(全國通用)高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練專題8-4 立體幾何中求角度、距離類型（原卷+解析）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、熱點(diǎn)題型歸納1
【題型一】求異面直線所成的角1
【題型二】求直線和平面所成角2
【題型三】求二面角的平面角4
【題型四】翻折中的角度5
【題型五】三種角度之間的相互關(guān)系7
【題型六】三種角度比大小8
【題型七】球中的角度9
【題型八】壓軸小題中的角度題型10
【題型九】距離11
\l "_Tc21895" 二、最新?？碱}組練12
【題型一】求異面直線所成的角
【典例分析】
如圖，已知，分別是正四面體的側(cè)面與側(cè)面上動點(diǎn)（不包含側(cè)面邊界），則異面直線，所成角不可能的是
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
異面直線求解：
（1）平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）證明作出的角就是所求異面直線所成的角（小題可跨越這一步）；
（3）求該角的值，常利用正余弦定理解三角形求得；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．
（5）也可以建系求：異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角）
【變式演練】
1.從正方體八個頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是（）
A．；B．
C．；D．．
2.如圖，已知正三棱錐，，，點(diǎn)，分別棱，上（不包含端點(diǎn)），則直線，所成的角的取值范圍是______.
3.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點(diǎn)為正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為
A．B．C．D．
【題型二】求直線和平面所成角
【典例分析】
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，點(diǎn)Q在PB上，且滿足PQ∶QB=1∶3，求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
求直線與平面所成的角的一般步驟：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；
（3）通過建系，利用坐標(biāo)系向量求解：直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，），
【變式演練】
1.如圖，已知，分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，若該圓柱的側(cè)面積是其上底面面積的倍，則與平面所成的角為（）
A．B．C．D．
2.設(shè)正方體棱長為1，平面經(jīng)過頂點(diǎn)，且與棱AB?AD?所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面共有（）個.
A．1B．2C．3D．4
3.如圖，在四面體VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA與平面ABC所成的角為45°，D是BC上一動點(diǎn)，設(shè)直線VD與平面ABC所成的角為θ，則（）
A．θ≤60°B．θ≥30°C．θ≤45°D．θ≤75°
【題型三】求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面體的每個頂點(diǎn)都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
求二面角所成的角的方法：
直接法（幾何法）：作出二面角的平面角
定義法：直接選棱上一點(diǎn)，在倆半平面內(nèi)做棱的垂線。
垂面法：尋找一個半平面的垂面，然后與另一半平面有交線，在交線上選擇合適的點(diǎn)，在垂面內(nèi)做垂線，再永定依法，如果垂面和棱垂直，那么就直接出平面角。
2.向量法：二面角（法向量的方向角，）
。
其中銳鈍判斷法。：
（1.）觀察法；
（2）同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等；
【變式演練】
1.設(shè)，是平面內(nèi)所成角為的兩條直線，過，分別作平面，，且銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，則平面，所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（）
A．B．C．D．
2.過正方形的頂點(diǎn)作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（）
A．B．C．D．
3.如圖，在長方體中，，，，分別是，，的中點(diǎn)，記直線與所成的角為，平面與平面所成二面角為，則（）
A．B．
C．D．
【題型四】翻折中的角度
【典例分析】
如圖，矩形中，，，．將梯形ADEF沿著EF翻折成梯形，則與平面所成角可以是（）
A．90°B．75°C．45°D．30°
【提分秘籍】
基本規(guī)律
.翻折題型要尋找“變化”中的“不變”
【變式演練】
1.如圖，矩形中，已知，，為的中點(diǎn)．將沿著向上翻折至，記銳二面角的平面角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論不可能成立的是（）
A．B．
C．D．
2.已知，，D是的中點(diǎn)，將沿翻折，得到，設(shè)與平面所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（）
A．B．C．D．
3.如圖，矩形中，已知為的中點(diǎn)．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯誤的是（）
A．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個位置都有平面平面
B．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【題型五】三種角度之間的相互關(guān)系
【典例分析】
過正方體棱的中點(diǎn)與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數(shù)為（）
【變式演練】
1.如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（）
A．B．C．D．
2.已知正方體和空間任意直線，若直線與直線所成的角為，與直線所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（）
A．B．
C．D．
3.已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【題型六】三種角度比大小
【典例分析】
如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，記平面與平面所成的角為，直線，與平面所成的角分別為，，若，則（）
A．， B．， C．，D．，
【變式演練】
1.如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
2.如圖，在三棱錐中，，，D是棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）且，記為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）
A．B．C．D．
3.已知三棱錐，記二面角的平面角是，直線與平面所成的角是，直線與所成的角是，則（）
A．B．C．D．
【題型七】球中的角度
【典例分析】
已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個半圓面所在的平面垂直，折到點(diǎn)位置，如圖2．設(shè)直線與直線OC所成的角為，則（）
A．且B．且
C．且D．且
【變式演練】
1.已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
2.一圓柱形容器，底面半徑為1，高為3，里面裝有一個小球，小球的表面和圓柱側(cè)面、下底面均相切.過圓柱上底面圓周上一點(diǎn)作一個平面，使得與小球恰好相切，則與圓柱下底面所成最小的銳二面角的正弦值為（）
3.一球內(nèi)接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形，過作與球相切的平面，則直線與平面所成的角為（）
A．30°B．45°C．15°D．60°
【題型八】壓軸小題中的角度題型
【典例分析】
如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使平面平面，當(dāng)從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（）
A．的大小不會發(fā)生變化B．二面角的平面角的大小不會發(fā)生變化
C．與平面所成的角變大D．與所成的角先變小后變大
【變式演練】
1.在正四面體（所有棱長均相等的三棱錐）中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn).設(shè)直線與平面所成的角為，則（）
A．存在某個位置，使得B．存在某個位置，使得
C．存在某個位置，使得平面平面D．存在某個位置，使得
2.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是______．
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；
；
與PD所成的角為；
與EF所成角為
3.斜線與平面成15°角，斜足為，為在內(nèi)的射影，為的中點(diǎn)，是內(nèi)過點(diǎn)的動直線，若上存在點(diǎn)，使，則則的最大值是_______，此時二面角平面角的正弦值是_______
【題型九】距離
【典例分析】
已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)?在四邊形內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)到平面的距離等于它到點(diǎn)的距離，直線平面，則的最小值為___________.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
點(diǎn)到面的距離
直接法：點(diǎn)到安可以直接作出垂線
等體積轉(zhuǎn)化法
向量法
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點(diǎn)P到底面的距離為（）
A．B．C．D．
2.空間給定不共面的A，B，C，D四個點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個點(diǎn)到的距離相同，另一個點(diǎn)到的距離是前三個點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個數(shù)是___________個
3.如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，?分別是側(cè)棱?上的動點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則___________.
1.已知三棱錐中，棱，，的中點(diǎn)分別是M，N，O，，，都是正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為___________.

2.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（）
A．不存在B．2條
C．4條D．無數(shù)條

3.設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個角，，中最小的角是（）
A．B．C．D．不能確定
4.如圖，四邊形中，，，沿直線將折成，使點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（不含邊界），記二面角的平面角大小為，直線?與平面所成角分別為?，則（）
A．B． C．D．

5.已知直角梯形滿足:，且△為正三角形.將△沿著直線翻折至△，且，二面角的平面角大小分別為，直線與平面所成角分別是，則（）
A． B．
C． D．

6.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與成角時，與成角；②當(dāng)直線與成角時，與成角；③直線與所成角的最大值為；④直線與所成角的最小值為；其中正確的是___________（填寫所有正確結(jié)論的編號）

7.在正三棱柱中，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，記直線與CN所成角為，二面角的平面角為，則（）
A．B．C．D．

8.已知平面α與β所成銳二面角的平面角為，P為α，β外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與α和β所成的角都是，則這樣的直線有且僅有（）
A．1條B．2條C．3條D．4條

9.如圖，梯形為直角梯形，，，，，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，得到三棱錐，其中點(diǎn)在底面上的射影在的內(nèi)部.記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）
A．B．C．D．

10.如圖，在四棱錐中，，平面平面，若，，與平面所成的角為，則以下結(jié)論正確的是（）

A．B．C．D．
11.如圖，邊長為2的正方形ABCD和正方形 ABEF所在的面成角，M、N分別是線段 AC、BF上的點(diǎn)，且AM =FN．則線段 MN的長的取值范圍是（）.

A．B．C．D．

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