一、單選題
1. 若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析即可.
【詳解】對(duì)于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：設(shè)存在唯一實(shí)數(shù)使，
則，此方程無(wú)解，故能作為平面向量的基底.故正確.
故選：.
2. 已知向量，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，再由向量，求出實(shí)數(shù)值.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，可得?br>因?yàn)?，所以，解得：?br>故選：C
3. 冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由余弦定理得，進(jìn)而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；
因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理所以，
解得.
故選：D
4. 如圖，在中，已知是邊上的一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案.
【詳解】在中，，
因?yàn)椋裕?br>在中，.
故選：B
5. 若，則（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)公式求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：.
6. 在中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，若三角形有兩個(gè)解，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即得.
詳解】依題意，，即，由，得，
所以的取值范圍是.
故選：C
7. 在中，角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c若，則的形狀是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結(jié)合二倍角公式求解即得.
【詳解】在中，由及正弦定理得，而，
整理得，即，而，
則，因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故選：C
8. 如圖，已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正三角形的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）

A. 最大值為8B. 為定值6
C. 最小值為2D. 與的位置有關(guān)
【答案】B
【解析】
【分析】因?yàn)楣簿€,所以設(shè),再代入求解即可.
【詳解】因?yàn)楣簿€,故,.
所以
.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了共線向量的運(yùn)用以及數(shù)量積的轉(zhuǎn)換計(jì)算,屬于中檔題.
二、多選題
9. 已知在中，角的對(duì)邊分別為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，則必是等邊三角形
B. ，，則的外接圓半徑是2
C. 若，則
D. 若，則一定是銳角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由余弦定理得，即為等腰三角形；對(duì)于B，根據(jù)正余弦定理得即可；對(duì)于C，由正弦定理及可得，根據(jù)的取值范圍即可判斷；對(duì)于D，余弦定理得，即角為銳角，不能判斷角也為銳角.
【詳解】對(duì)于A，由余弦定理，
化簡(jiǎn)得，故為等腰三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由正弦定理得，所以外接圓半徑為，故B正確；
對(duì)于C，由正弦定理及可得，即，所以，故C正確；
對(duì)于D，由余弦定理得，所以角為銳角，不能判斷角也為銳角，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若，則是的外心
B. 若，則是的重心
C. 若，則是的垂心
D. 若，則是的內(nèi)心
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.由，得到判斷； B.設(shè)AB的中點(diǎn)為D，得到，再根據(jù)，利用共線向量定理判斷； C. 根據(jù)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷； D. 由，轉(zhuǎn)化為化簡(jiǎn)判斷.
【詳解】A. 因?yàn)?，所以，所以是的外心，故正確；
B. 如圖所示：
設(shè)AB的中點(diǎn)為D，所以，因?yàn)椋?所以，所以是的重心，故正確；
C. 因?yàn)?，所以，則，同理，所以是的垂心，故正確；
D. ，所以即，則，得不出是的內(nèi)心，故錯(cuò)誤；
故選：ABC
11. 已知向量，，滿足，，，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 在上的投影向量的坐標(biāo)為
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，利用向量模長(zhǎng)公式，可得A的正誤；由平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程，可得B的正誤；由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，利用垂直向量坐標(biāo)，可得C的正誤；利用投影向量的計(jì)算方法，可得D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，，，，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；
對(duì)于C，，由，可得，即，故C正確；
對(duì)于D，在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
三、填空題
12. 在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，表示△的面積，若，，則__________．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．
考點(diǎn)：解三角形.
【思路點(diǎn)睛】先利用余弦定理和三角形的面積公式可得，可得，再用正弦定理把中的邊換成角的正弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理可求得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和，進(jìn)而求得．
13. 如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，則山高M(jìn)N＝__m．
【答案】500
【解析】
【分析】由題意，可先求出AC的值，從而由正弦定理可求AM的值，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，從而可求得MN．
【詳解】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，從而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，，因此AM＝1000m．
在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，
由＝sin30°得MN＝500m；
∴山高M(jìn)N＝500．
故答案為：500．
14. 在平面四邊形中，，若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
故，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
四、解答題
15. 已知向量.
（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可知，即可求出參數(shù)值；
（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不共線，從而可得不等式組求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，，
若向量與共線，可得，
解得.
【小問(wèn)2詳解】
若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，
即可得，
解得且，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為且
16. 在中，角、、所對(duì)的邊為、、，已知.
（1）求角的值；
（2）若為邊的中點(diǎn)，且，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出的值，結(jié)合角的可得出角的值；
（2）由題意可得出，可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出關(guān)于的等式，解出的值，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由余弦定理可得，因?yàn)?，?
【小問(wèn)2詳解】
在中，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以
故，即，
所以，，即
解得或（舍），
所以.
17. 如圖，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且滿足與交于點(diǎn)．
（1）試用表示和；
（2）若，求．
【答案】（1）,
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到，設(shè)，根據(jù)平面向量共線定理的推論求出，即可求出；
（2）首先用、表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋裕?br>設(shè)，所以，
又三點(diǎn)共線，所以，解得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>設(shè)，
又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，
所以，
又，即，
即，解得或（舍去）.
18. 已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，．
（1）求；
（2）若，，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得，由角的范圍即可求解；
（2）將兩邊完全平方可得，根據(jù)面積公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，
解得或，因?yàn)?，所以?br>所以.
19. 已知向量.
（1）求的取值范圍；
（2）記，在中，角的對(duì)邊分別為且滿足，求函數(shù)的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
（1）因?yàn)椋?br>可得
，
因?yàn)椋?
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意得
，可得，
因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，所以，
又因?yàn)?，則，且，所以，
因，所以，所以，則，
則，所以函數(shù)值域是.

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