2021-2022學(xué)年江蘇省無(wú)錫市天一中學(xué)高一強(qiáng)化班上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解不等式確定集合后，由交集定義計(jì)算．【詳解】由題意得：，，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)（       ）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】由冪函數(shù)在上是減函數(shù)，可得，由充分、必要條件的定義分析即得解【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，故充分性成立；若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得或故必要性不成立因此“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件故選：A3．已知為銳角且，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角差的正弦可求的值.【詳解】為銳角，故，而，故，又.故選：C.4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》一章給出計(jì)算弧田面積所用的公式為：弧田面積（弦矢矢矢）.其中弧田由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中的“弦”指的是圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，矢等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.如圖，現(xiàn)有圓心角為的弧田，其弦與半徑構(gòu)成的三角形面積為，按照上述公式計(jì)算，所得弧田面積是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)，得到，再由弦與半徑構(gòu)成的三角形面積為，由求得AB，OC，代入公式求解.【詳解】由題意，，則，可得，解得：，又因?yàn)橄遗c半徑構(gòu)成的三角形面積為，解得，所以，所以弧田面積.故選：A5．已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由奇偶性分別求出a、b，直接代入即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?/span>R，所以，解得：a=-1.因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，且定義域?yàn)?/span>R，所以，即，解得：.所以.所以.故選：D6．技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的可以忽略不計(jì).假設(shè)目前信噪比為若不改變帶寬，而將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴(kuò)大到原來(lái)的約（       ）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，兩式聯(lián)立，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由條件可知，設(shè)將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴(kuò)大到原來(lái)的倍，則，所以，即，所以，解得，故答案為：D7．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角變換化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】，，，因?yàn)?/span>，故. 故，故選：C.8．已知，將的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到的圖象.若對(duì)，都有成立，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，在求出變換后的函數(shù)，，根據(jù)對(duì)，都有成立，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，從而可計(jì)算出答案.【詳解】解：，將的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得，令，因?yàn)閷?duì)，都有成立，所以對(duì)，都有成立，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，則，所以.故選：B.二、多選題9．若α是第二象限的角，則下列各式中成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由正切的定義可以判斷A選項(xiàng)，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及角的范圍，可以判斷B、C、D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，知，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，因?yàn)?/span>是第二象限角，所以，所以原式，所以B正確；C選項(xiàng)：是第二象限角，所以，所以有，所以C正確；D選項(xiàng): ，但是是第二象限角，符號(hào)不確定，所以D錯(cuò)誤；故選：BC.10．函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（       ）A．函數(shù)在單調(diào)遞減B．函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象D．若在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】AD【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)整體法或代入法可判AB的正誤，利用圖像變換可 判斷C的正誤，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】由圖象可得，且，故即，而，故，因?yàn)?/span>，故，故，對(duì)于A，當(dāng)，，而在上為減函數(shù)，故在為減函數(shù)，故A正確.對(duì)于B，，故為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?/span>，故，故，故D正確.故選：AD.11．對(duì)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，，我們把，叫做取整函數(shù)，也稱之為高斯（）函數(shù)，也有數(shù)學(xué)愛(ài)好者形象的稱其為“地板函數(shù)”.早在十八世紀(jì)，人類史上偉大的數(shù)學(xué)家，哥廷根學(xué)派的領(lǐng)袖約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（ ）最先提及，因此而得名“高斯（）函數(shù)”.在現(xiàn)實(shí)生活中，這種“截尾取整”的高斯函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，如停車收費(fèi)、電子表格，在數(shù)學(xué)分析中它出現(xiàn)在求導(dǎo)、極限、定積分、級(jí)數(shù)等等各種問(wèn)題之中.以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的命題，其中是真命題有（       ）A．， B．，C．，若，則 D．，【答案】BC【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，結(jié)合特值法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：不妨取，則，而，故錯(cuò)誤；對(duì)B：不妨取，則，而，滿足，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?/span>，故可得同號(hào)；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)同為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，其中和分別為的整數(shù)部分和小數(shù)部分，因?yàn)?/span>，則，故，又同為小數(shù)，且符號(hào)相同，故，即，則，若，則，故C正確；對(duì)D：令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，；又為單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，；又為單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，顯然，不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考察函數(shù)新定義問(wèn)題，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性、特值法的綜合應(yīng)用，屬困難題.12．已知函數(shù)和的零點(diǎn)分別，，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用零點(diǎn)滿足的方程及反證法可判斷A的正誤，估算出零點(diǎn)的范圍后可判斷BCD的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和的零點(diǎn)分別，，故且，若，則，而，故，所以即，矛盾，故不成立，若，則，而，故，所以即，矛盾，故不成立，故，故A成立.先證明一個(gè)不等式：對(duì)任意的，總有.要證：，即證，即證，若，則；若，則，，則，若，則，，則，故成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由引理可得，而，故，故，故即，故B成立.為上的增函數(shù)，而，而，故，故，而，而，而，故，故.而在上的增函數(shù)，，故，故，故C錯(cuò)誤.由C的討論可得，故，所以，而，所以，也就是，故D正確. 故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)不可求且需要討論零點(diǎn)的性質(zhì)的問(wèn)題，我們需要估計(jì)零點(diǎn)的范圍，再結(jié)合不等式放縮等方法來(lái)討論零點(diǎn)性質(zhì).三、填空題13．已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】（-1，1）【分析】先求定義域?yàn)?/span>，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”即可求得.【詳解】因?yàn)?/span>，解得：，所以的定義域?yàn)?/span>.令，則.要求的單調(diào)增區(qū)間，只需.所以，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.14．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若如圖所示的角，且小正方形與大正方形的面積之比為，則的值為______.【答案】【分析】將面積之比表示關(guān)于的三角函數(shù)，從而可求的值.【詳解】大正方形的邊長(zhǎng)為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，故，故即，故，所以即，故或，因?yàn)?/span>，故，所以，故答案為：.15．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】作出函數(shù)圖像，求的值域，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)或時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像如下：，設(shè)方程，當(dāng)時(shí)方程有3根，，，其中，，所以當(dāng)分別有2根，有6根.當(dāng)或時(shí)，不合題意.故答案為: 四、雙空題16．若扇形的周長(zhǎng)為定值，則當(dāng)該扇形的圓心角______時(shí)，扇形的面積取得最大值，最大值為______.【答案】     2     【分析】設(shè)扇形的半徑為，則，扇形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析即得解【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的弧長(zhǎng)為故扇形的面積由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值為此時(shí)，故答案為：2，五、解答題17．集合，.(1)若，，求實(shí)數(shù)的值；(2)從條件①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件：①；②；③.（注：答題前先說(shuō)明選擇哪個(gè)條件，如果選擇多于一條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.【答案】(1)1(2)條件選擇見解析，【分析】（1）由解出或，再由集合B驗(yàn)證即可（2）先解出集合A、B.若選擇條件①，由，列不等式組，即可實(shí)數(shù)的取值范圍；若選擇條件②，由，列不等式組，即可實(shí)數(shù)的取值范圍；若選擇條件③，由，列不等式組，即可實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，所以，所以，解得：或.當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題設(shè).∴實(shí)數(shù)的值為1.(2)集合.集合.若選擇①，即若選擇②，若選擇③，則18．已知函數(shù).(1)若的解集為，求不等式的解集；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1)(2)6【分析】（1）先判斷出，，，把不等式化為，即可解得；（2）構(gòu)造基本不等式，求出的最小值.【詳解】(1)由題設(shè)知且的兩根為，所以，，可得：，可化為：，解得：，所以不等式的解集為(2)，且所以當(dāng)且僅當(dāng)即，取“=”所以的最小值為6.19．已知對(duì)任意的，有，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù).令.(1)求函數(shù)，的解析式，并證明在上單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求的取值集合.【答案】(1)，，證明見解析(2)【分析】（1）由函數(shù)的奇偶性列方程組可得解.（2）由已知換元可得，再由恒成立列出不等式組得解.【詳解】(1)由已知得，解得，設(shè)，，則，因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，所以，，所以在上單調(diào)遞增(2)又       ∴，，，，∴的取值集合為20．已知的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)一點(diǎn).(1)若，求的值；(2)若且，求的單調(diào)增區(qū)間.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求sinα和cosα的值，再根據(jù)正弦的和角公式和二倍角公式即可求值；(2)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f(x)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，∴，，；(2)，在第二象限，且，故，，令，k∈Z，∴單調(diào)遞增區(qū)間為.21．2020年一場(chǎng)突如其來(lái)的疫情讓億萬(wàn)中華兒女的心再一次凝結(jié)在一起，為控制疫情，讓廣大發(fā)熱患者得到及時(shí)有效的治療，武漢市某社區(qū)決定臨時(shí)修建一個(gè)醫(yī)院.醫(yī)院設(shè)計(jì)平面圖如圖所示：矩形中，米，米，圖中區(qū)域?yàn)樵\斷區(qū)（、分別在和邊上），、及區(qū)域?yàn)橹委焻^(qū).受診斷區(qū)醫(yī)療設(shè)備的實(shí)際尺寸影響，要求的大小為.(1)若按照米的方案修建醫(yī)院，問(wèn)診斷區(qū)是否符合要求？(2)按照疫情現(xiàn)狀，病人仍在不斷增加，因此需要治療區(qū)的面積盡可能的大，以便于增加床位，請(qǐng)給出具體的修建方案使得治療區(qū)面積最大，并求出最大值.【答案】(1)不符合要求(2)按照修建，治療區(qū)面積最大，最大值為（平方米）【分析】(1)依題意求即可判斷.(2)設(shè)，用表示診療區(qū)域的面積即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，所以因此診斷區(qū)不符合要求(2)設(shè)，則，在中，，在中，，,所以，其中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)故按照修建，治療區(qū)面積最大，最大值為（平方米）.22．定義：若函數(shù)的圖像上存在一點(diǎn)與的圖像上一點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則稱與具備“關(guān)系”.(1)若，，判斷與是否具備“關(guān)系”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若與具備“關(guān)系”，求實(shí)數(shù)的范圍；(3)若，且與不具備“關(guān)系”，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)與不具備“關(guān)系”，理由見解析(2)或(3)【分析】（1）判斷函數(shù)的符號(hào)即.（2）換元令將函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，分類討論即可.（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，由特值分析出恒成立 ，得，結(jié)合均值不等式可得解.【詳解】(1)與不具備“關(guān)系”令，∴與不具備“關(guān)系”(2)令，，，為偶函數(shù)，考慮的情形當(dāng)時(shí)，，滿足題設(shè)當(dāng)時(shí)，，若，在遞增，，滿足題設(shè)若，，，，所以若，在遞增，，不合題意綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.(3)，觀察到，因此，當(dāng)，時(shí)，，因此所以整數(shù)的最大值. 

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