蘇教版高二數(shù)學寒假講義第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題（五大題型）（2份，原卷版+解析版）-學案下載-教習網

題型一：定義法
題型二：坐標法
題型三：基底法
題型四：幾何意義法
題型五：極化恒等式
【知識點梳理】
知識點一．平面向量范圍與最值問題常用方法：
1、定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系
第二步：運用基木不等式求其最值問題
第三步：得出結論
2、坐標法
第一步：根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標
第二步：將平面向量的運算坐標化
第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底轉化向量
第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標
第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結論
4、幾何意義法
第一步：先確定向量所表達的點的軌跡
第二步：根據(jù)直線與曲線位置關系列式
第三步：解得結果
知識點二．極化恒等式
1、平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

（1）
（2）
（2）兩式相加得：
2、極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
（1）平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．
（2）三角形模式：（M為BD的中點）
A
B
C
M
知識點三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：
（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；
（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；
（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；
（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．
要建立所求量（式子）與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉化為函數(shù)關系，將原問題轉化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結果的范圍過大．
【典例例題】
題型一：定義法
【例1】（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習）已知點是的邊上靠近點的三等分點，點是線段上一點（不包括端點），若，則的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】

由題意得：，.
因為，，三點共線，所以，
所以，，
當且僅當，即，時取等號.
故選：D.
【對點訓練1】（2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學校聯(lián)考期中）已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設，則易知，又，
所以，
因為，所以，
所以最大值為．
故選：C.
題型二：坐標法
【例2】（2023·江蘇南通·高一校考期末）如圖所示，邊長為的正，以的中點為圓心，為直徑在點的另一側作半圓弧，點在圓弧上運動，則的取值范圍為______.

【答案】
【解析】連接，因為為等邊三角形，且為的中點，則，
以點為坐標原點，、所在直線別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則點、，設點，其中，
則，，
所以，，
因為，則，所以，，
故.
因此，的取值范圍為.
故答案為：.
【對點訓練2】（2023·上海閔行·高一閔行中學校考期末）已知平面向量，其中，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】

如圖所示建立直角坐標系，，則,
，，
設，則，
所以，,
，
故答案為：.
【對點訓練3】（2023·北京通州·高一統(tǒng)考期中）在正方形中，，P為邊的中點，Q為邊的中點，M為邊（包括端點）上的動點，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】

如圖，以為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，
設，則，
所以，
所以.
故答案為：.
【對點訓練4】（2023·四川廣元·高一廣元中學校考期中）已知向量，，當取得最大值時，______．
【答案】
【解析】因為，，
所以，
當且僅當，即時取最大值，
此時，
所以，
所以.
故答案為：.
題型三：基底法
【例3】（2023·福建三明·高一三明一中校考期中）已知以為圓心的單位圓上有兩個定點、及兩個動點、，且，則的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，，所以，，
易知，所以，，
所以，
，
當且僅當與方向相反時，等號成立，
故的最大值為.
故選：A.
【對點訓練5】（2023·全國·高一專題練習）已知的外心為，且滿足，（其中，則的最大值為（）
A．2B．C．D．5
【答案】A
【解析】如圖所示，過點分別作，，其垂足分別為，，

則，分別為弦，的中點．
，
，
，
，化為：，即，①
，化為，即，②，
由①②解得，，
，
當且僅當時取等號，所以的最大值為2.
故選：A．
題型四：幾何意義法
【例4】（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學校考期中）向量，，若與的夾角為，則的最大值為（）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【解析】由題意，記，則，
故由向量加減的三角形法則可得，與構成三角形，
則與的夾角等于，則，
由正弦定理可得，
又，則，
所以，即的最大值為.
故選：C.
【對點訓練6】（2023·高一課時練習）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】在中，設，則，
因為，即，所以為等邊三角形，
以為鄰邊作平行四邊形，設交于點，
可得，
則，
因為，取的起點為，
可知的終點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，
如圖，當點為的延長線與圓的交點時，的最大值為；
當點為線段與圓的交點時，的最小值為；
所以.
故選：A.
題型五：極化恒等式
【例5】（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內切圓的半徑為，外接圓的半徑，
又由
，
因為，即，可得，
所以的取值范圍是.
故選：D
【對點訓練7】（2023·福建福州·高一福建省福州高級中學?？计谥校┮阎呴L為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設圓的半徑為，則，所以.
如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則可知
，，且，
所以.
由已知可得，正方形上的點到點的距離，
所以，所以.
故選：D.
【真題演練】
1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，
因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設，，
所以，，
所以
，其中，，
因為，所以，即；
故選：D

2．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范圍是，
結合向量數(shù)量積的定義式，
可知等于的模與在方向上的投影的乘積，
所以的取值范圍是，
故選：A.
3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________
【答案】
【解析】方法一：
，，
，當且僅當時取等號，而，所以．
故答案為：；．
5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．
【答案】 1
【解析】設，，為邊長為1的等邊三角形，，
，
，為邊長為的等邊三角形，，
，
，
，
所以當時，的最小值為.
故答案為：1；.
6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】，，，
，
解得，
以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
,
∵，∴的坐標為,
∵又∵,則，設，則（其中），
，，
，
所以，當時，取得最小值.
故答案為：；.
7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設點P在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：
則,，設,于是，
因為，所以，故的取值范圍是.
故答案為：．
8．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】由題意，設，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當且僅當即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為_______．
【答案】
【解析】，
，
，
.
故答案為：.
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·北京·高一中關村中學校考期中）已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設的夾角為，由題意得，
因為是單位向量，故，顯然，且，
所以，
因為，所以，
所以，解得.
故選：C
2．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，以直角頂點為原點，射線分別為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，如圖，

令角的始邊為射線，終邊經過點，由，得，而，
于是，
因此
，其中銳角由確定，
顯然，則，
所以的取值范圍是.
故選：D
3．（2023·北京大興·高一統(tǒng)考期中）已知是邊長為的等邊三角形，是邊上的動點，是邊的中點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】

設，則，
，
所以的取值范圍為.
故選：C.
4．（2023·全國·高一專題練習）若，是兩個互相垂直的單位向量，且向量滿足，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．以上答案均不對
【答案】A
【解析】根據(jù)垂直可得，不妨取，設，
于是，，并取，注意到.
于是.
故點在線段上運動，由直線的截距式方程可得，直線方程為：，即，
設，，則，，故，
設，，則；
由，，于是時，，
于是.
故選：A
5．（2023·全國·高一專題練習）已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可知，利用平面向量的三角形法則畫出其幾何關系，如下圖所示：

記，則；
由平面向量的三角形法則可知，點可以在射線（除點外）上移動，
易知當，即時，取最小值，
此時，即；
若恒成立時，即即可，
由可得，，即;
所以，實數(shù)t的取值范圍為.
故選：A
6．（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題知，
以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖，

則，，
由題意設，
則，
，
，
，
，
可得.
故選：D
7．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學?？茧A段練習）已知是邊長為2的正六邊形內的一點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，

易知正六邊形的每個內角為，所以，
則，，
設，則，且，
所以．
故選：B
8．（2023·江蘇·高一專題練習）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由平面向量，，均為單位向量，且，
根據(jù)向量的減法的幾何意義，可判定，與構成等邊三角形，
所以，向量夾角為，
,
所以當與同向時，原式取到最小值；
當與反向時，原式取到最大值4.
故選：C.
二、多選題
9．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）在正方形中，，點滿足，則下列說法正確的是（）
A．當時，
B．當時，
C．存在，使得
D．的最小值為2
【答案】AD
【解析】在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標系，

由，得，由，得，，
對于A，，而，則，A正確；
對于B，，，則，B錯誤；
對于C，若，則，而方程無實根，則不存在，使得，C錯誤；
對于D，，因此，當且僅當時取等號，D正確.
故選：AD
10．（2023·江蘇連云港·高一校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（）

A．
B．實數(shù)的值為
C．
D．若M，N是線段BC上的動點，且，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】對于A項，因為，故A項錯誤；
對于B項，因為，所以，，
所以，，所以，
所以，，故B項正確；
對于C項，，
所以，，故C正確；
對于D項，如圖，建立平面直角坐標系，

由題意可知，，，，
則，不妨設，，則，
所以，，，
所以，，
所以，當時，有最小值為，故D正確.
故選：BCD.
11．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）設非零向量，滿足，則下列說法正確的有（）
A．與的夾角為B．
C．有最大值D．
【答案】BD
【解析】由兩邊平方可得，
即，所以與的夾角為，故A錯誤，D正確；
代入上式可得：，即，故B正確；
，故，故C錯誤.
故選：BD
12．（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圓冪定理是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一，（其中相交弦定理:圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，例如，如果交點為的兩條相交直線與圓相交于與，則），如下圖，已知圓的半徑為3，點是圓內的定點，且，弦、均過點，則下列說法正確的是（）

A．·B．·的取值范圍是
C．當AC⊥BD時，·為定值D．AC⊥BD時，·的最大值為28
【答案】CD
【解析】如圖，設直線與圓于，．

則，故A錯誤；
取的中點為，連接，

因為為中點，所以，即，，
則，
而，故的取值范圍是，故B錯誤；
當時，，故C正確；
當時，圓半徑，取中點為，中點為，

則，又，所以四邊形為矩形，所以，
所以，
當且僅當，不等式等號成立，所以·的最大值為28，故D正確．
故選：CD．
三、填空題
13．（2023·重慶·高一重慶一中?？计谥校┮阎矫嫦蛄繚M足，則的最大值為__________.
【答案】12
【解析】設，則
由，則，B點在以A為圓心2為半徑的圓周上，C點在以A為圓心1為半徑的圓周上，如圖所示，
，由圖可知，當三點共線，在如圖所示的位置，
有最大值4，有最大值3，此時取最大值1，
所以的最大值為12.
故答案為：12.
14．（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習）已知正方形的邊長為2，為對角線的交點，動點在線段上，點關于點的對稱點為點，則的最大值為______．
【答案】1
【解析】法一：以為坐標原點，為軸正半軸建立平面直角坐標系，設，則，，所以，當且僅當時取得最大值．

法二：由極化恒等式可得：，當時，此時的最大值為1．
15．（2023·上海徐匯·高一位育中學校考期中）已知平面向最，，對任意實數(shù)，都有，成立．若，則的最大值是______．
【答案】
【解析】如圖，
設，，
若對任意實數(shù)，都有，成立，
如圖令，則，
，
因為對任意實數(shù)都有，即，
因為垂線段距離最短，
即為點到的垂線段長度，
即，
同理可得，即，在以為直徑的圓上，過作，交于，交圓于，
在上的射影最長為，
．
設，則，，
，
，
則當時，有最大值為．
故答案為：.
16．（2023·北京·高一中關村中學校考期中）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】已知正方形的邊長為2，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，
又為正方形內部不含邊界的動點，且滿足，所以P在以AB為直徑的半圓上（不包含端點），
，則，
又，則.
故答案為：.
17．（2023·山東日照·高一統(tǒng)考期中）已知非零向量，，對任意實數(shù)，恒成立，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】因為，所以有，
展開整理可得，，對恒成立.
由已知，
則應有，
即，所以，
即.
①當時有，，此時有；
②當時，有，
如圖，，，

則為的斜邊，所以，.
綜上所述，.
故答案為：.

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