第02講 玩轉立體幾何中的角度、體積、距離問題 【學習目標】1.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。2.細心體會求空間角的轉化和數(shù)形結合思想。3.掌握各種距離和距離的求解方法.【基礎知識】知識點1.求點線、點面、線面距離的方法 (1)若P是平面外一點，a是平面內的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離(如圖所示)． (2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離． (3)求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解． ②轉移法：借助線面平行將點轉移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解． ③體積法：利用三棱錐的特征轉換位置來求解．知識點2.異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟： (1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設中有中點，?？紤]中位線. (2)求——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角.(3)結論——設(2)所求角大小為θ.若，則θ即為所求；若，則即為所求.知識點3.直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟(1)確定斜線與平面的交點(斜足)；(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；(3)求解由斜線、垂線、射影構成的直角三角形.知識點4.作二面角的三種常用方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線.如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角. (2)垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法：過二面角的一個面內異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補角.如圖③，為二面角的平面角.知識點5.求體積的常用方法選擇合適的底面，再利用體積公式求解.【考點剖析】考點一：異面直線所成的角例1．在空間四邊形中，E，F，G，H分別是，，，的中點，若，且與所成的角為60°，則的長為（       ）A．1或 B．或 C．1或 D．或考點二：線面角例2．如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，底面，且，，則直線與平面所成角的正弦值為______．考點三：二面角例3．在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，．(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．   考點四：距離問題例4．如圖，在直三棱柱中，，E，F分別是的中點．(1)證明：∥平面．(2)求點C到平面的距離．    考點五：體積問題例5．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點F為線段PC上的點，過A，D，F三點的平面與PB交于點E．(1)證明：平面ABCD；(2)若E為PB中點，且，求四棱錐的體積．     【真題演練】1．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（       ）A． B． C． D．2．如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是（ ）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角1．線面平行垂直的判定；2．線面角，異面直線所成角3．已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．4．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．5．已知正方體中，、分別為的中點，那么異面直線與所成角的余弦值為____________.6．如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．    7．如圖，三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，，，． （1）證明：平面；（2）證明：；（3）求點到平面的距離．    8．如圖，在圓錐中，已知，圓的直徑，點在上，且，為的中點．（I）證明：平面；（II）求直線OC和平面所成角的正弦值．      9．如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內的射影為BF的中點O．（Ⅰ）證明⊥；（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小的余弦值．    10．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點M在線段PB上，平面MAC，. (1)判斷M點在PB的位置并說明理由；(2)記直線DM與平面PAC的交點為K，求的值；(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為，求二面角的平面角的正切值.    11．如圖，在長方體中，AD=1，，H，F分別是棱，的中點.(1)判斷直線HF與平面的位置關系，并證明你的結論；(2)求直線HF與平面ABCD所成角的正弦值；(3)在線段HF上是否存在一點Q，使得點Q到平面的距離是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.     【過關檢測】1．在長方體中，，，點、分別是棱、的中點，、、平面，直線平面，則直線與直線所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．2．在正方體中，E，F分別為棱AD，的中點，則異面直線EF與夾角的余弦值為（       ）A． B． C． D．3．如圖所示，三棱錐的底面ABC是等腰直角三角形，，且，，則PC與平面PAB所成角的余弦值等于（       ）A． B． C． D．4．在空間四邊形中，E，F，G，H分別是，，，的中點，若，且與所成的角為60°，則的長為（       ）A．1或 B．或 C．1或 D．或5．在棱長為1的正方體中，O為正方形的中心，則下列結論錯誤的是（       ）A．B．∥平面C．點B到平面的距離為D．直線與直線的夾角為6．在正方體中，分別為的中點，則下列結論中正確的是（       ）A．B．二面角的正切值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．點到平面的距離是點到平面的距離的2倍7．如圖，是半球的直徑，為球心，依次是半圓上的兩個三等分點，是半球面上一點，且， (1)證明：平面平面；(2)若點在底面圓內的射影恰在上，求二面角的余弦值．  8．已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求二面角的平面角的余弦值.9．已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面. (1)求證：平面；(2)當，時，求直線與所成角的余弦值；   10．已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面．(1)求證：平面；(2)已知，（ⅰ）當時，求直線與所成角的余弦值；（ⅱ）當直線與平面所成的角為時，求四棱錐的體積．    11．在直三棱柱中，，，.(1)求異面直線與所成角正切值的大??；(2)求點與平面的距離.
 

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