第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題 【知識點梳理】知識點一．平面向量范圍與最值問題常用方法： 1．定義法第一步:利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步:得出結(jié)論2．坐標(biāo)法第一步 : 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)第二步: 將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3．基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4．幾何意義法第一步: 先確定向量所表達(dá)的點的軌跡第二步: 根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識點二．極化恒等式1．平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：    （1）   （2）（1）（2）兩式相加得：2．極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的。（2）三角形模式：（M為BD的中點）知識點三.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大.  【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【典型例題】題型一：定義法例1．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影的最小值為_________．例2．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））已知中，，，，點P為邊AB上的動點，則的最小值為（       ）A．-4 B．-2 C．2 D．4例3．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）在梯形中，與相交于點Q．若，則________；若，N為線段延長線上的動點，則的最小值為_________．例4．（2022·天津南開·二模）已知平行四邊形中，，，，則________；若，，則的最大值為________．例5．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）若，且，則___________，的最大值為___________.例6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（文））如圖，設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知，c＝1且．(1)求b邊的長；(2)求△ABC的面積；(3)設(shè)點E，F分別為邊AB，AC上的動點，線段EF交AD于G，且△AEF的面積為△ABC面積的一半，求的最小值．題型二：坐標(biāo)法例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點和點，，且，其中O為坐標(biāo)原點． (1)若，設(shè)點D為線段OA上的動點，求的最小值；(2)若，向量，，求的最小值及對應(yīng)的x值．例8．（2022·甘肅平?jīng)?/span>·高一期末）已知等腰直角三角形中，斜邊的長為，點M是線段上一點，且，點N在線段上，則的最小值為（       ）A． B． C． D．例9．（2022·甘肅定西·高一階段練習(xí)）菱形的邊長為，，點在邊上（包含端點），則的最小值為（       ）A． B． C． D．例10．（2022·北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，為線段的中點，為線段上一動點（包括端點），且，則下列說法錯誤的是（       ）A．B．若為線段的中點，則C．的最小值為D．的最大值比最小值大例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，點在以為圓心2為半徑的圓弧上運(yùn)動，且，則的最小值為（       ）A． B． C．0 D．2例12．（多選題）（2022·云南·昆明一中高一期中）在邊長為2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含邊）內(nèi)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．若點P在BD上時，則B．的取值范圍為C．若點P在BD上時，D．若P，Q在線段BD上，且，則的最小值為1例13．（多選題）（2022·浙江·高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，為線段的中點，為線段上一動點（包括端點），且，則下列說法正確的是（       ）A． B．若為線段的中點，則C．的最小值為 D．的最大值比最小值大題型三：基底法例14．（2022·山東臨沂·高一期中）在中，，，，，則__________，若點在線段上，則 的最大值為___________．例15．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）在梯形中，分別為線段，上的動點.(1)求；(2)若，求；(3)若，求的最小值；例16．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為___________，若，則的最小值為___________.例17．（2022·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知點P是邊長為2的正三角形的邊BC上的動點，則（       ）A．最大值為6 B．為定值6 C．最小值為3 D．為定值3例18．（2022·天津南開·三模）在等腰梯形中，已知，，，，動點E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)__________時，則有最小值為__________．題型四：幾何意義法例19．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）如圖，圓，圓半徑均為4，兩圓外切于點O，點A是圓上任意一點，點B是圓上任意一點，則的最小值為___________，最大值為___________例20．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）平面向量滿足，則的最小值為_________．例21．（2022·浙江·嘉興市第五高級中學(xué)高一期中）已知平面向量,若,則在上投影向量的模長的最小值為（       ）A． B． C． D．例22．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（       ）A． B． C． D．例23．（2022·遼寧·高一期中）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形邊上的一點，則的最大值是（       ） A． B． C． D．題型五：極化恒等式例24．（2022·全國·模擬預(yù)測）在中，已知，，，，，點在邊上，則的最大值為（       ）A．3 B．2 C． D．例25．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運(yùn)動，則的最小值為（       ）A．5 B．6 C．7 D．8例26．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角中，，為的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)得到線段.設(shè)為線段上的點，則的最小值為___________.例27．（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知P是等邊三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且，，則的最小值是（       ）A．1 B． C． D．2【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·四川省平昌中學(xué)高一階段練習(xí)）若向量的模均為2，且，則的最大值（   ）A． B．1 C．2 D．2．（2022·江蘇·無錫市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，則面積的最大值為（       ）A． B． C． D．3．（2022·上海交大附中高一階段練習(xí)）已知向量、，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值為（       ）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高一期中）已知向量，，當(dāng)取最大值時，銳角的值為（       ）A． B． C． D．5．（2022·貴州黔東南·高一期中）已知向量，，且，，則的最大值為（       ）A．1 B．3 C．7 D．56．（2022·河南·南陽中學(xué)高一階段練習(xí)）已知平面向量均為單位向量，．=0，，則的最大值是（       ）A． B． C． D．7．（2022·河北石家莊·高一階段練習(xí)）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的直徑均為均是邊長為2的等邊三角形．設(shè)點P為前輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（       ）A．2 B．4 C． D．68．（2022·四川·雅安中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運(yùn)動，若，則的最大值是（            ） A． B． C．1 D．29．（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）如圖，已知等腰中，，，點是邊上的動點，則（       ）A．為定值16 B．為定值10 C．最大值為8 D．與的位置有關(guān)二、多選題10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面內(nèi)夾角為的兩個單位向量，向量在該平面內(nèi)，且，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B． C． D．的最小值為11．（2022·山東省實驗中學(xué)高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點E在弧上.（       ）A． B．若，則C．若，則 D．的最小值為12．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一期中）已知的重心為G，點E是邊上的動點，則下列說法正確的是（       ）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時，13．（2022·山西·大同一中高一階段練習(xí)）已知的重心為，點是邊上的動點，則下列說法正確的是（       ）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時，三、填空題14．（2022·福建·三明市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點E為AB的中點．以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交AD于點F，若P為劣弧EF上的動點，則的最小值為__________．15．（2022·山東棗莊·高一期中）若是邊長為6的等邊三角形，點滿足，且（其中，），則的最小值為______．16．（2022·寧夏·銀川一中高一期中）已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點滿足的最小值為____________．17．（2022·江蘇揚(yáng)州·高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點E在弧上.的最小值為___________18．（2022·上海市七寶中學(xué)高一期中）非零向量滿足，則的最小值為_______.19．（2022·浙江臺州·高一期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，，，若對任意實數(shù)，點都滿足，則的最小值為________．20．（2022·上海市第二中學(xué)高一期中）在中，,,有下述三個結(jié)論：①若G為的重心，則；②若P為邊上的一個動點，則為定值2；③若M、N為邊上的兩個動點，且，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的編號________________．21．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）已知平面向量滿足與的夾角為，記，則的取值范圍是___________.22．（2022·四川省廣漢中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知是邊長為2的正三角形，為線段上一點（包含端點），則的取值范圍為______．23．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一期中）已知是邊長為2的等邊三角形，若點是區(qū)域內(nèi)一點（不包括邊界），且，則的取值范圍是______．24．（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的項點A、B分別在x軸非負(fù)半軸和y軸非負(fù)半軸上，頂點C在第一象限內(nèi)，AB＝2，BC＝1，設(shè)∠DAx＝θ，若，則的取值范圍為______．25．（2022·湖北荊州·高一期中）在中，D、E分別是BC、AC的中點，且，，則的取值范圍是__________．26．（2022·湖南·高一期中）已知，，，，點P為平面ABC內(nèi)一動點，且滿足.（1）已知，則_________；（2）已知，則的取值范圍為_________.

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