隨著氣球半徑r的增大而增大.當半徑時，氣球的體積相對于r的瞬時變化率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】球的體積公式為，對其求導并代入計算即可
【詳解】由球的體積公式可得，得，
所以時，體積關于半徑的瞬時變化率為，
故選：.
5. 是函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），與的大小關系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)是增函數(shù)，可得，化簡后可得答案
【詳解】令，則，
因為是增函數(shù)，
所以，
所以，所以，
故選：D
6. 已知定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，對任意的滿足，則下列判斷錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知等式構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性逐一判斷即可.
【詳解】設，
所以函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù).
A：因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，
所以有，所以本選項判斷正確；
B：因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，
所以有，所以本選項判斷正確；
C：因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，
所以有，所以本選項判斷正確；
D：因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，
所以有，
因為不能判斷的正負性，所以不能判斷之間的大小關系，因此本選項判斷不正確，
故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用構造新函數(shù)，進而利用新函數(shù)的單調性進行判斷.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意得出在區(qū)間上恒成立，利用分離參數(shù)思想化為在上恒成立，求出的取值范圍即可．
【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
由于函數(shù)在上單調遞減，所以，
即實數(shù)的取值范圍是，
故選：D
8. 設，，，則，，的大小順序為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)a、b、c的結構，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，即可比較出a、b、c的大小，從而可得到正確答案．
【詳解】因為，，
故構造函數(shù)，則，
令，解得，
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
又因為，，
所以，．
因為，又，
所以，即，故，
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列導數(shù)運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)求導公式、運算法則和簡單復合函數(shù)的求導依次計算，即可求解.
【詳解】A：，故A正確；
B：，故B錯誤；
C：，故C正確；
D：，故D正確.
故選：ACD
10. 下列命題中是真命題有（ ）
A. 若，則是函數(shù)的極值點
B. 函數(shù)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點
C. 函數(shù)在處的切線方程為，則當時，
D. 若函數(shù)的導數(shù)，且，則不等式的解集是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用極值點定義，舉例判斷A；舉例判斷B；利用導數(shù)的極限定義判斷C;構造函數(shù)，利用單調性解不等式.
【詳解】A：例如在處導數(shù)，但當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)也單調遞增，故不是函數(shù)的極值點，故A選項錯誤；
B：例如，，在點的切線與有兩個交點，故正確；
C：根據(jù)導數(shù)的定義可知，，即，，故錯誤；
D：令，則有，，故的解集是，故的解集是，正確；
故選：BD.
11. 已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A. 在區(qū)間上單調遞增B. 的最小值為
C. 方程的解有個D. 導函數(shù)的極值點為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可判斷ABC選項；利用函數(shù)的極值點與導數(shù)的關系可判斷D選項.
【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，，
令，可得，列表如下：
且當時，；當時，，
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
對于A選項，在區(qū)間上單調遞增，A對；
對于B選項，的最小值為，B對；
對于C選項，方程的解只有個，C錯；
對于D選項，令，該函數(shù)的定義域為，
，令，可得；令，可得.
所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極值點為，D對.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知曲線與直線相切，則實數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】設出切點坐標，對函數(shù)進行求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出的值，代入曲線即可得切點坐標，將切點代入切線即可得的值.
【詳解】設切點坐標為，∵，∴，
又∵曲線與直線相切，
∴，解得，
∴，即切點坐標為，
可得，解得，故答案為.
【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義、切線方程，即函數(shù)在某點處的導數(shù)即為函數(shù)在該點處切線的斜率，切點既在曲線上又在切線上，即切點坐標滿足曲線方程，切點坐標滿足切線方程，屬于基礎題．
13. 函數(shù)的單調遞增區(qū)間是__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，以及導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調性，即可寫出單調增區(qū)間.
【詳解】因為，則其定義域為，
，令，
即可得，解得，
結合函數(shù)定義域可知，函數(shù)的單調增區(qū)間為.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調性，屬基礎題；本題的易錯點是沒有注意到函數(shù)的定義域.
14. 三次函數(shù)，定義：設是函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.有同學發(fā)現(xiàn)：任意一個三次函數(shù)都有“拐點”，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.將這一發(fā)現(xiàn)作為條件，則對于函數(shù)，它的圖象的對稱中心為_______；_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】解方程可求得函數(shù)的對稱中心坐標，計算出，利用倒序相加法可求得結果.
【詳解】，，則.
令，得，
又，故函數(shù)的圖象的對稱中心為，
設為函數(shù)的圖象上任意一點.
因為函數(shù)的圖象的對稱中心為，
所以，點P關于的對稱點也在的圖象上，
所以，，則，
因此，
.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線為．
（1）求函數(shù)的解析式;
（2）若曲線在點P處的切線與直線垂直， 求點P 的橫坐標．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)的意義求出切線的斜率，再利用切線方程求出即可；
（2）由兩直線垂直得到斜率關系，再利用導數(shù)的意義求解即可；
【小問1詳解】
函數(shù)，
，
在點處的切線為，
解得，
所以
【小問2詳解】
設，則由題可知，即，
所以P的橫坐標為2．
16. 已知函數(shù).
（1）求的單調區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）單調遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性求最值.
【小問1詳解】
易知函數(shù)的定義域為，
令，得或，
令，得，
故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1）得，當時，函數(shù)單調遞增，
當時，函數(shù)單調遞減，
所以.
17. 設函數(shù)的導數(shù)滿足，.
（1）求的單調區(qū)間；
（2）在區(qū)間上的最大值為，求的值.
（3）若函數(shù)的圖象與軸有三個交點，求的范圍.
【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)條件建立方程組關系求出，的值，結合函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可求的單調區(qū)間；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，建立方程關系即可求的值.
（3）根據(jù)的單調性求得極值，令極大值大于，極小值小于，解不等式即可求的范圍.
【小問1詳解】
由可得，
因為，，
所以，解得：，，
所以，，
由即可得：，
由即可得：或，
所以的單調遞增區(qū)間為，單減區(qū)間為和.
【小問2詳解】
由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，取得極小值，
，
，
則在區(qū)間上的最大值為，
所以.
【小問3詳解】
由（1）知當時，取得極小值，
當時，取得極大值
，
若函數(shù)的圖象與軸有三個交點，
則得，解得，
即的范圍是.
18. 已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R).
（1）當a＝時，求f(x)的極值；
（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內極值點的個數(shù).
【答案】（1）f(x)極大值＝ln 2－1，無極小值；（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）當a＝時，f(x)＝ln x－x，求導得到f′(x)＝－＝，然后利用極值定義求解.
（2）由（1）知，函數(shù)定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.
【詳解】（1）當a＝時，f(x)＝ln x－x，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.
故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln 2－1，無極小值.
（2）由（1）知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝ (x>0).
當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函數(shù)(0，＋∞)上單調遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；
當a>0時，當x∈時，f′(x)>0，
當x∈時，f′(x)0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點，且為x＝.
【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的極值以及極值點的個數(shù)問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
19. 已知函數(shù)
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.
試題解析：（1）的定義域為，，
（?。┤?，則，所以在單調遞減.
（ⅱ）若，則由得.
當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.
（2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個零點.
（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.
①當時，由于，故只有一個零點；
②當時，由于，即，故沒有零點；
③當時，，即.
又，故在有一個零點.
設正整數(shù)滿足，則.
由于，因此在有一個零點.
綜上，的取值范圍為.
點睛:研究函數(shù)零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.
減
極小值
增
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
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