【例1】若P，Q分別是拋物線與圓上的點，則的最小值為________．
【答案】.
【分析】設(shè)點，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．
【詳解】依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點到圓上一點的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因為，，設(shè)，
，由于恒成立，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．
故答案為：．
【變式1-1】已知拋物線的焦點為，點，為拋物線上一動點，則周長的最小值為______.
【答案】
【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定義求解即可.
【詳解】解：由題知，準(zhǔn)線方程為.如圖，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以周長，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點時等號成立.故答案為：.
題型二 與面積有關(guān)的最值問題
【例2】已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的長軸長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求的面積的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出的值，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，可求得點的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為橢圓的長軸長為，則，
將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：若與軸重合，則不存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
若，則點與點重合，不合乎題意，所以，，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，易知點，，
直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點，，所以，，
令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，，所以，.
故的面積的取值范圍是.
題型三 與向量有關(guān)的最值問題
【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點．P為橢圓C上一點，直線交橢圓C于另一點Q．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點P的坐標(biāo)為，求過P、Q、三點的圓的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由焦距為2得到，再由雙曲線的頂點求出，得到，橢圓方程；
（2）求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到點Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的方程；
（3）設(shè)，，由向量共線得到，將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式求出最值.
【詳解】（1）雙曲線的頂點坐標(biāo)為，故，
由題意得，故，故橢圓的方程為．
（2）因為，，所以的方程為，
由，解得點Q的坐標(biāo)為．設(shè)過P，Q，三點的圓為，
則，解得，，，所以圓的方程為；
（3）設(shè)，，則，，
因為，所以，即，所以，解得，
所以，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．最大值為
圓錐曲線中的定值問題
題型五 圓錐曲線中面積為定值問題
【例5】已知圓，點，是圓上一動點，若線段的垂直平分線與線段相交于點．
(1)求點的軌跡方程；
(2)已知為點的軌跡上三個點（不在坐標(biāo)軸上），且，求的值．
【解析】(1)由已知有，
∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，∴，
∴點的軌跡方程
(2)由，可知為的重心，∴，
由已知的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，
由，則，
，
由，，
∴，，
∴．
題型六 圓錐曲線中線段為定值問題
【例6】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦點到漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為雙曲線的右頂點，直線與雙曲線交于不同于的，兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點且于，證明：存在定點，使得為定值.
【答案】(1)；(2)見解析
【分析】（1）由已知可設(shè)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)條件列出a，c關(guān)系式，解出代入方程即可；
（2）對直線的斜率能否為0進(jìn)行討論.斜率不為0時，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關(guān)系時，在圓錐曲線中常用向量法，化簡得到m，k的關(guān)系式；斜率不存在時，寫出直線方程，驗證即可.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點為，，
因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，所以.因為焦點到漸近線的距離為2，所以，從而，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）證明：設(shè)，.①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組化簡得，則，即，且 因為，所以，
化簡得 所以或，且均滿足.當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾；當(dāng)時，直線的方程為，過定點
②當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，不妨設(shè)DE方程為：y=x-1，
聯(lián)立方程組，得，得，，此時直線過定點
因為，所以點在以為直徑的圓上，為該圓的圓心,為該圓的半徑，故存在定點，使得為定值.
【變式6-1】已知橢圓C：的離心率為，且過點．
（1）求的方程：
（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
【解析】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.
(2)［方法一］：通性通法
設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，
代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，
因為，所以，即，
根據(jù),代入整理可得：，
所以，整理化簡得，
因為不在直線上，所以，
故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.
當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，
得，結(jié)合可得：， 解得：或（舍）.
此時直線過點.令為的中點，即，
若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，
若與重合，則，故存在點，使得為定值.
圓錐曲線中的最值、定點、定值問題 隨堂檢測
1.已知拋物線C：（p＞0），拋物線C的焦點為F，點P在拋物線上，且的最小值為1．
(1)求p；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，A，B為拋物線C上不同的兩點，直線OA，OB的斜率分別為，，且滿足，求｜AB｜的取值范圍．
【解析】 (1)因為，則，所以；
(2)由（1）得，設(shè)，則
則，由得，所以，
設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得，所以則
故過焦點，所以．
2.設(shè)橢圓經(jīng)過點M，離心率為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓E的右頂點為A，過定點且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點，設(shè)直線AB，AC與直線的交點分別為P，Q，求面積的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把點代入橢圓方程，然后結(jié)合離心率公式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達(dá)，然后表示出直線，的方程，進(jìn)而求得，，求得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
(1)由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)設(shè)過點的直線方程為，代入橢圓的方程，整理得，
因為，設(shè)，，則，①，
由（1）得，則直線的方程為，令，得，同理可得
將，代入，
把①式代入，整理得，由，知，所以面積的最小值為.
3.已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線與C交于另一點D，求證：直線過定點.
【答案】(1)；(2)見解析
【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為，將點代入求出，即可得解；
（2）可設(shè)直線為，，聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，然后求出直線的方程，整理分析即可得出結(jié)論.
(1)解：因為雙曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的方程為，
將點代入得，解得，所以雙曲線C的方程為；
(2)解：顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線為，，
聯(lián)立，消整理得，
依題意得且，即且，，
直線的方程為，令，
得.
所以直線過定點.

相關(guān)試卷

（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第11課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第11課 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版），文件包含寒假2024-2025年高二數(shù)學(xué)寒假鞏固講義+隨堂檢測第11課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值教師版docx、寒假2024-2025年高二數(shù)學(xué)寒假鞏固講義+隨堂檢測第11課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值教師版pdf、寒假2024-2025年高二數(shù)學(xué)寒假鞏固講義+隨堂檢測第11課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值原卷版docx、寒假2024-2025年高二數(shù)學(xué)寒假鞏固講義+隨堂檢測第11課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值原卷版pdf等4份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。

（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第10講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第10講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（2份，原卷版+教師版），文件包含寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第10講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值教師版docx、寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第10講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值教師版pdf、寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第10講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值原卷版docx、寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第10講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值原卷版pdf等4份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共52頁， 歡迎下載使用。

（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第07講 圓錐曲線中的定點、定直線問題（2份，原卷版+教師版）：

這是一份（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第07講 圓錐曲線中的定點、定直線問題（2份，原卷版+教師版），文件包含寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第07講圓錐曲線中的定點定直線問題教師版docx、寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第07講圓錐曲線中的定點定直線問題教師版pdf、寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第07講圓錐曲線中的定點定直線問題原卷版docx、寒假人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí)第07講圓錐曲線中的定點定直線問題原卷版pdf等4份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共69頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第08講 圓錐曲線三定問題及最值（2份，原卷版+教師版）

（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第08講 圓錐曲線三定問題及最值（2份，原卷版+教師版）
高考數(shù)學(xué)微專題集專題22圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題微點4圓錐曲線中的定點、定值、定直線綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)微專題集專題22圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題微點4圓錐曲線中的定點、定值、定直線綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)微專題集專題22圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題微點2圓錐曲線中的定值問題(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)微專題集專題22圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題微點2圓錐曲線中的定值問題(原卷版+解析)
常考題型13 圓錐曲線中定點、定值、最值與范圍問題試卷

常考題型13 圓錐曲線中定點、定值、最值與范圍問題試卷
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部