?二次函數(shù)與圓、角和動點綜合問題壓軸題
1．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點C （0，3）與x軸的另一交點為點B，點M是直線BC上一動點，過點M作MP∥y軸，交拋物線于點P．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當⊙M與坐標軸相切時，求出⊙M的半徑．

2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)在y軸上是否存在點P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)點M是BC為直徑的圓上的動點，將點M繞原點O順時針旋轉90°得點N，連接NA，求NA的取值范圍．
3．我們把方程(x- m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長為r的圓的標準方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標系中,圓C與軸交于點A．B．且點B的坐標為(8．0),與y軸相切于點D(0, 4)，過點A,B,D的拋物線的頂點為E．
(1)求圓C的標準方程；
(2)試判斷直線AE與圓C的位置關系，并說明理由．

4．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣2，0)，B(4，0)兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖甲，連接AC，PA，PC，若，求點P的坐標；
（3）如圖乙，過A，B，P三點作⊙M，過點P作PE⊥x軸，垂足為D，交⊙M于點E．點P在運動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．

5．如圖，已知二次函數(shù)圖像的頂點在原點，且點（2，1）在二次函數(shù)的圖像上，過點F(0，1)作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖像于M，N兩點
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）P為平面內(nèi)一點，當時等邊三角形時，求點P的坐標；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點E，使得以點E為圓心的圓過點F和和點N，且與直線相切，若存在，求出點E的坐標，并求的半徑；若不存在，說明理由．

6．定義：平面直角坐標系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標圓．

(1)已知點P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓．請判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標圓，并說明理由；
(2)已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點為A，坐標圓的圓心為P，如圖1，求△POA周長的最小值；
(3)已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）圖象交x軸于點A，B，交y軸于點C，與坐標圓的第四個交點為D，連結PC，PD，如圖2．若∠CPD＝120°，求a的值．
7．如圖1，二次函數(shù)y＝a(x+3)(x﹣4)的圖象交坐標軸于點A，B(0，﹣2)，點P為x軸上一動點．

(1)求二次函數(shù)y＝a(x+3)(x﹣4)的表達式；
(2)過點P作PQ⊥x軸分別交線段AB，拋物線于點Q，C，連接AC．當OP＝1時，求△ACQ的面積；
(3)如圖2，將線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PD．
①當點D在拋物線上時，求點D的坐標；
②點E(2，﹣)在拋物線上，連接PE，當PE平分∠BPD時，直接寫出點P的坐標．
8．如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A(－3，0)，B兩點，與y軸相交于點C(0，2)，對稱軸是直線x＝－1，連接AC．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；
（3）在（2）的條件下，當點D在x軸下方時，連接AD，此時在y軸左側的拋物線上存在點P，使，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

9．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A(﹣3，0)、B，與y軸交于點C(0，﹣3)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上求點P，使S△BCP＝2S△BCO，求點P的坐標；
(3)如圖2，直線y＝x+3交拋物線于第一象限的點M，若N是拋物線y＝x2+bx+c上一點，且∠MAN＝∠OCB，求點N的坐標．
10．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線l與該拋物線交于另一點D，并且直線l∥x軸，點P(m，y1)為該拋物線上一個動點，點Q（m，y2）為直線l上一個動點．

(1)當m＜0，且y1＝y(tǒng)2時，連接AQ，BD，說明：四邊形ABDQ是平行四邊形；
(2)當m＞0，連接AQ，線段AQ與線段OC交于點E，OE＜EC，且OE?EC＝2，連接PQ，求線段PQ的長；
(3)連接AC，PC，試探究：是否存在點P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
11．已知拋物線過點和，與x軸交于另一點B，頂點為D．
（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；
（2）如圖1，E為線段上方的拋物線上一點，，垂足為F，軸，垂足為M，交于點G．當時，求的面積；
（3）如圖2，與的延長線交于點H，在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由．

12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過坐標原點，與x軸正半軸交于點A，該拋物線的頂點為M，直線經(jīng)過點A，與y軸交于點B，連接．
（1）求b的值及點M的坐標；
（2）將直線向下平移，得到過點M的直線，且與x軸負半軸交于點C，取點，連接，求證：：
（3）點E是線段上一動點，點F是線段上一動點，連接，線段的延長線與線段交于點G．當時，是否存在點E，使得？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

備用圖
13．已知拋物線與x軸相交于，兩點，與y軸交于點C，點是x軸上的動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若，過點N作x軸的垂線交拋物線于點P，交直線于點G．過點P作于點D，當n為何值時，；
（3）如圖2，將直線繞點B順時針旋轉，使它恰好經(jīng)過線段的中點，然后將它向上平移個單位長度，得到直線．
①______；
②當點N關于直線的對稱點落在拋物線上時，求點N的坐標．
14．已知二次函數(shù)．

（1）當該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點時，求該二次函數(shù)的表達式；
（2）在(1) 的條件下，二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為點B，與y軸的交點為點C,點P從點A出發(fā)在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，直到其中一點到達終點時，兩點停止運動，求△BPQ面積的最大值;
（3）若對滿足的任意實數(shù)x，都使得成立，求實數(shù)b的取值范圍．
15．如圖，已知點，點，直線過點B交y軸于點C，交x軸于點D，拋物線經(jīng)過點A、C、D，連接、．

（1）求拋物線的表達式；
（2）判斷的形狀，并說明理由；
（3）E為直線上方的拋物線上一點，且，求點E的坐標；
（4）N為線段上的動點，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段運動到點N，再以每秒個單位長度的速度沿線段運動到點C，又以每秒1個單位長度的速度沿線段向點O運動，當點P運動到點O后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點N的坐標．
16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋1的對稱軸為直線x，其圖象與x軸交于點A和點B（4，0），與y軸交于點C．

(1)直接寫出拋物線的解析式和∠CAO的度數(shù)；
(2)動點M，N同時從A點出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度在線段AB上運動，點N以每秒個單位的速度在線段AC上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t（t＞0）秒，連接MN，再將線段MN繞點M順時針旋轉90°，設點N落在點D的位置，若點D恰好落在拋物線上，求t的值及此時點D的坐標；
(3)在（2）的條件下，設P為拋物線上一動點，Q為y軸上一動點，當以點C，P，Q為頂點的三角形與△MDB相似時，請直接寫出點P及其對應的點Q的坐標．
17．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊與x軸、y軸的交點分別為，拋物線過B，C兩點，動點M從點D開始以每秒5個單位長度的速度沿的方向運動到達C點后停止運動．動點N從點O以每秒4個單位長度的速度沿方向運動，到達C點后，立即返回，向方向運動，到達O點后，又立即返回，依此在線段上反復運動，當點M停止運動時，點N也停止運動，設運動時間為．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）當點M，N同時開始運動時，若以點M，D，C為頂點的三角形與以點B，O，N為頂點的三角形相似，求t的值；
（4）過點D與x軸平行的直線，交拋物線的對稱軸于點Q，將線段沿過點B的直線翻折，點A的對稱點為，求的最小值．
18．如圖，在平面直角坐標系中拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且A點坐標為（，0），直線BC的解析式為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AD//BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應點E的坐標；
（3）將拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移個單位，已知點M為拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．


1．（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由見解析；（3）⊙M的半徑為，，，
（1）已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點C(0,3)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；
（2）在拋物線上找到一點Q，使得△QCO是等邊三角形，過點Q作OM⊥OB于點M，過點Q作QN⊥OC于點N，根據(jù)△QCO是等邊三角形，求得Q點坐標，再驗證Q點是否在拋物線上；
（3）分四種情況①當⊙M與y軸相切，如圖所示，令M點橫坐標為t，PM=t，將PM用t表示出來，列出關于t的一元二次方程，求得t，進而求得半徑；②⊙M與x軸相切，過點M作MN⊥OB于N，如圖所示，令M點橫坐標為m，因為PN=2MN，列出關于m的一元二次方程，即可求出m，同理③④種情況，進而求得⊙M的半徑．
【詳解】
（1）∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點C(0,3)
∴
解得
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3
故答案為：y＝﹣x2+x+3
（2）在拋物線上找到一點Q，使得△QCO是等邊三角形，過點Q作QM⊥OB于點M，過點Q作QN⊥OC于點N
∵△QCO是等邊三角形，OC=3
∴CN=
∴NQ=
即Q(,)
當x=時，y＝﹣×()2+×+3=≠
∴Q(,)不在拋物線上
y＝﹣x2+x+3

故答案為：不存在，理由見解析
（3）①⊙M與y軸相切，如圖所示
∵y＝﹣x2+x+3
當y=0時，﹣x2+x+3=0
解得x1=-1，x2=4
∴B(4,0)
令直線BC的解析式為y=kx+b

解得
∴直線BC的解析式為
令M點橫坐標為t
∵MP∥y軸，⊙M與y軸相切
∴t=﹣t2+t+3-
解得t=

⊙M的半徑為
②⊙M與x軸相切，過點M作MN⊥OB于N，如圖所示
令M點橫坐標為m
∵PN=2MN
∴
解得m=1或m=4（舍去）

∴⊙M的半徑為：

③當與軸相切時，如圖3：

點與點重合時

半徑
④當與軸相切時如圖4：

設，
則，因

解得，（舍去）
半徑
綜上所述：的半徑為，，，
2．(1)y＝﹣x2+x+2
(2)存在，（0，﹣）或（0，）
(3)2-≤NA≤2+
（1）將點A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；
（2）過點P作PH⊥BC交于點H，設P（0，t），CH＝x，由已知分別可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣ ，則P（0，﹣），與x軸對稱點為（0，），此點也滿足所求；
（3）當M點在B點處時，N點在F（0，4）處，當M點在O點處時，N點在E（﹣2，0）處，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判斷N點在以EF為直徑的圓上運動，連接AG，交圓G于點N1，N2，過G作GH⊥x軸于H，勾股定理求出AG，即可得到AN的最小值及最大值．
(1)
解：將點A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
(2)
如下圖，

過點P作PH⊥BC交于點H，
設P（0，t），CH＝x，
∵C（0，2），B（4，0），
∴BC＝2，
∴BH＝2﹣x，
∵∠OBP+∠OBC＝45°，
∴∠CBP＝45°，
∴HP＝BH＝2﹣x，
在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，
在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，
∴＝，＝，
∴x＝，t＝﹣ ，
∴P（0，﹣ ），
P點關于x軸對稱點為（0，），此點也滿足∠OBP+∠OBC＝45°，
∴滿足條件的P點坐標為（0，﹣）或（0，）；
(3)
當M點在B點處時，N點在F（0，-4）處，當M點在C點處時，N點在E（2，0）處，
∵∠EOF＝90°，
∴△EOF≌△COB，
∴EF＝BC＝2，
∴可以判斷N點在以EF為直徑的圓G上運動，
連接AG，，交圓G于點N1，N2，
此時G（1，-2），
過G作GH⊥x軸于H，則AH=2，GH=2，
∴AG=2，
∵N2G=，
∴當點N與N2重合時，AN有最小值，AN=2-；
同理，當點N與N1重合時，AN有最大值，AN=2+；

∴2-≤NA≤2+．
3．（1）；（2）相切，理由見解析
（1）連接CD，CB，過C作CF⊥AB，分別表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理構造方程求解即可得到圓C半徑以及點C坐標，從而得到標準方程；
（2）由（1）可得點A坐標，求出拋物線表達式，得到點E坐標，再求出直線AE的表達式，聯(lián)立直線AE和圓C的表達式，通過判斷方程根的個數(shù)即可得到兩者交點個數(shù)，從而判斷位置關系.
【詳解】
解：連接CD，CB，過C作CF⊥AB，
∵點D（0，4），B（8，0），設圓C半徑為r，圓C與y軸切于點D，
則CD=BC=OF=r，CF=4，
∵CF⊥AB，
∴AF=BF=8-r，
在△BCF中，，
即，
解得：r=5，
∴CD=OF=5，即C（5，4），
∴圓C的標準方程為：；

（2）由（1）可得：BF=3=AF，則OA=OB-AB=2，
即A（2，0），
設拋物線表達式為：，將A，B，D坐標代入，
，解得：，
∴拋物線表達式為：，
∴可得點E（5，），
設直線AE表達式為：y=mx+n，將A和E代入，
可得：，解得：，
∴直線AE的表達式為：，
∵圓C的標準方程為，
聯(lián)立，
解得：x=2，
故圓C與直線AE只有一個交點，橫坐標為2，
即圓C與直線AE相切.
4．（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）P(3，﹣)；（3）沒有變化，2
（1）由二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，可得二次函數(shù)的解析式為，由此即可解決問題．
（2）根據(jù)，構建方程即可解決問題．
（3）結論：點在運動過程中線段的長是定值，．根據(jù)，根據(jù)方程求出，再利用中點坐標公式，求出點的縱坐標即可解決問題．
【詳解】
解：（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，
二次函數(shù)的解析式為，
即．
（2）如圖甲中，連接．設．

由題意，，，
，
，
整理得，，
解得或（舍棄），
．
（3）結論：點在運動過程中線段的長是定值，．
理由：如圖乙中，連接，，，設，，，．

由題意，，
，
解得，
，，
，
，
，
點在運動過程中線段的長是定值，．
5．（1）；（2）或；（3）在二次函數(shù)圖像上存在點E，使得以點E為圓心，半徑為的圓，過點F，N且與直線相切．
（1）由二次函數(shù)的頂點是原點，則設二次函數(shù)的解析式為，然后將（2，1）代入求得a即可；
（2）將y=1代入解得，可確定M、N的坐標，進而確定MN的長度；再根據(jù)是等邊三角形確定PM的長，然后解三角形確定PF的長，最后結合F點坐標即可解答；
（3）先假設這樣的點存在，設點Q是FN的中點，即 Q(1，1)
【詳解】
解：（1）∵二次函數(shù)的頂點是原點
∴設二次函數(shù)的解析式為，
將（2，1）代入，

解得
所以二次函數(shù)的解析式為；
（2）如圖：將y=1代入，得，解得


是等邊三角形
∴點P在y軸上且PM=4
∴

或；

（3）假設在二次函數(shù)的圖像上存在點E滿足條件
設點Q是FN的中點，即 Q(1，1)
∴點E在FN的垂直平分線上
∴點E是FN的垂直平分線x=1與的圖像的交點，即
，
∴

∴點E到直線y=-1的距離為
∴在二次函數(shù)圖像上存在點E，使得以點E為圓心，半徑為的圓，過點F，N且與直線相切．
6．(1)⊙P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標圓，理由見解析
(2)△POA周長的最小值為6
(3)
（1）先求出二次函數(shù)y=x2-4x+3圖象與x軸、y軸的交點，再計算這三個交點是否在以P（2，2）為圓心，為半徑的圓上，即可作出判斷．
（2）由題意可得，二次函數(shù)y=x2-4x+4圖象的頂點A（2，0），與y軸的交點H（0，4），所以△POA周長=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）連接CD，PA，設二次函數(shù)y=ax2-4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點E，與x軸交于點F，由對稱性知，對稱軸l經(jīng)過點P，且l⊥CD，設PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，進而得出a的值．
(1)
對于二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，
當x＝0時，y＝3；當y＝0時，解得x＝1或x＝3，
∴二次函數(shù)圖象與x軸交點為A（1，0），B（3，0），與y軸交點為C（0，3），
∵點P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標圓．
(2)
如圖1，連接PH，

∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點為A，坐標圓的圓心為P，
∴A（2，0），與y軸的交點H（0，4），
∴△POA周長＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周長的最小值為6．
(3)
如圖2，連接CD，PA，
設二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點E，與x軸交于點F，

由對稱性知，對稱軸l經(jīng)過點P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
設PE＝m，則PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l為，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化簡，得，解得，
∴．
7．(1)y＝x2﹣x﹣2
(2)S△ACQ＝
(3)①D(3，﹣1)或D(﹣8，10)；②P點的坐標為(2，0)或(，0)
（1）直接利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）令y=0，得到點A的坐標，設直線AB的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法得AB解析式，再根據(jù)坐標與點的位置關系及三角形面積公式可得答案；
（3）①分點D在x軸的下方和上方兩種情形，運用全等思想求解即可;②分PE垂直x軸和不垂直兩種情形求解即可.
(1)
解：將B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
(2)
令y＝0，則（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x＝﹣3或x＝4，
∴A（4，0），
設直線AB的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∵OP＝1，
∴P（1，0），
∵PQ⊥x軸，
∴Q（1，﹣），C（1，﹣2），
∴AP＝3，
∴＝×3×2﹣×3×＝；
(3)
①設P（t，0），
如圖2，過點D作x軸垂線交于點N，

∵∠BPD＝90，
∴∠OPB+∠NPD＝90，∠OPB+∠OBP＝90，
∴∠NPD＝∠OBP，
∵BP＝PD，
∴（AAS），
∴OP＝ND，BO＝PN，
∴D（t+2，﹣t），
∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），
解得t＝1或t＝﹣10，
∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；
②如圖3，

∵PE平分∠BPD，
∴∠BPE＝∠EPD，
∵∠BPD＝90，
∴∠BPE＝45，
當軸時，∠OBP＝45，
∴P（2，0）；???
如圖4，過B點作BG⊥PB交PE于點G，過G點作FG⊥y軸，交于點F，

∵∠PBF+∠FBG＝90，∠FBG+∠FGB＝90，
∴∠PBF＝∠FGB，
∵∠BPG＝45，
∴BP＝BG，
∴（AAS），
∴BF＝OP，F(xiàn)G＝OB，
∵OB＝2，
∴FG＝2，
∵E（2，﹣）
∴E點與G點重合，
∴PO＝BF＝2﹣＝，
∴P（﹣，0）；
綜上所述：P點的坐標為（2，0）或（﹣，0）．
8．（1）；（2）或；（3）或或
（1）先根據(jù)對稱軸得出，再由點的坐標求出，最后將點的坐標代入拋物線解析式求解，即可得出結論；
（2）分兩種情況，Ⅰ、當點在軸上方時，先判斷出，進而得出點在直線上，再求出點的坐標，最后用待定系數(shù)法求出直線的解析式；Ⅱ、當點在軸下方時，判斷出，即可得出結論；
（3）先求出點的坐標，進而求出的面積，得出的面積，設，，過作軸的平行線交直線于，得出，進而表示出，最后用面積建立方程求解，即可得出結論．
【詳解】
解：（1）拋物線的對稱軸為，
，
，
點的坐標為，
，
拋物線的解析式為，
點在拋物線上，
，
，
，
拋物線的解析式為；
（2）Ⅰ、當點在軸上方時，如圖1，

記與的交點為點，
，
，
直線垂直平分，
點在直線上，
點，，
直線的解析式為，
當時，，
點，
點點關于對稱，
，
直線的解析式為，
即直線的解析式為；
Ⅱ、當點在軸下方時，如圖2，

，
，
由Ⅰ知，直線的解析式為，
直線的解析式為，
即直線的解析式為；
綜上，直線的解析式為或；
（3）由（2）知，直線的解析式為①，
拋物線的解析式為②，
或，
，
，
，
，
點在軸左側的拋物線上，
設，，
過作軸的平行線交直線于，

，
，
，
或（舍）或或，
或或．
9．(1)拋物線解析式為：y＝x2+2x﹣3
(2)P(3，12)或(﹣2，﹣3)
(3)N(，)或(3，12)
（1）直接將、兩點坐標代入到解析式中，解方程組，可以求得拋物線解析式；
（2）由于、坐標已知，且均在坐標軸上，直接求出面積，從而求得面積為3，由于、兩點坐標已知，過作的平行線與拋物線相交，此平行線上任意一點與和兩點所構成的三角形面積均等于3，所以我們找到此線與軸交點（此處也可以選擇與軸交點），由面積為3，可以求得點坐標，再由直線解析式，可以求得直線的解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，即可解決；
（3）利用，可以求得，從而得到，接聯(lián)立拋物線與直線，可以求得交點、坐標，則的位置可以分為在上方和下方，利用為直角頂點，為直角邊，構造一線三等角相似，從而求得直線的解析式，聯(lián)立與拋物線解析式，從而求得交點的坐標．
(1)
解：將代入到拋物線解析式中，
得，
將代入到拋物線解析式中，
得，
，
拋物線解析式為：；
(2)
解：令，則，
解得，，
，
，
，
，
如圖1，過作交軸于，連接，

則，
，
，
，
設直線為，
代入點得，，
直線為：，
則直線設為：，
代入點得，，
直線為：，
聯(lián)立，
解得，，
或；
(3)
（3）直線交拋物線于第一象限的點，
聯(lián)立，
解得，，
，，
在中，，
，
①如圖2，當在下方時，過作軸平行線，過作軸平行線，兩線交于點
過作交于，過作軸平行線交于，

，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，
設直線為：，
代入點，得，
直線為，
聯(lián)立，
化簡得，，
解得或，
當時，，
，
②當在上方時，
同理可得，，
或．
10．(1)見解析
(2)PQ＝
(3)存在點，，使得∠PCQ與∠BAC互為余角
（1）求出點D（3，-3），求出CQ=2，DQ=5，則AB=DQ，由平行四邊形的判定可得出答案；
（2）證明△AOE∽△QCE，得出，求出QC=2，則可得出答案；
（3）分兩種不同的情況：①當點P在直線l上方時，②當點P在直線l下方時，求出答案即可．
(1)
證明：當y＝0時，x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5．
當x＝0時，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵直線l∥x軸，
∴直線l的解析式為y＝﹣3．
∴x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3，
∴D（3，﹣3），
∴CD＝3．
∵點Q（m，y2）在直線l上，
∴y2＝﹣3．
∵y1＝﹣，
∴y1＝，
∵m＜0，點P（m，y1）在該拋物線上，
∴，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．
∵直線l∥x軸，
∴CQ＝2，
∴DQ＝5，
∴AB＝DQ，AB∥DQ，
∴四邊形ABDQ是平行四邊形．
(2)
∵P，Q兩點的橫坐標都是m，
∴直線l∥x軸，
∴PQ＝|y1﹣y2|＝|m|，
設OE＝n，則EC＝3﹣n，
∴n（3﹣n）＝2，
解得n＝1或n＝2．
∵OE＜EC，
∴OE＝1，EC＝2．
∵直線l∥x軸，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，
∴△AOE∽△QCE，
∴，
∴QC＝2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴；
(3)
存在．
假設存在點P，使得∠PCQ與∠BAC互為余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．

∵∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠PCQ＝∠ACO．
∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，
連接PQ．
∵直線l∥x軸，直線PQ∥y軸，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．
∴tan∠PCQ＝，
①當點P在直線l上方時，PQ＝y(tǒng)1﹣y2＝m，
（i）若點P在y軸左側，則m＜0，
∴QC＝﹣m．
∴m＝×（﹣m），
解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．
（ii）若點P在y軸右側，則m＞0，
∴QC＝m．
∴m＝m，
解得m3＝0（舍去），m4＝．
∴y1﹣y2＝，
∴y1＝﹣，
∴；
②當點P在直線l下方時，m＞0，
∴QC＝m，PQ＝y(tǒng)2﹣y1＝﹣m，
∴﹣m＝m，
解得m5＝0（舍去），m6＝，
∴y2﹣y1＝，
∴y1＝﹣，
∴．
綜上，存在點，，使得∠PCQ與∠BAC互為余角．
11．（1），；（2）；（3）存在，,
（1）利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進而得到頂點D坐標；
（2）先求出BC的解析式，再設直線EF的解析式為,設點E的坐標為，聯(lián)立方程求出點F，G的坐標，根據(jù)列出關于m的方程并求解，然后求得G的坐標，再利用三角形面積公式求解即可；
（3）過點A作AN⊥HB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標，進而得到，設點，過點P作PRx軸于點R，在x軸上作點S使得RS=PR，證明，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到關于n的方程，求得后即可得到點P的坐標．
【詳解】
（1）把點A（-1，0），C（0，3）代入中，
，
解得，
，
當時，y=4，

（2）
令或x=3

設BC的解析式為
將點代入，得
，
解得，


設直線EF的解析式為,設點E的坐標為，
將點E坐標代入中，得，




把x=m代入



即
解得m=2或m=-3
∵點E是BC上方拋物線上的點
∴m=-3舍去
∴點



（3）過點A作AN⊥HB，
∵點

∵點，點




設，把（-1，0）代入，得b=









設點
過點P作PR⊥x軸于點R，在x軸上作點S使得RS=PR
且點S的坐標為
若
在和中，





或




12．（1）b=3，M（3，-3）；（2）詳見解析；（3）點E的坐標為（，）.
（1）將配方后可得頂點M的坐標，利用求出點A的坐標后代入即可求出b的值；
（2）先求出平移后的直線CM的解析式為y=-x，過點D作DH⊥直線y=-x，得到直線DH的解析式為y=2x-4，根據(jù)求出交點H（1，-2），分別求得DH=，DM=，根據(jù)sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角與內(nèi)角的關系得到結論；
（3）過點G作GP⊥x軸，過點E作EQ⊥x軸，先求出AB=，根據(jù)得到∠BAO=∠AFE，設GF=4a，則AE=EF=3a，證明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再證△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，將x=代入中，得y=，即可得到點E的坐標.
【詳解】
（1）∵=，
∴頂點M的坐標為（3，-3）.
令中y=0，得x1=0，x2=6，
∴A（6,0），
將點A的坐標代入中，得-3+b=0，
∴b=3；
（2）∵由平移得來，
∴m=-，
∵過點M(3，-3),
∴，解得n=，
∴平移后的直線CM的解析式為y=-x.
過點D作DH⊥直線y=-x，
∴設直線DH的解析式為y=2x+k，將點D（2,0）的坐標代入，得4+k=0，
∴k=-4，
∴直線DH的解析式為y=2x-4.
解方程組，得，
∴H（1，-2）.
∵D(2，0)，H(1，-2)，
∴DH=，
∵M(3，-3)，D（2,0）,
∴DM=，
∴sin∠DMH=，
∴∠DMH=45°，
∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，
∴；

（3）存在點E，
過點G作GP⊥x軸，過點E作EQ⊥x軸，
∵A(6，0)，B（0,3）,
∴AB=.
∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，
∴∠BAO=∠AFE，
∴AE=EF，
∵，
∴，
設GF=4a，則AE=EF=3a，
∵EQ⊥x軸，
∴EQ∥OB，
∴△AEQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴AQ=a，
∴AF=a.
∵∠AFE=∠PFG，
∴△FGP∽△AEQ，
∴,
∴FP=a，
∴OP=PG=，
∴+a+a=6,
解得a=，
∴AQ=,
∴OQ=，
將x=代入中，得y=，
∴當時，存在點E，使得，此時點E的坐標為（，）.

13．（1）；（2）；（3）①；②或．
（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式可得點的坐標，再利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，從而可得點的坐標，然后分別求出的長，最后根據(jù)全等三角形的性質可得，由此建立方程求解即可得；
（3）①先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)平移的性質可得直線的解析式，從而可得點的坐標，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；
②先求出直線的解析式，再與直線的解析式聯(lián)立求出它們的交點坐標，從而可得點的坐標，然后代入拋物線的解析式求解即可得．
【詳解】
解：（1）將點，代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為；
（2）由題意得：點的坐標為，
對于二次函數(shù)，
當時，，即，
設直線的解析式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
，
，，
，
，即，
解得或（與不符，舍去），
故當時，；
（3）①如圖，設線段的中點為點，過點作軸的垂線，交直線于點，

則點的坐標為，點的橫坐標為3，
設直線的解析式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
由平移的性質得：直線的解析式為，
當時，，即，
，
，
故答案為：；
②由題意得：，
則設直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
即直線與直線的交點坐標為，
設點的坐標為，
則，解得，即，
將點代入得：，
整理得：，
解得或，
則點的坐標為或．
14．（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
（1）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，設運動時間為t，則AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，過點M作MQ⊥x軸，可得MQ=t，從而得到△BPQ的面積的表達式，進而即可求解；
（3）設，結合函數(shù)圖像的對稱軸，開口方向，分兩種情況：或，進而即可求解．
【詳解】
解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴該二次函數(shù)的表達式為：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
設運動時間為t，則AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
過點M作MQ⊥x軸，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面積==，
∴當t=1時，△BPQ面積的最大值=；

（3）拋物線的對稱軸為：直線x=-b，開口向上，
設，
∵對的任意實數(shù)x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
15．（1）；（2）△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，理由見解析；（3）E（，）；（4）運動時間t的最小值為，此時N坐標為（﹣6，）
（1）由點B坐標求出m值，進而求得點C坐標，利用待定系數(shù)法求拋物線的表達式即可；
（2）由兩點間距離公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判斷；
（3）由（2）中數(shù)據(jù)可知∠BCA=∠ECA，延長BA至F，使AF=AB，連接CF，則點E為直線CF與拋物線的交點，求出直線CF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點E坐標；
（4）過N作MN⊥AC于M，過F作⊥BC交AC于，連接FN，則FN=BN，求得MN=，由點P運動時間t===，當F、N、M三點共線時，t最小，進一步求解即可解答．
【詳解】
解：（1）∵直線過點B交y軸于點C，
∴將代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，
解得：m=6，則C（0，6），
將A（﹣8，0）、C（0，6）代入，
得：，解得：，
∴拋物線的表達式為；
（2）△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，理由為：
由題意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，
AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°；
（3）由（2）知AB=5，AC=10，
∴tan∠BCA= =tan∠ECA，
∴∠BCA=∠ECA，
延長BA至F，使AF=AB，連接CF，則點B、F關于點A對稱，∴F（﹣11，4），
∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，
∴△FAC≌△BAC，
∴∠BCA=∠FCA，
∴點E為直線CF與拋物線的交點，
設直線CF的解析式為y=kx+b，
則，解得：，
∴直線CF的解析式為，
聯(lián)立方程組，解得：或（舍去），
故點E坐標為（，）；
（4）過N作MN⊥BC于M，過F作⊥BC交AC于，連接FN，則FN=BN，
∵AB=5，BC=，
∴sin∠BCA=，
∴MN=，又CO=6，
∴點P運動時間t===≥+6，
當F、N、M三點共線時，t最小，
∵AC=10，BC=，
∴sin∠ABC= ，
∴= ，
∴點P運動時間t的最小值為，
由直線BC的表達式y(tǒng)=2x+6得點D坐標為（﹣3，0），
∵FD=，
∴點D與點重合，則點N（即）為直線FD與直線AC的交點，
由點A（﹣8，0）和C（0，6）得直線AC的表達式為，
由點F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直線FD的表達式為，
聯(lián)立方程組，解得：，
∴此時N坐標為（﹣6，），
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理、銳角的三角函數(shù)、垂線段最短、軸對稱性質、解二元二次方程組、解一元一次方程組、全等三角形的判定與性質等知識，綜合性強，難度較難，解答的關鍵是弄懂題意，找尋相關知識間的關聯(lián)點，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結合思想進行探究、推理和計算．
16．(1)，．
(2)，．
(3)，或；，或；，或；P ，或；，或；，或．
（1）利用待定系數(shù)法，對稱軸公式構建方程組求出即可，再求出點A點C的坐標即可得出結論．
（2）如圖1中，過點C作于E，過點D作于F.利用全等三角形的性質求出點F的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）分6種情形首先確定點P的坐標，再利用相似三角形的性質求解即可．
(1)
解：由題意：，
解得，
∴拋物線的解析式為yx2x+1，
令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
令y＝0，得到x＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°．
(2)
解：如圖1中，過點C作CE⊥OA于E，過點D作DF⊥AB于F．

∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，
∴∠NME + ∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠NME＝∠MDF，
∵NM＝DM，
∴
∴NE＝MF，EM＝DF，
∵∠CAO＝45°，ANt，AM＝3t，
∴AE＝EN＝t，
∴EM＝AM﹣AE＝2t，
∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，
∴D（4t﹣1，2t），
∴（4t﹣1）2（4t﹣1）+1＝2t，
∵t＞0，故可以解得t，
經(jīng)檢驗，t時，M，N均沒有達到終點，符合題意，
∴D（2，）．
(3)
解：如圖3﹣1中，當點Q在點C的下方，點P在y的右側，∠QCP＝∠MDB時，

取E（，0），連接EC，過點E作EG⊥EC交PC于G，
∵M（，0），D（2，），B（4，0）
∴，DM，BM，BD，
∴DF＝2MF，
∵OC＝2OE，
∴tan∠OCE＝tan∠MDF，
∴∠OCE＝∠MDF，
∵∠OCP＝∠MDB，
∴∠ECG＝∠FDB，
∴tan∠ECG＝tan∠FDB，
∵EC，
∴EG，可得G（，），
∴直線CP的解析式為yx+1，
由，解得或，
∴，，
∴，
當或時，△QCP與△MDB相似，可得或，
∴或．
如圖3﹣2中，當點Q在點C的下方，點P在y的右側，∠QCP＝∠DMB時，設PC交x軸于K．

∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，
∴OK＝2OC＝2，
∴點K與F重合，
∴直線PC的解析式為，
由，解得或，
∴，
∴，
當或時，△QCP與△MDB相似，可得或，
∴或．
當點Q在點C的下方，點P在y的右側，∠QCP＝∠DBM時，同法可得或，
當點Q在點C上方，∠QCP＝∠DMB時，同法可得P（1，），Q（0，）或（0，），
當點Q在點C上方，∠QCP＝∠MDB時，同法可得或，
當點Q在點C下方，點P在y軸的左側時，∠QCP＝∠DBM時，同法可得或．
17．（1）；（2）；（3）或；（4）．
（1）將代入計算即可；
（2）作于點E，證明，可得CE，DE長度，進而得到點D的坐標；
（3）分為點Ｍ在AD，BC上兩種情況討論，當點M在AD上時，分為和兩種情況討論；當點M在BC上時，分為和兩種情況討論；
（4）作點D關于x軸的對稱F，連接QF，可得的最小值；連接BQ減去可得的最小值，綜上可得的最小值．
【詳解】
（1）將代入得
，解得
∴拋物線的解析式為：
（2）作于點E
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴

（3）若點M在DA上運動時，
當，則，即不成立，舍去
當，則，即，解得：
若點M在BC上運動時，
當，則，即
∴
當時，
∴，解得（舍去）
當時，
∴，無解；
當，則，即
∴
當時，
∴，解得（舍去）
當時，
∴，解得
綜上所示：當時，；時
（4）作點D關于x軸的對稱點F，連接QF交x軸于點N
∵點D，
∴點
由得對稱軸為
∴點
∴

當Q,N,F共線時，最小，
∴
故的最小值為．

18．（1）；（2）四邊形BECD面積的最大值為，E（，）；（3）存在．N的坐標為（，）或（，）或（，）．
（1）由直線解析式求得B、C兩點坐標，結合A點坐標利用待定系數(shù)法進行求解即可；
（2）易求AD的解析式為，進而D（，）．求得CD的解析式為，進而求出CD與x軸的交點坐標，易求△BCD的面積為，設E（x，），表示出SBECD的面積，進而利用二次函數(shù)的性質即可求得答案；
（3）存在．先求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)平移規(guī)律求平移后拋物線解析式，設M（，m），N（xn，yn），易根據(jù)平行四邊形對角線互相平分及中點公式．分類討論即可得答案．
【詳解】
（1），當x=0時，y=2，
當y=0時，，解得：x=，
所以B（，0），C（0，2），
將A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得：，
所以拋物線的解析式為；
（2）∵AD//BC，
∴設直線AD解析式為：．
將A（，0）代入得：，
解得：m=-，
所以AD的解析式為，
聯(lián)立 ，
解得：，，
∵A（，0），
∴D（，）．
設CD解析式為y=kx+2，
將點D坐標代入得：，
解得：k=，
所以CD的解析式為：，
當y=0時，即，
解得：x=，
則CD與x軸的交點為（，0）．
所以S△BCD==，
設E（x，），
則SBECD=
=，
當x=時，四邊形BECD面積最大，其最大值為，此時E（，）．
（3）存在．N的坐標為（，），或（，），或（，）．
過程如下：，
所以拋物線的頂點是（，），
將拋物線向左平移個單位，
則平移后拋物線解析式為．
設M（，m），N（xn，yn），
①當AM為對角線時，則，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如圖
對角線交點坐標為（0，），M坐標為（，）

②當AE為對角線時，則，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如圖

對角線交點坐標為（，），M坐標為（，0）
③當AN為對角線時，則，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，）．如圖

對角線交點坐標為（，），M坐標為（，-8）．

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