（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第08講圓錐曲線三定問題及最值（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

定點(diǎn)
參數(shù)法解決定點(diǎn)問題的思路:
①引入動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量,即確定題目中的核心變量(此處設(shè)為k);
②利用條件找到k與過定點(diǎn)的曲線F(x,y)=0之間的關(guān)系,得到關(guān)于k與x,y的等式,再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點(diǎn).其理論依據(jù)是:直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0),則直線必過定點(diǎn)(x0,y0);直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).
2.特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
二．定值
1.從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
2.直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
三．定直線：是指因圖形變化或點(diǎn)的移動而產(chǎn)生的動點(diǎn)在定直線上的問題
1.設(shè)點(diǎn)法:設(shè)點(diǎn)的軌跡,通過已知點(diǎn)軌跡,消去參數(shù),從而得到軌跡方程;
2.待定系數(shù)法:設(shè)出含參數(shù)的直線方程,利用待定系數(shù)法求解出系數(shù);
3.驗(yàn)證法:通過特殊點(diǎn)位置求出直線方程,對一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.
四．最值
解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面
1.利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.
2.利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的取值范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.
3.利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.
4.利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.
5.利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)一定點(diǎn)
【例1-1】已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實(shí)數(shù)和的值；
(2)若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線與直線相交于點(diǎn)．且點(diǎn)在橢圓上，證明直線恒過定點(diǎn)．
【答案】(1)，；(2)證明見解析
【解析】（1）由橢圓方程可得其焦距為，離心率為；
由橢圓可得其焦距為，離心率為；
由題意知：，解得：（舍）或，，.
（2）設(shè)，，，則，
，，分別為的中點(diǎn)，
，，，
，
，，，即，
同理可得：，直線的方程為，
直線恒過定點(diǎn).

【一隅三反】
1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B分別是C的右、上頂點(diǎn)，且，D是C上一點(diǎn)，周長的最大值為8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】（1）依題意，，周長，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立，故，

所以，所以的方程；
（2）設(shè)，直線，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
從而中點(diǎn)，以為直徑的圓為，
由對稱性可知，定點(diǎn)必在軸上，令得，，
，
所以，即，因?yàn)椋?br>所以，即，解得，所以圓過定點(diǎn).

考點(diǎn)二定值
【例2】如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個動點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長交于點(diǎn)，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓的長軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）的周長為，由橢圓的定義得，即，
又面積的最大值為2，，即，
，，，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，
設(shè)橢圓的方程為，則有，，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，，，點(diǎn)在曲線上，，
依題意，可設(shè)直線，的斜率分別為，則的方程分別為，，
于是，
聯(lián)立方程組，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，，，
為定值.
【一隅三反】
1．已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實(shí)數(shù)a和b的值；
(2)若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點(diǎn)P．且點(diǎn)P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)，；(2)是定值，該定值為．
【解析】（1）由題意知，，且，解得，．
（2）梯形的面積是定值，該定值為．理由如下：
由（1）知：，：,

設(shè)，，，則，
因?yàn)?，，所以A，B分別為PD，PC的中點(diǎn)，
則，，則，
作差可得，．
因?yàn)?，即，所以?br>同理可得，，所以C，D都在直線上，即直線CD的方程為．
聯(lián)立，可得，，則，
即．
又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線CD的距離，
所以的面積為．
又因?yàn)椤?，，所以?br>所以梯形ABCD的面積為．
考點(diǎn)三定直線
【例3】已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析
【解析】（1）依題可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為，
所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，．從而．
（3）由（1）知，設(shè)，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)在定直線上.
【一隅三反】
1．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的、兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，.

(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)、為雙曲線實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)，若過的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)在直線上
【解析】（1）解：如圖所示：

延長與交于，因?yàn)?，?br>則，即，令，則，
所以，，由雙曲線的定義可得，
則，，則，
又因?yàn)?，即，解得，所以，，?br>由勾股定理可得，則，故，
因此，雙曲線的方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則直線與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的兩個頂點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，

由題意可得，解得，
由韋達(dá)定理可得，，
易知點(diǎn)、，則，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線、的方程并消去可得，
可得，解得，
因此，直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
考點(diǎn)四最值
【例4】設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，且焦距為.點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的方程為：，過點(diǎn)作垂直于直線，交于點(diǎn).求面積的最大值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由題意知：，，設(shè)，
則，，
又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）設(shè)直線，，則，
由得：，顯然，，，
，又，直線方程為：，
令，則，
直線過定點(diǎn)；
而，
則，
令，有在上單調(diào)遞增，
則，即時，取最小值4，于是當(dāng)時，，
所以面積的最大值是.
【一隅三反】
1．已知點(diǎn)在橢圓上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
(1)求直線的斜率；
(2)求的面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【答案】(1)1；(2)
【解析】（1）由題意得，解得，代入橢圓方程中，，
解得或6（舍去），故，

當(dāng)直線的斜率不存在時，關(guān)于軸對稱，此時有對稱性可知，直線，的斜率之和不為0，舍去；設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，
則，則，
設(shè)，則，
，故，
即，故，即，
當(dāng)時，，此時直線，
顯然直線恒過，矛盾，當(dāng)時，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故直線的斜率為1；
（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，
，解得，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
故，
故當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為.
圓錐曲線三定問題及最值課后練習(xí)
1.已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請求出定點(diǎn)；如果沒有，請說明理由.
【答案】(1)；(2)經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【解析】（1）如圖所示，

∵，且，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程，則，，∴，.
所以點(diǎn)的軌跡方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為：，由，得
設(shè)，，則，.
所以，，
因?yàn)橹本€的方程為：，令，得，
所以，，同理可得，
以為直徑的圓的方程為：，
即，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，，
得，代入得，
化簡得，，解得或（舍去），
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線與軸重合，直線經(jīng)過點(diǎn)，
綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn).
2．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過C的焦點(diǎn)時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）由已知C：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，得，焦點(diǎn)，，.所以，，故C：.
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由已知得，，設(shè)，，則，①
由，得：，，
消去得：，即②
由①②得：，由已知，故存在定直線l：滿足條件.
3.設(shè)拋物線，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且.
(1)求p；
(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值.
【答案】(1)2；(2)
【解析】（1）設(shè)，
由，可得，所以，，
所以，
即，因?yàn)?，解得?br>（2）由（1）得拋物線，因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，，
由，可得，所以，，，
因?yàn)椋?，即?br>亦即，將，代入得，
，，所以，且，解得或，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
，
所以的面積，
而或，所以當(dāng)時，的面積.

圓錐曲線三定問題及最值隨堂檢測
1.已知橢圓的離心率是，上、下頂點(diǎn)分別為，.圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，且.
(1)求的方程；
(2)直線與圓相切且與相交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓恒過定點(diǎn).
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）由已知得，，.
則，，，所以.
因?yàn)椋郑裕?故的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，即.
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即.
設(shè)，，則，.
由化簡，得，由韋達(dá)定理，得
所以，
所以，
故，即以為直徑的圓過原點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為或.
這時，或，.
顯然，以為直徑的圓也過原點(diǎn).綜上，以為直徑的圓恒過原點(diǎn).
2.在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【解析】（1）將，代入到，
可得，解得，，所以橢圓的方程為：.
（2）由題意可知，蒙日圓方程為：.
（?。┤糁本€斜率不存在，則直線的方程為：或.
不妨取，易得，，，，.
（ⅱ）若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：.
聯(lián)立，化簡整理得：，
據(jù)題意有，于是有：.
設(shè)（），（）.化簡整理得：，
，
，.則
，
，所以.綜上可知，為定值.

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