1．已知橢圓：的上下頂點(diǎn)分別為，且點(diǎn)．分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，為線段
的中點(diǎn)．直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．求
的大小．
2．已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)．
（）求圓和橢圓的方程．
（）已知，分別是橢圓和圓上的動點(diǎn)（，位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．求證：為定值．
3．已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與圓相切，證明：為定值．
4．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證：直線與橢圓相切；
（Ⅲ）判斷是否為定值，并說明理由．
5．已知點(diǎn)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓的方程：
（2）已知直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為的大小是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．
6．如圖，點(diǎn)M在橢圓1（0＜b）上，且位于第一象限，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1，F(xiàn)2，M的圓與y軸交于點(diǎn)P，Q（P在Q的上方），|OP|?|OQ|＝1．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）直線PM與直線x＝2交于點(diǎn)N，試問，在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得?為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)與該定值；若不存在，請說明理由．
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線軸，點(diǎn)M為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于P

（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：；
（3）試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由．
8．已知橢圓左右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A（-2.0），上頂點(diǎn)為B,且∠=.
（1）求橢圓C的方程；
（2）探究軸上是否存在一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P的任意直線與橢圓交于M、N不同的兩點(diǎn)，M、N不與點(diǎn)A重合，使得 為定值，若存在，求出點(diǎn)P；若不存在，說明理由.
9． 已知橢圓C：(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(，1)，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)(－1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10．已知橢圓(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)F構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(diǎn)(1，0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m，0)，使恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)，并求出這個(gè)定值；若不存在，請說明理由.
11．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動時(shí)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
12．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．
求橢圓E的方程；
過點(diǎn)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
13．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上，直線l過橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為定值？若存在，求定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不在，請說明理由．
14．已知圓的圓心在軸上，半徑，過點(diǎn)且與直線相切.
（1）求圓的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，若中點(diǎn)為，問是否存在實(shí)數(shù)，使為定值，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
第18講 角度、數(shù)量積定值問題
一、解答題
1．已知橢圓：的上下頂點(diǎn)分別為，且點(diǎn)．分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，為線段
的中點(diǎn)．直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．求
的大?。?br>【答案】（1）（2）見解析
【解析】
試題分析：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)得再在中利用橢圓幾何條件得．（2）利用向量數(shù)量積研究的大?。仍O(shè) ，則得 ．求出直線與直線交點(diǎn)，得 ．再根據(jù)向量數(shù)量積得，根據(jù)代入化簡得，即得．
試題解析：解：(Ⅰ)依題意，得．又，
在中，，所以．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(Ⅱ)設(shè) ，，則 ， ．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．即．
又 ，所以直線的方程為．
令，得 ．
又 ，為線段的中點(diǎn)，所以 ．
所以，．
因?yàn)?br>
，
所以．．
2．已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)．
（）求圓和橢圓的方程．
（）已知，分別是橢圓和圓上的動點(diǎn)（，位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．求證：為定值．
【答案】（）；；（）見解析．
【解析】
試題分析：
（1）根據(jù)橢圓定義知，又，因此易求得，得橢圓方程，從而也得到圓的方程；
（2）設(shè)出，，分別代入橢圓方程和圓的方程得到兩個(gè)關(guān)系式，寫出直線AP的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同理寫出BP方程，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再求得向量，并計(jì)算數(shù)量積，結(jié)果為0，可得．
試題解析：
（）依題意，得，，
∴圓方程，橢圓方程．
（）設(shè)，，
∴，，，
∵方程，令時(shí)，，
方程為，令得，
∴，，
∴，
∴．
點(diǎn)睛：“設(shè)而不求”是解題過程中根據(jù)需要設(shè)郵變量，但并不直接求出其具體值，而是利用某種關(guān)系（如和、差、積）來表示變量之間的聯(lián)系，在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)能夠達(dá)到種“化難為易、化繁為簡”的效果，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，步驟一般如下：
（1）設(shè)直線方程與橢圓為的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程組成方程組，消元得一元二次方程；
（3）利用韋達(dá)定理得，，然后再求弦長以及面積，或求其他量（如本題向量的數(shù)量積）．
3．已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與圓相切，證明：為定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．
【解析】
試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由橢圓的定義得，由橢圓的性質(zhì)知，故易得橢圓方程；（Ⅱ）直線與橢圓相交，首選討論直線斜率不存在的特殊情形，求得，因此在斜率存在時(shí)，設(shè)直線，交點(diǎn)，要證明，由直線與圓相切求得的關(guān)系，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后可得，然后計(jì)算，并把剛才的結(jié)論代入可得．
試題解析：（Ⅰ）由題意得
（Ⅱ）當(dāng)直線軸時(shí)，因?yàn)橹本€與圓相切，所以直線方程為。
當(dāng)時(shí)，得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
當(dāng)時(shí)，同理；
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，
設(shè)，由,,
聯(lián)立得
，，
=

綜上，（定值）
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交，定值問題．
【名師點(diǎn)睛】1．解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．
2．求定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
4．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證：直線與橢圓相切；
（Ⅲ）判斷是否為定值，并說明理由．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）答案見解析.
【分析】
（1）由題意可得，，據(jù)此確定離心率即可；
（2）由題意可得.分類討論和兩種情況證明直線與橢圓相切即可；
（3）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，易得．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算可得．據(jù)此即可證得為定值．
【詳解】
（1）由題意，，
所以離心率，左焦點(diǎn)．
（2）由題知，，即.
當(dāng)時(shí)直線方程為或，直線與橢圓相切．
當(dāng)時(shí)，由得，
即
所以
故直線與橢圓相切．
（3）設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，，，
，
所以，即．
當(dāng)時(shí)，由得，
則，，
．
因?yàn)?br>．
所以，即．
故為定值．
【點(diǎn)睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
5．已知點(diǎn)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓的方程：
（2）已知直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為的大小是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．
【答案】（1）y2＝1；（2）∠AOB為定值
【分析】
（1）由PF1⊥x軸，及點(diǎn)P的坐標(biāo)可得F1的坐標(biāo)，即c的值，將P的坐標(biāo)代入，由a，b，c之間的關(guān)系的關(guān)系求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；
（2）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論：當(dāng)斜率不存在時(shí)由原點(diǎn)到直線的距離可得直線l的方程，代入橢圓中求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得數(shù)量積的值為0，可得∠AOB；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由原點(diǎn)到直線的距離可得參數(shù)之間的關(guān)系，將其代入數(shù)量積的表達(dá)式，可得恒為0，即∠AOB恒為定值
【詳解】
（1）因?yàn)镻F1⊥x軸，又在橢圓上，可得F1(﹣1，0)，
所以c=1，1，a2=c2+b2，
解得a2=2，b2=1，
所以橢圓的方程為：y2=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由原點(diǎn)O到直線l的距離為，
可得直線l的方程為：x，
代入橢圓可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)，
可得，所以∠AOB；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：y=kx+m，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由原點(diǎn)O到直線l的距離為，可得，可得3m2＝2(1+k2)，①
直線與橢圓聯(lián)立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，
=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，將①代入中可得=16m2+8>0，
x1+x2，x1x2，
y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
所以，
將①代入可得0，
所以∠AOB；
綜上所述∠AOB恒成立．
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓方程的求解及直線與橢圓的綜合，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．
6．如圖，點(diǎn)M在橢圓1（0＜b）上，且位于第一象限，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1，F(xiàn)2，M的圓與y軸交于點(diǎn)P，Q（P在Q的上方），|OP|?|OQ|＝1．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）直線PM與直線x＝2交于點(diǎn)N，試問，在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得?為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)與該定值；若不存在，請說明理由．
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）存在定點(diǎn)T（1，0），使得?為定值0．
【分析】
（I）設(shè)圓心．則圓的方程為：,令，得：，即可得出，進(jìn)而得出．
（II）設(shè)．將代入圓與橢圓的方程，可得坐標(biāo)，可得直線的方程，設(shè)，可得?，即可得出．
【詳解】
（I）設(shè)圓心（0，t）．則圓的方程為：x2+（y﹣t）2＝c2+t2．
令x＝0，得：y2﹣2ty﹣c2＝0（*），
∴|OP|?|OQ|＝|yP?yQ|＝c2＝1．
∴b＝a2﹣c2＝1．
（II）設(shè)M（x0，y0）．
將M（x0，y0）代入圓與橢圓的方程，可得：
2ty0﹣1＝0，22，消去x0，
得t，代入（*）得：y21＝0，
即，所以
過F1，F(xiàn)2，M的圓與y軸交于點(diǎn)P，Q（P在Q的上方）.
所以yP，.
則 .
則直線的方程為：y，
由直線PM與的交點(diǎn)為.
所以在直線PM的方程中，令 得，．
得
設(shè)T（d，0），?（x0﹣d，y0）?（2﹣d，）
＝（x0﹣d）?（2﹣d）+1﹣x0＝（1﹣d）x0﹣d（2﹣d）+1．
要使得?為定值，即與M的坐標(biāo)無關(guān).
當(dāng)d＝1時(shí)，?0為定值．
存在定點(diǎn)T（1，0），使得?為定值0．
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線軸，點(diǎn)M為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于P

（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：；
（3）試問是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由．
【答案】（1）（2）詳見解析（3）4．
【解析】
試題分析：（1）兩個(gè)獨(dú)立條件可解得兩個(gè)未知數(shù)：由離心率為得，由橢圓C過點(diǎn)得，即得，，則橢圓C的方程．（2）證明，一般從坐標(biāo)表示出發(fā)：先設(shè)，則，又由B,P,M三點(diǎn)關(guān)系可得，從而，也可設(shè)直線斜率表示點(diǎn)的坐標(biāo)（3）同（2）
試題解析：（1）∵橢圓C：的離心率為，
∴，則，又橢圓C過點(diǎn)，∴． 2分
∴，，
則橢圓C的方程． 4分
（2）設(shè)直線BM的斜率為k，則直線BM的方程為，設(shè)，
將代入橢圓C的方程中并化簡得：
， 6分
解之得，，
∴，從而． ８分
令，得，∴，． 9分
又＝， 11分
∴，
∴． 13分
（3）=．
∴為定值4． 16分
考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系，橢圓方程
8．已知橢圓左右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A（-2.0），上頂點(diǎn)為B,且∠=.
（1）求橢圓C的方程；
（2）探究軸上是否存在一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P的任意直線與橢圓交于M、N不同的兩點(diǎn)，M、N不與點(diǎn)A重合，使得 為定值，若存在，求出點(diǎn)P；若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)使得為定值
【分析】
（1）由題意知a，結(jié)合∠=可得c，．再利用a2＝b2+c2，得b2即可．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)量積為定值，得到k與m的關(guān)系，即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）由題意知：又∠=，所以為正三角形，
,,
橢圓C的方程為；
（2）設(shè)直線MN的為,M,N,
,,
,
，消去y得,
,
由韋達(dá)定理,,
,
,
得,
為定值，則，即,
得
即存在點(diǎn)使得為定值.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
9． 已知橢圓C：(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(，1)，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)(－1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)－.
【解析】
試題分析：(Ⅰ) 由以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)可知，將點(diǎn) 代入橢圓方程，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；(Ⅱ) 分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，及恒為定值即可求得的值，從而求得的值及點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，則時(shí)，求得的值及點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為x2＋y2＝b2.因?yàn)樵搱A經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以半焦距c＝b，所以a2＝2b2.將點(diǎn)(，1)代入橢圓方程可得b2＝2，a2＝4，
所以橢圓C的方程為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)．
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)．
聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2＝，
而＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝＋
＝
＝為定值，
只需，解得m＝－，從而＝－，
當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)A(－1，)，B(－1，-)，
此時(shí)，當(dāng)m＝－時(shí)，＝(－1－m)(－1－m)－＝－.
綜上，存在點(diǎn)M(－，0)，使得＝－.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.
10．已知橢圓(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)F構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(diǎn)(1，0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m，0)，使恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)，并求出這個(gè)定值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）見解析.
【解析】
試題分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
試題解析：
(1)由題意，知拋物線的焦點(diǎn)為F(，0)，
所以c＝＝.
因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形，
所以b＝×＝1.
可求得a＝2，故橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)設(shè)其斜率為k，則l的方程為y＝k(x－1).
由
得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
則＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，
所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝m2－＋＋k2
＝
＝
＝ (4m2－8m＋1)＋.
要使·為定值，則2m－＝0，
即m＝，此時(shí)·＝.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
不妨取P，Q，
由E，可得＝，＝，
所以·＝－＝.
綜上，存在點(diǎn)E，使·為定值.
11．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動時(shí)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)滿足題意
【分析】
（1）由題意得，再根據(jù)右焦點(diǎn)為，求出的值，就可得到的值，再根據(jù)，，的關(guān)系，解出值，則橢圓方程可知；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，求出，，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，以及，要使其為常數(shù)，只需要，化簡，可求出的值，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，同樣求出的值，兩者一致，所以在軸上存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù).
【詳解】
（1）由題意可知，，又，解得，
所以，所以橢圓的方程為．
（2）若直線不l垂直于x軸，可設(shè)的方程為．
由得．
．
設(shè)，，則，．
設(shè)，則，，
要使得（為常數(shù)），只要，
即．
對于任意實(shí)數(shù)k，要使式恒成立，
只要，解得．
若直線l垂直于x軸，其方程為，
此時(shí)，直線l與橢圓兩交點(diǎn)為，，
取點(diǎn)，有，，
．
綜上所述，過定點(diǎn)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動時(shí)，存在定點(diǎn)，使得．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了橢圓方程的求法，以及動直線與橢圓相交時(shí)存在性問題的解法．做題時(shí)綜合運(yùn)用了向量數(shù)量積的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于難題.
12．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．
求橢圓E的方程；
過點(diǎn)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】1；2.
【分析】
設(shè)出橢圓的方程，得到關(guān)于a，c的方程組，解出即可求出橢圓方程；
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，設(shè)，，求出，通過討論當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出m的值，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出直線方程，代入檢驗(yàn)即確定．
【詳解】
設(shè)橢圓E的方程為，
由已知得，解得：，
所以．
所以橢圓E的方程為．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，
設(shè)，，
則，，
，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
由，得：，
，，
，
，
對于任意的k值，上式為定值，
故，解得：，
此時(shí)，為定值；
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
直線l：，，，，
由，得為定值，
綜合知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及存在性問題、轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用，屬于難題．解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.
13．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上，直線l過橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為定值？若存在，求定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.
【分析】
（1）由橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，以及，，的關(guān)系，解方程可得，，，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得得為定值．設(shè)，，，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得，令，解得即可得出．
【詳解】
解：（1）橢圓：的離心率為，
可得，，
點(diǎn)在橢圓上，可得，
解得，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.
設(shè)，，
橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立橢圓方程，化為，
則，，
.令，解得，可得，因此在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、定值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
14．已知圓的圓心在軸上，半徑，過點(diǎn)且與直線相切.
（1）求圓的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，若中點(diǎn)為，問是否存在實(shí)數(shù)，使為定值，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，1或4.
【分析】
（1）設(shè)圓心，利用過點(diǎn)且與直線相切建立方程即可求解；
（2）原問題可轉(zhuǎn)化為是否存在使為定值，分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，求出M坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算即可.
【詳解】
(1) 設(shè)圓心
圓心到的距離等于半徑，
，
即
平方后，整理得，
解得或
又因?yàn)榘霃剑?br>（舍），，
所以所求圓的方程為
(2)
①直線l的斜率k存在時(shí)
設(shè)l：，
求M點(diǎn)：
，
，
，
，
要使為定值，與無關(guān)，
，則.
②當(dāng)l的斜率不存在時(shí),
,
,
,
與時(shí)符合，
又當(dāng)M與P重合時(shí)，也為定值，
綜上，當(dāng)時(shí)，為定值.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查定值問題，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的坐標(biāo)．利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，可得，對式子進(jìn)行分析，要求與k無關(guān)，所以只能t取1，此時(shí)為定值．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．

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