一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先寫出復(fù)數(shù)，再得到其共軛復(fù)數(shù).
【詳解】因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，所以，
所以.
故選：A
2. 已知點，，，若A，B，C三點共線，則的坐標為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運算的坐標關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意可知 由于A，B，C三點共線，所以與共線，
所以，
所以,
故選：D
3. 半徑 的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用球的直徑等于內(nèi)接正方體的體對角線，求得棱長，由此得解.
【詳解】半徑為的球內(nèi)接一個正方體，設(shè)正方體的棱長為，
則該球即為正方體的外接球，其直徑長度為正方體的體對角線長，
則，解得，
所以正方體的體積為.
故選：C
4. 某小組有5名男生和4名女生，從中任選4名同學(xué)參加“教師節(jié)”演講比賽，則下列每對事件是對立事件的是( )
A. 恰有2名男生與恰有4名男生
B. 至少有3名男生與全是男生
C. 至少有1名男生與全是女生
D. 至少有1名男生與至少有1名女生
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)對立事件和互斥事件的概念對選項逐一分析，由此選出正確選項.
【詳解】“恰有2名男生”與“恰有4名男生”是互斥事件，但不是對立事件，排除A項；“至少有3名男生”與“全是男生”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，排除B項；“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，是對立事件，C項正確；“至少有1名男生”與“至少有1名女生”可以同時發(fā)生，不互斥，排除D項．
故選：C.
【點睛】本小題主要考查對立事件和互斥事件概念的理解和辨析，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，若，則滿足此條件的三角形個數(shù)為( )
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理求出，，從而得出結(jié)果.
【詳解】因為，由正弦定理，得到，所以，
又因為，故，.
故選：B.
6. 一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是( )
A. 6，，5B. 5，5，5C. 5，，6D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位數(shù)與眾數(shù)的定義得到關(guān)于的方程，從而得解.
【詳解】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得，，，，，，
則中位數(shù) ，眾數(shù)為，
由題意知，解得，
所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則這組數(shù)據(jù)的方差是，
因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是；
故選：C.
7. 已知點D為邊BC上的中點，點E滿足，若，則( )
A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運算，結(jié)合圖形即可得解.
【詳解】依題意，作出圖形如下，
因為點D為BC上的中點，，
所以，
則，故，則
故選：D.
8. 病毒研究所檢測甲乙兩組實驗小白鼠的某醫(yī)學(xué)指標值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖(如圖所示)，則下列結(jié)論正確的是( )

A. 甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)B. 甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)
C. 甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)D. 乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直方圖的形態(tài)可得甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，進而可得.
【詳解】根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知為單峰的，直方圖在右邊“拖尾”，所以甲組的平均數(shù)大于中位數(shù)，且都小于7，
同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7，
故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故A錯誤；
甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，故B錯誤；
甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故C正確；
乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，故D錯誤
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 若，，，為復(fù)數(shù)，，下列命題正確的是( )
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，利用共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷即可；對于B，利用判斷即可；對于C，利用虛數(shù)不能比較大小判斷即可；對于D，利用復(fù)數(shù)四則運算的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對于A，因為，所以，則，故A正確；
對于B，因為，所以，則，
所以，則，故B正確.
對于C，取，則滿足，但由于虛數(shù)無法比較大小，故不成立，故C錯誤；
對于D，因，所以(舍去)或，故D正確.
故選：ABD.
10. 單位向量與的夾角為銳角，則的取值可能為( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令與的夾角為，則，利用向量的模的運算，即可得出相應(yīng)的范圍.
【詳解】由題知，令與的夾角為，則，
，
所以，，
故選：BC
11. 已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則( )
A. B.
C. 若A與B互斥，則D. 一定有
【答案】AB
【解析】
【分析】對于A，利用對立事件的概率公式即可判斷；對于BC，利用和事件與交事件的概率公式，結(jié)合互斥事件的定義計算判斷即可；對于D，舉反例即可判斷.
【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，因為，
又且，則，
所以，即，故B正確；
對于C，因為A與B互斥，所以，
則，故C錯誤；
對于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為4”，
則滿足，，但不成立，故D錯誤；
故選：AB.
12. 如圖，多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形，則( )
A. B. 平面平面FAB
C. 直線EA與平面ABCD所成的角為D. 點E到平面ABF的距離為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點，可判斷A選項，取中點，連接、，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項，根據(jù)對稱性找到平面的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項，求點到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，如圖，由，，，為正三角形
可得為正方形，故，故A正確；
對于B選項，取中點為，在，中，
由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，
平面，平面，則為二面角的平面角，
由，，得，故B錯誤；
對于C選項，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱柱，連接，交點為正方形的中心，則平面，
即為直線與平面所成的角，由，，
得，故C正確；
對于D選項，連接，在正方形可知，，
平面，平面，
，與相交，且平面，
平面
即為三棱錐的高，
設(shè)點E到平面ABF的距離為，
由幾何關(guān)系可求得，，，，
由可得，，
代入數(shù)據(jù)解得，故D正確．
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 擲兩顆骰子，則所得的點數(shù)之和為6的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】擲兩顆骰子得到有序數(shù)對，事件“正面朝上的點數(shù)之和為6”的基本事件有：，，，，共有5個基本事件，而所有的基本事件有36個，由此結(jié)合隨機事件的概率公式即可算出本題的概率．
【詳解】記兩顆骰子的點數(shù)分別為，，得擲兩顆骰子得到有序數(shù)對
則、的值可能是1，2，，6共六種情況，共個基本事件．
事件“正面朝上的點數(shù)之和為6”的基本事件有：
，，，，
共有5個基本事件因此，點數(shù)之和為6的概率為
故答案為：
14. 如圖所示，水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形的周長是__________ .
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法分析原圖為平行四邊形，求出其相鄰邊長，從而得解．
【詳解】依題意，還原直觀圖如下，

因為正方形的邊長為，
所以，，
則，
所以原圖形的周長為.
故答案為：.
15. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則BC邊上的高的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得,由基本不等式以及三角形的面積公式即可求解.
【詳解】由正弦定理可得
，所以，
又，當且僅當時取等號，故，故 最大值為
設(shè)邊上的高為 則，要使最大，則三角形的面積最大即可，故的最大值為，
故答案為：
16. 為獲得天一中學(xué)高一學(xué)生的身高(單位：cm)信息，采用隨機抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計算得到男生樣本的均值為176，標準差為10，女生樣本的均值為166，標準差為20.則總樣本的均值為_________cm，方差為_________.
【答案】 ①. 171 ②. 275
【解析】
【分析】結(jié)合平均值和方差公式，即可求解．
【詳解】記男生樣本為，，，，均值為，方差為，女生樣本為，，，，均值為，方差為，
容量為50的樣本均值為，方差為
則
所以
則
則總樣本的均值為cm，方差為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知復(fù)數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位
(1)如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；
(2)如果，是關(guān)于的方程的一個復(fù)根，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先利用復(fù)數(shù)的四則運算求得，再利用復(fù)數(shù)的分類即可得解；
(2)先利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡，從而得到題設(shè)方程的兩個復(fù)根，再利用韋達定理即可得解.
【小問1詳解】
因為，所以，
因為為純虛數(shù)，所以，解得(負值舍去)，
所以.
【小問2詳解】
因為，所以，
則，
因為是關(guān)于的方程的一個復(fù)根，
所以與是的兩個復(fù)根，
故，則，
所以.
18. 龍光塔始建于明朝萬歷二年，位于無錫市錫山山頂，如圖，某學(xué)習(xí)小組為了在塔外測量龍光塔的高度，在與塔底B水平的C處測量得塔頂A的仰角為.受錫山地形所限，他們沿斜坡從C點下行14米到達D點(與A，B，C共面)后，測量得塔頂A的仰角為.已知C，D兩點的海拔高度差為2米.

(1)記斜坡CD與水平方向的夾角為銳角，計算的余弦值；
(2)計算龍光塔的高度.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)依題意結(jié)合圖形，在中求得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解；
(2)結(jié)合圖形，分別求得，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【小問1詳解】
依題意，過作交于，過作，交于，如圖，

則，
所以在中，，
又，所以，
所以的余弦值為.
【小問2詳解】
由(1)得，，
設(shè)龍光塔的高度，則在中，，則，
易知四邊形是矩形，則，，
又在中，，則，
所以，即，故.
所以龍光塔的高度為.
19. 如圖，在四棱錐中，，，，是棱上一點.

(1)若，求證：平面；
(2)若平面平面，平面平面，求證：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)利用平行線分線段成比例得到，從而利用線面平行的判定定理即可得證；
(2)先利用面面垂直的性質(zhì)定理推得，，再利用線面垂直的判定定理即可得證.
【小問1詳解】
連接交于點，連接，如圖，

因為，所以，
因為，所以，
所以，所以，
又平面平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因為平面平面，，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因為平面平面，
所以平面．
20. 某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率；
(2)估計測評成績的第分位數(shù)；
(3)已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分數(shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生.從樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生中隨機抽取一人，則“抽到的學(xué)生分數(shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件是否獨立?請證明你的結(jié)論.
【答案】(1)
(2)
(3)不相互獨立，證明見解析
【解析】
【分析】(1)由對立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分數(shù)小于60的頻率，從而得解；
(2)先判斷測評成績的第分位數(shù)所在區(qū)間，再利用百分位數(shù)的計算方法求解即可；
(3)依題意分別求得這兩事件與交事件的概率，再利用獨立事件的概率公式判斷即可.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于60的頻率為：，
則分數(shù)小于60的頻率為：，
故從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為；
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖易得分數(shù)小于70的頻率為，分數(shù)小于80的頻率為，
則測評成績的第分位數(shù)落在區(qū)間上，
所以測評成績的第分位數(shù)為；
【小問3詳解】
依題意，記事件 “抽到的學(xué)生分數(shù)小于30”，事件 “抽到的學(xué)生是男生”，
因為分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；
所以“抽到的學(xué)生是男生”的概率為，
因為分數(shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，
所以“抽到的學(xué)生分數(shù)小于30” 的概率為，
因為事件表示“抽到的學(xué)生分數(shù)小于30且為男生”，滿足條件的只有1名男生，
所以，
因為，
所以這兩個事件不相互獨立.
21. 如圖，在正三棱臺中，底面是邊長為的正三角形，且.

(1)證明：；
(2)求異面直線、所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】(1)將正三棱臺補成正三棱錐，取的中點，連接、，證明出平面，可得出，即可得出結(jié)論；
(2)
【小問1詳解】
證明：將正三棱臺補成正三棱錐，取的中點，連接、，
因為為等邊三角形，為的中點，則，
在正三棱錐中，，為的中點，則，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，即.
【小問2詳解】
解：取的中點，連接、、、，如下圖所示：

因為在三棱臺中，，且，則，
又因為，所以，、分別為、的中點，同理，為的中點，
所以，，故正三棱錐的每個面都是邊長為的等邊三角形，
因為為的中點，則，同理，
因為、分別為、的中點，所以，，且，
所以，異面直線、所成角為或其補角，
在中，，，，
由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
因此，異面直線、所成角的余弦值為.
22. 已知是內(nèi)一點，.
(1)若是的外心，求的余弦值；
(2)若是的垂心，是平面外一點，且平面，當四面體外接球體積最小時，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)取中點，中點，分別連接，再根據(jù)，由向量垂直的數(shù)量積解出三邊長度關(guān)系即可.
(2)取中點，在上取，在上取，分別連接，延長交于點，先根據(jù)解出三邊長度關(guān)系，再證明出四邊形是長方形得到的長度，最后在四面體中找到外接球球心的位置，且當外接球球心剛好與的外心重合時，外接球半徑最小，體積也最小.
【小問1詳解】
取中點，中點，
分別連接，如圖：

是的外心，是三條邊上垂直平分線的交點，
，
則，
,
設(shè)，，，
則，
由余弦定理可得，
即，
令，解得，，
則.
故的余弦值為.
【小問2詳解】
取各邊中點，連接成，如圖：

則，且相似比為.
設(shè)是的外心，則，
由中位線平行底邊可得，，
即是的垂心，由相似可得，即.
在上取，在上取，
分別連接，延長交于點，如圖：

是的垂心，
，
又，
四邊形是平行四邊形.
則，
,
設(shè)，，，
則，
由余弦定理可得，
即，
令，解得，，
則，，
由正弦定理可得的外接圓半徑，
.
，
又
，即，
所以，四邊形是平行四邊形，且為長方形，
在中，，
則.
在四面體中，設(shè)平面，且，
分別連接，如圖：

由平面，可得，
設(shè)，
則，
，
當時，是四面體的外接球球心，是四面體的外接球半徑，
解可得，
當四面體的外接球體積最小時，半徑也最小，
而半徑取最小值時，，
此時，解得，
則
故當四面體外接球體積最小時，的值為.
【點睛】方法點睛：對于存在外接球的棱錐，求外接球球心位置的通用方法，即先找底面外接圓圓心，再過圓心作底面的垂線，則外接球球心一定在這條垂線上，再通過外接球球心到頂點的距離等于到底邊圖形頂點的距離，即可確定外接球球心的位置.

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