（復(fù)習(xí)）2025年高一數(shù)學(xué)寒假講義+隨堂檢測(cè) 第01講基本不等式求最值問題（2份，原卷版+教師版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、基本不等式
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
其他變形：
①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)
②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)
③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)
④重要不等式串：即
二、常見求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
三、柯西不等式
1.二維形式的柯西不等式
2.二維形式的柯西不等式的變式
3.二維形式的柯西不等式的向量形式
注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用。比如，對(duì)，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了。
4.擴(kuò)展：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
①直接法求最值
策略方法
直接利用基本不等式求解，注意取等條件
【題型精練】
【例1】若，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式1-1】若，，且，則的最大值是（）
A． B． C． D．
【變式1-2】若，則的最大值是（）
A． B．4 C．8 D．16
【變式1-3】已知正數(shù)，滿足，則的最大值為．
【變式1-4】用長度為米的材料圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，場(chǎng)地中間用該材料加兩道與矩形的邊平行的隔墻，若使矩形的面積最大，則隔墻的長度是米．
②常規(guī)湊配法求最值
策略方法
1．通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．
2．注意驗(yàn)證取得條件．
【例2】函數(shù)的最小值為（）
A．2 B．5 C．6 D．7
【變式2-1】已知，則的最小值是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【變式2-2】已知，則的最大值為．
【變式2-3】若，則的最大值是 .
③消參法求最值
策略方法
消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！
【例3】已知，且，則的最小值為（）
A．1 B．2 C． D．
【變式3-1】已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值是（）
A．33 B．26 C．25 D．21
【變式3-2】已知，，，則的最小值為（）
A．2 B．3 C． D．4
【變式3-3】已知，，且，則不等式：（1），（2），（3），（4）；其中正確的個(gè)數(shù)為（）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式3-4】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．
④“1”的代換求最值
策略方法
1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．
注意：（1）根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．（2）注意驗(yàn)證取得條件．
【例4】已知，，若，則的最小值為（）
A．7 B．9 C．11 D．13
【變式4-1】已知且滿足則的最小值為（）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知，，，則的最小值為（）
A．4 B．6 C．8 D．9
【變式4-3】當(dāng)時(shí)，的最小值為（）
A． B． C．6 D．
【變式4-4】若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為．
⑤求商式的最值
【例5】函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【變式5-1】已知正實(shí)數(shù)x，則的最大值是（）
A． B． C． D．
【變式5-2】若，則的最大值是（）
A． B． C． D．
【變式5-3】函數(shù) 的最大值為 .
★⑥柯西不等式求最值
策略方法
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
【例6】已知且則的最小值是（）
A．1 B． C． D．2
【變式6-1】已知a，b，，滿足，則的最大值為（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【變式6-2】已知，，均為正數(shù)，若，則的最小值為
A． B． C． D．
【變式6-3】已知，則的取最小值時(shí)，為（）
A． B． C．3 D．
【變式6-4】已知，，為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）
A． B．1 C．2 D．
基本不等式求最值問題隨堂檢測(cè)
1.已知正數(shù)滿足，則的最大值是（）
A．B．C．D．
2.已知，，，則的最小值為（）
A．8B．13C．12D．9
3.函數(shù) 的最小值是（）
A．B．3C．6D．12
4.已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值為（）
A．1B．2C．4D．8
5．若，則的最大值為．
6．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為．
7．已知，，且，則的最小值為 .
8．已知，則函數(shù)的最小值是．
9．已知，且，則的最小值是 .
10．已知，，且，則的最小值為．
11．已知、、，且滿足，則的最小值為 .
①直接法求最值
②常規(guī)湊配法求最值
③消參法求最值
④“1”的代換求最值
⑤求商式的最值
★⑥柯西不等式求最值

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