（1）求出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）點P為線段MB上的一個動點，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD＝m，△PCD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索線段MB上是否存在點P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

2．如圖①，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
拓展設(shè)問：點為平面內(nèi)一點，直線上方的對稱軸上是否存在點，使得以為頂點的四邊形是菱形．若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
3．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．
（1）直接寫出A點B點坐標(biāo)及拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；
（3）把拋物線與直線的交點稱為拋物線的不動點，若將（1）中拋物線平移，使其頂點為(m，2m)，當(dāng)m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點．
4．如圖①，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于C點，連接，過點C作交于點D．
(1)求點D的坐標(biāo)；
(2)如圖②，在直線上取一點M（不與點B重合），在直線的右上方是否存在這樣的點N，使得以C、M、N為頂點的三角形與全等？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，且點B的坐標(biāo)為(2，0)，與y軸交于點C，拋物線對稱軸為直線x．連接AC，BC，點P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點．過點P作x軸的垂線PH，垂足為點H，交AC于點Q．過點P作PG⊥AC于點G．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求周長的最大值及此時點P的坐標(biāo)．
（3）在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請寫出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=2x2?(1+2c)x+c（c>，c是常數(shù)）的圖像與x軸分別交于點A，點B（點B在點A右側(cè)），與y軸交于點C，連接BC．
(1)證明：△BOC是等腰直角三角形；
(2)拋物線頂點為D，BC與拋物線對稱軸交于點E，當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，求c的值．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個動點，求面積的最大值；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.
8．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交C點，點A的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，3）它的對稱軸是直線
（1）求拋物線的解析式；
（2）M是線段AB上的任意一點，當(dāng)△MBC為等腰三角形時，求M點的坐標(biāo)．
9．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，點在二次函數(shù)的圖像上，且∥軸．問線段BC上是否存在點P，使△POC為等腰三角形；如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
10．我們定義：如圖1，在與中，兩三角形有公共頂點，所在射線逆時針旋轉(zhuǎn)到所在射線，所在射線逆時針旋轉(zhuǎn)到所在射線，，則我們稱與互為“旋補比例三角形”．
（1）如圖1，與互為旋補比例三角形，時，①________，②___________；
（2）如圖2，在中，于點，與互為旋補比例三角形，延長至點，使，連結(jié)，求證：與互為旋補比例三角形；
（3）如圖3，在中，，點在軸的正半軸上，，點在第二象限，，拋物線經(jīng)過點，與軸交點為， (點按逆時針排列)與互為旋補比例三角形，點在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點構(gòu)成的三角形是以為腰的等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．
11．拋物線（）與軸相交于點，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，若是等腰直角三角形，求的面積；
（3）若是對稱軸上一定點，是拋物線上的動點，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．
12．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，4）、B（5，0）和原點O．P為二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C．
（1）求出二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點P在直線OA的上方時，求線段PC的最大值；
（3）當(dāng)m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
13．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點M，使得MA+MC的值最小，求此點M的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在P點，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出點P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．
14．拋物線經(jīng)過A、、三點．點D為拋物線的頂點，連接、、、．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在y軸上是否存在一點E，使為直角三角形？若存在，請你直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
15．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸正半軸交于點，且點的坐標(biāo)為，．
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)在此二次函數(shù)的圖象上是否存在一點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
《2025年中考數(shù)學(xué)高頻壓軸題訓(xùn)練——特殊三角形問題（二次函數(shù)綜合）》參考答案
1．（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）
【分析】（1）根據(jù)題意得出點B和點C的坐標(biāo)，將兩點坐標(biāo)代入即可得出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)OD＝m設(shè)出點P的坐標(biāo)，從而得出PD的長度，再根據(jù)得出S關(guān)于m的函數(shù)解析式；再根據(jù)點P在線段MB上得出m的取值范圍；
（3）分別討論∠PDC、∠DPC和∠DCP分別是直角的情況是否存在，如果存在，根據(jù)實際情況，利用數(shù)形結(jié)合的思想得出點P的坐標(biāo).
【詳解】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得
∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）由（1）可得函數(shù)解析式為：，
∴M（1，4）
設(shè)直線MB的解析式為y＝kx+n，將點M（1，4），點B（3，0）代入可得：
則有，
解得：，
∴直線MB的解析式為；
∵PD⊥x軸，OD＝m，
∴點P的坐標(biāo)為（m，）
∴；
又∵點P為線段MB上的一個動點，且當(dāng)點P與點B重合時，點P和點D重合，PCD不能構(gòu)成三角形，
∴；
∴；
（3）∵若∠PDC是直角，則點C在x軸上，由函數(shù)圖象可知點C在y軸的正半軸上，
∴∠PDC≠90°，
如圖，在△PCD中，當(dāng)∠DPC＝90°時，
當(dāng)CPAB時，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P點縱坐標(biāo)為：3，代入，
得：，此時．
∴線段BM上存在點使△PCD為直角三角形．
如圖，當(dāng)時，△COD′∽△D′CP′，
此時CD′2＝CO?P′D′，
即，
∴
解得：，
∵，
∴，
∴P′
綜上所述：P點坐標(biāo)為：（，3），．

【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合題型，其中第一問求函數(shù)解析式注意檢驗，確保正確；第二問求坐標(biāo)系中三角形的面積，需注意先觀察三角形中是否有平行于坐標(biāo)軸的邊，如果有的話就以這條邊為底，設(shè)出動點坐標(biāo)，用坐標(biāo)將線段長度表示出來后計算，注意動點所在的位置決定了自變量的取值范圍；第三問是直角三角形的問題，可以用勾股定理，也可以利用兩直線垂直的性質(zhì)進(jìn)行計算，注意動點所在的位置，計算出的結(jié)果要舍去不符合條件的量.
2．（1）；
（2）存在，點的坐標(biāo)為或或或；
拓展設(shè)問：存在，點的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的交點式列方程求解即可得到答案；
（2）求出及對稱軸，設(shè)，由兩點之間距離公式得到，，，根據(jù)題意，由等腰三角形性質(zhì)分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；分類討論求解即可得到答案；
拓展設(shè)問：設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)坐標(biāo)兩點的距離公式，得到，，，根據(jù)題意，分三種情況：當(dāng)為菱形的對角線時；當(dāng)為菱形對角線時；當(dāng)為對角線時，由菱形性質(zhì)列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：（1）拋物線與軸交于點和點，
，
解得，，
拋物線的解析式為；
（2）存在，點的坐標(biāo)為或或或，理由如下：
由（1）知，
∴，，拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)點，其中，
點、、，
，，，
當(dāng)時，則，解得，則點或；
當(dāng)時，則，解得或（負(fù)值舍去），則點；
當(dāng)時，則，解得，則點；
綜上，點的坐標(biāo)為或或或；
拓展設(shè)問：存在，點F的坐標(biāo)為或或，理由如下：
拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)直線的解析式為,
則，解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
∴設(shè)點的坐標(biāo)為，此時，
∵，，
∴，，
，
①當(dāng)為菱形的對角線時，如圖所示：
此時，
∴，解得，
∴；
②當(dāng)為菱形對角線時，如圖所示：
此時，
∴，解得或（不合題意，舍去），
∴；
③當(dāng)為對角線時，如圖所示：
此時，
∴，解得或（不合題意，舍去），
∴；
綜上，點的坐標(biāo)為或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、等腰三角形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、兩點之間距離公式、解二次方程等知識，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)及菱形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
3．（1）A（-1，0），B（2，3），；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，理由見解析；（3）
【分析】（1）分別寫出A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）根據(jù)OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分別得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，進(jìn)而得到△ABM是直角三角形；
（3）根據(jù)拋物線平移以后的頂點可得平移后的解析式為，由拋物線的不動點是拋物線與直線的交點，則，方程總有實數(shù)根，則≥0，得到m的取值范圍即可．
【詳解】（1）∵點A是直線與軸的交點，
∴A點為（-1，0）
∵點B在直線上，且橫坐標(biāo)為2，
∴B點為（2，3）
∵過點A、B的拋物線的頂點M在軸上，故設(shè)其解析式為：
∴，解得：
∴拋物線的解析式為．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥軸于點C，
∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3，
∴∠BAC＝45°；
點M是拋物線的頂點，
∴M點為（0，-1）
∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形．
（3）將拋物線的頂點平移至點（，），則其解析式為
∵拋物線的不動點是拋物線與直線的交點
∴
化簡得：
∴＝＝
當(dāng)時，方程總有實數(shù)根，即平移后的拋物線總有不動點，解得：，
∴．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法，直角三角形的判定，一元二次方程根的判別式，熟記基本的性質(zhì)與運算公式是解題關(guān)鍵．
4．(1)；
(2)存在，滿足要求的N點坐標(biāo)有，，．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的與坐標(biāo)軸交點的計算方法，分別求出的坐標(biāo)，根據(jù)題意，可證，可得，由此即可求解；
（2）根據(jù)題意，運用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，結(jié)合圖形，分類討論：①如圖所示，，可證，即可求解；②如圖所示，，根據(jù)平行線，等腰三角形的性質(zhì)即可求解；③如圖所示，，運用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：令，則，
∴，
∴．
令，則，
解得，，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
∵，，，
∴，，則，
∴，
∴．
①如圖所示，，交軸于，
則，，，
∴，
∴軸，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如圖所示，，
則，，
∴，
∴；
③如圖所示，，
則，，，
∴，
作軸于，則，
∴，，
∴，
作軸，于點，則，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴，，
∴．
綜上所述，滿足要求的N點坐標(biāo)有，，．
【點睛】本題主要考查了二函數(shù)圖象的性質(zhì)，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識的綜合運用，圖形結(jié)合分析，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
5．（1）yx2x+3；（2），P(，)；（3）存在，Q1(，3)，Q2(﹣1，2)
【分析】（1）將已知點B（2，0）代入，拋物線對稱軸為直線x，即，聯(lián)立方程組，求出a，b，即可確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)△PQG是等腰直角三角形，設(shè)P（m，m2m+3）得到F（m，m+3），進(jìn)而得到PQm2m+3﹣m﹣3m2m，從而得到△PQG周長m2m（m2m）＝（1）（m2m），配方后即可確定其最大值；
（3）利用兩點間距離公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13 ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分3類討論，聯(lián)立方程組即可求得Q．
【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（2，0），對稱軸為直線x，
∴，解得，
∴yx2x+3．
（2）令y＝0，即x2x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直線AC經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b，
則，
∴，
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
設(shè)P（m，m2m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQm2m+3﹣m﹣3m2m，
∴當(dāng)m時，PQmax，此時P（，），
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周長m2m（m2m），
＝（1）（m2m），
＝（1）PQ，
∴△PFG周長的最大值為：（1）．
（3）∵B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），
由兩點間距離公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，
①當(dāng)CQ＝CB時，
∴2m2＝13，
∴m1（舍去），m2，
∴Q1（，3）；
②當(dāng)BQ＝CB時，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴Q2（﹣1，2）；
③當(dāng)CQ＝BQ時，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m，
∴Q3（，）（不合題意舍去），
綜上所述，當(dāng)Q1（，3），Q2（﹣1，2）時，以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
6．(1)見解析
(2)當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，求c的值為．
【分析】（1）求得點C(0，c)，再解方程2x2?(1+2c)x+c =0，求得點B(c，0)，即可判斷△BOC是等腰直角三角形；
（2）求得點D(，-)，當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．
【詳解】（1）證明：令x=0，則y=c，
∴點C(0，c)，
令y=0，則2x2?(1+2c)x+c =0，
∴(2x-1)(x-c)=0，
∴x1=，x2=c，
∵點B在點A右側(cè)，
∴點B(c，0)，點A(，0)，
∴OB=OC=c，
∵∠COB=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形；
（2）解：y=2x2?(1+2c)x+c=2(x-)2-，
∴點D(，-)，
設(shè)DM交x軸于點M，
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∵點A，B關(guān)于DE對稱，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵EM⊥AB，
∴EM=AB，
當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，
∵DM⊥AB，
∴AB=2DM，
∵點B(c，0)，點A(，0)，
∴AB=c-，
∵點D(，-)，
∴DM=，
∴c-=，
整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，
∴c1=，c2=，
∵c>，
∴c=，
∴當(dāng)四邊形AEBD為正方形時，求c的值為．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解一元二次方程、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時，的面積取得最大值；（3）點的坐標(biāo)為，，.
【詳解】分析：（1）把已知點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點D坐標(biāo)，過點D作DG⊥x軸，交AE于點F，表示△ADE的面積，運用二次函數(shù)分析最值即可；
（3）設(shè)出點P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．
詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，
過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，

設(shè)D（m，），則點F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴當(dāng)m=時，△ADE的面積取得最大值為．
（3）y=的對稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：
當(dāng)PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）；
當(dāng)PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標(biāo)為（﹣1，）；
當(dāng)PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．
綜上所述：P點的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
點睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關(guān)鍵．
8．（1）；（2）M點坐標(biāo)為（0，0）或
【分析】（1）首先將拋物線的解析式設(shè)成頂點式，然后將A、C兩點坐標(biāo)代入進(jìn)行計算；（2）首先求出點B的坐標(biāo)，然后分三種情況進(jìn)行計算.
【詳解】（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a+k，
由A(2，0)，C(0，3)得：
解得
∴拋物線的解析式為y=.
（2）當(dāng)y=0時，有=0.
解得x1=2，x2=-3.
∴B(-3,0).
∵△MBC為等腰三角形，則
當(dāng)BC=CM時，M在線段BA的延長線上，不符合題意.即此時點M不存在；
當(dāng)CM=BM時，∵M(jìn)在線段AB上，∴M點在原點O上.即M點坐標(biāo)為(0,0)；
當(dāng)BC=BM時，在Rt△BOC中，BO=CO=3，由勾股定理得BC==3，
∴BM=3.
∴M點坐標(biāo)為(3-3,0).
綜上所述，M點的坐標(biāo)為(0,0)或(3-3,0).
【點睛】考點：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.
9．存在，點或或．
【分析】由拋物線解析式可得出C、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=-x-3，分三個情況討論：當(dāng)時，點P在OC的垂直平分線上，根據(jù)O、C坐標(biāo)可得OC中點坐標(biāo)，把OC中點的橫坐標(biāo)代入BC解析式即可得P點坐標(biāo)；當(dāng)時，設(shè)P（x，-x-3），利用兩點間距離公式即可得P點坐標(biāo)；當(dāng)時，利用利用兩點間距離公式即可得P點坐標(biāo)．
【詳解】當(dāng)時，，
解得：，
∵點在點的左邊，
∴
當(dāng)x=0時，y=-3，
∴B（0，-3），
設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y=-x-3，
①當(dāng)時，點P在OC的垂直平分線上，
∵點C（-3，0），O（0，0），
∴OC中點坐標(biāo)為（，0），
把x=代入y=-x-3得：y=-3=，
∴點
②當(dāng)時，設(shè)P（x，-x-3），
∴=3，
解得：x1=0，x2=-3（舍去），
∴-x-3=-3，
∴點，
③當(dāng)時，設(shè)點，
∴，
解得，（不合題意，舍去）
∴
∴存在，點或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及等腰三角形的判定，注意分類討論思想的運用是解題關(guān)鍵．
10．（1）①；②
（2）見解析
（3），．
【分析】（1）根據(jù)題意直接可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合旋補比例三角形的定義，找出，即可；
（3）結(jié)合題意，分析出為等腰直角三角形，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分類討論，利用“一線三垂直”構(gòu)造全等，得出結(jié)論．
【詳解】（1）由題意可知：，
（2），，
和互為旋補比例三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
與互為旋補比例三角形．
（3），，
，過作軸于點，
，，
，
經(jīng)過與，
，對稱軸為直線，
與互為旋補比例三角形，
，，
，，
如圖，過點作于點，
，，即點與點重合，
，即為等腰直角三角形，
為以點為頂點的等腰三角形，
，
，
①在軸上方，如圖：
易證：，
，，
，，
②在軸下方，如圖：
易證：
，，
，，
綜上，，．
【點睛】本題考查了對新定義圖形的理解與運用，前面兩個小題屬于較為基礎(chǔ)的題型，結(jié)合題干中給出的概念，緊緊圍繞概念展開證明即可；最后一問還考查了對二次函數(shù)解析式的求解，以及與“一線三垂直”模型的綜合運用問題，掌握等腰三角形中?？嫉膸缀文Ｐ褪潜容^關(guān)鍵的．
11．（1）；（2）4；（3）
【分析】（1）與軸相交于點，得到，再根據(jù)拋物線對稱軸，求得，代入即可．
（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，可知、兩點關(guān)于對稱軸對稱，是等腰直角三角形得到，設(shè)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得E點坐標(biāo)，從而求得的面積．
（3），根據(jù)距離公式求得，注意到的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，從而求得的最小值．
【詳解】解：（1）由拋物線（）與軸相交于點得到
拋物線的對稱軸為，即，解得
∴拋物線的方程為
（2）過點E作交AB于點M，過點F作，交AB于點N，如下圖：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵軸
∴
∴為等腰直角三角形
∴
設(shè)，則，
∴
又∵
∴
解得或
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，，不符合題意
綜上所述：．
（3）設(shè)，在拋物線上，則
將代入上式，得

當(dāng)時，，∴時，最小，即最小
=
當(dāng)時，，∴時，最小，即最小
，
綜上所述
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的對稱軸、二次函數(shù)與三角形面積、等腰直角三角形的性質(zhì)以及距離公式等知識，熟練掌握距離公式和對代數(shù)式的計算是解決本題的關(guān)鍵．
12．（1）y＝﹣x2+5x；（2）當(dāng)點P在直線OA的上方時，線段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐標(biāo)是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】（1）設(shè)y＝ax（x﹣5），把A點坐標(biāo)代入即可求出答案；
（2）根據(jù)點的坐標(biāo)求出PC＝﹣m2+4m，化成頂點式即可求出線段PC的最大值；
（3）當(dāng)0＜m＜4時，僅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；當(dāng)m≥4時，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分為三種情況：①當(dāng)OC＝PC時，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐標(biāo)；同理可求：②當(dāng)OC＝OP時，③當(dāng)PC＝OP時，點P的坐標(biāo)．綜合上述即可得到答案．
【詳解】解：（1）設(shè)y＝ax（x﹣5），
把A點坐標(biāo)（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+5x，
答：二次函數(shù)的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y＝﹣x2+5x上，C在直線OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，開口向下，
∴有最大值，
當(dāng)D（2，0）時，PCmax＝4，
答：當(dāng)點P在直線OA的上方時，線段PC的最大值是4．
（3）當(dāng)0＜m＜4時，僅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
當(dāng)m≥4時，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，
①當(dāng)OC＝PC時，m2﹣4m＝m，
解得：m＝4+或m＝0（舍去），
∴P（4+，2﹣3）；
②當(dāng)OC＝OP時，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m1＝6，m2＝4，
∵m＝4時，P和A重合，即P和C重合，不能組成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③當(dāng)PC＝OP時，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐標(biāo)是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的待定系數(shù)法、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和判定．解答關(guān)鍵是，根據(jù)等腰三角形的腰與底邊進(jìn)行分類討論，構(gòu)造方程求解．
13．(1)
(2)點M坐標(biāo)（1，2）
(3)存在，點P坐標(biāo)為（1，6），（1，），（1，），（1，）
【分析】（1）把A、C兩點的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由拋物線的對稱性可知點A與點B關(guān)于對稱軸對稱，所以BC與拋物線對稱軸的交點為M，此時MA+MC最小，即MA+MC最小值等于線段BC長，求出直線BC與拋物線對稱軸交點M坐標(biāo)即可；
（3）分兩種情況討論：i)當(dāng)△PCD是以CD為腰的等腰三角形時，又可分兩種情況討論：①PC=CD；②PD=CD．設(shè)出點P的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式列出方程求解即可；
ii)當(dāng)△PCD是以CD為底的等腰三角形時，點P在CD的垂直平分線上，PC=PD，利用兩點間的距離公式列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；
（2）解：由拋物線的對稱性可知點A與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
所以設(shè)BC與拋物線對稱軸的交點為M，此時MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如圖，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4；
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵A（-1，0），點A與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴B（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+m，
則，解得，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時，y=2，
∴M（1，2）．
（3）解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴對稱軸為直線x=1，
∴D（1，0）．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（1，t），
∵C（0，3），
∴CD2=12+32=10．
分兩種情況討論：i)當(dāng)△PCD是以CD為腰的等腰三角形時，又可分兩種情況討論：
①若PC=CD，則12+（t-3）2=10，解得t=0（舍棄）或6，
所以點P的坐標(biāo)為（1，6）；
②若PD=CD，則t2=10，解得t=±，
所以點P的坐標(biāo)為（1，）或（1，-）；
ii)當(dāng)△PCD是以CD為底的等腰三角形時，PC=PD，
則1+（t-3）2=t2，解得：t=，
所以點P的坐標(biāo)為（1，）；
綜上所述，點P的坐標(biāo)有三個，分別是（1，6）或（1，））或（1，-）或（1，）．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、利用軸對稱求最短距離；難度適中，在考慮構(gòu)建等腰三角形時，采用了分類討論的思想．
14．(1)；
(2)存在，符合題意的點E的坐標(biāo)為或或或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況：，，討論即可．
【詳解】（1）解：∵經(jīng)過、，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：在y軸上存在點E，使為直角三角形，理由如下：
∵拋物線的解析式為，
∴，
設(shè)E點坐標(biāo)為，
∴，，，
當(dāng)時，有，
∴，
解得，
∴此時點E的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
，
解得，
∴此時點E的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
，
解得或，
∴此時點E的坐標(biāo)為或．
綜上所述，符合題意的點E的坐標(biāo)為或或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與特殊三角形，掌握待定系數(shù)法，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．
15．(1)；
(2)存在，或．
【分析】本題主要考查運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點：
（1）先求出拋物線的對稱軸，根據(jù)對稱性求出點的坐標(biāo)，根據(jù)求出，把，代入求得，即可得出函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點，連接，取的中點，則點的坐標(biāo)為，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半列方程求解即可得解．
【詳解】（1）解：∵，
∴拋物線的對稱軸為，
∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，且點的坐標(biāo)為，
∴點的坐標(biāo)為，
∴
∵
∴，
當(dāng)時，
∴，
當(dāng)時，
∴，
∴．
（2）解：設(shè)點，連接，取的中點，則點的坐標(biāo)為，
要使，則點在以為直徑的圓上，
∴，即，
整理得，
即，
解得(舍)或(舍)或或．
∴點的坐標(biāo)為或．

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