一、解答題
1．如圖，是的直徑，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，滿足.
(1)求證：與相切；
(2)在下列兩個(gè)等式中，正確的請?jiān)谙鄳?yīng)的括號中打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，并選擇其中一個(gè)正確的等式進(jìn)行證明；
①（ ）；②（ ）；
(3)設(shè)的面積為，的面積為，若，，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，的值最大.
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為對角線作矩形，使軸．
(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，求拋物線在矩形內(nèi)部的圖象（包含邊界）的最大值與最小值的差；
(3)當(dāng)拋物線與矩形的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；
(4)當(dāng)點(diǎn)在拋物線對稱軸左側(cè)時(shí)，若矩形的邊或與拋物線交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連結(jié)，若與坐標(biāo)軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．
3．已知：矩形中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，連接，沿翻折使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接．
(1)如圖1，若， ；
(2)當(dāng)C，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線時(shí)，求此時(shí)m的值；
(3)連接，①當(dāng)最短時(shí)，求m 的值； ②若，求m的取值范圍．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，對稱軸交軸于點(diǎn)．設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，與的面積之和最小？
(3)將拋物線在軸左側(cè)的部分沿軸翻折，保留其他部分得到新的圖象，在圖象上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．定義：一組對角相等，另一組對角不相等的四邊形叫做“等對角四邊形”．
(1)如圖1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，點(diǎn)E在直線AC上，以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為“等對角四邊形”，求AE的長．
(2)游山玩水是人們喜愛的一項(xiàng)戶外運(yùn)動(dòng)，但過度的旅游開發(fā)會(huì)對環(huán)境及動(dòng)植物的多樣性產(chǎn)生影響．如圖③，△ABC所在區(qū)域是某地著名的“黃花嶺”風(fēng)景區(qū)示意圖，點(diǎn)B位置是國家珍稀動(dòng)植物核心保護(hù)區(qū)，其中∠C＝90°，BC＝6km，AC＝8km，該地旅游部門為科學(xué)合理開發(fā)此風(fēng)景區(qū)旅游資源，計(jì)劃在景區(qū)外圍D點(diǎn)建一個(gè)“嶺南山莊”度假村，據(jù)實(shí)際情況，規(guī)劃局要求：四邊形ABCD是一個(gè)“等對角四邊形”（∠BCD≠∠BAD），核心區(qū)B與山莊D之間要盡可能遠(yuǎn)，并且四邊形ABCD區(qū)域的面積要控制在56km2以內(nèi)．請問BD是否存在最大值，規(guī)劃局的要求能否實(shí)現(xiàn)？如果能，請求出BD的最大值及此時(shí)四邊形ABCD的面積；如果不能，請說明理由．
(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），點(diǎn)D在y軸上，拋物線過點(diǎn)A、C，點(diǎn)P在拋物線上，滿足∠APC＝∠ADC的點(diǎn)至少有3個(gè)時(shí)，總有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立，直接寫出n的取值范圍．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，．
(1)直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：___________；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(3)連接交于點(diǎn)F，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，問k的值是否變化？若不變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．
7．【問題探究】
（1）如圖，在中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，于點(diǎn)，若的面積為，求的長．
【問題解決】
（2）如圖，某小區(qū)有一塊三角形空地，其中米，米，開發(fā)商計(jì)劃在這片空地上進(jìn)行綠化和修建運(yùn)動(dòng)場地，在邊上選一點(diǎn)，邊上取一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作EF//交于點(diǎn)，連接，在和區(qū)域內(nèi)綠化，在四邊形區(qū)域內(nèi)修建運(yùn)動(dòng)場地．若設(shè)的長為米，運(yùn)動(dòng)場地四邊形的面積為平方米．
①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②運(yùn)動(dòng)場地四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出運(yùn)動(dòng)場地四邊形面積的最大值及取得最大值時(shí)的長；若不存在，請說明理由．
8．如圖，已知拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知點(diǎn)D是拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接，，，點(diǎn)P，Q是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與是以點(diǎn)D為位似中心的位似圖形，求與的相似比．
9．問題情境
圖①是一塊三角形形狀的邊角料，記作，，邊上的高．現(xiàn)要從這塊邊角料上剪出一個(gè)矩形，使頂點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，頂點(diǎn)D，G分別在，上，設(shè)與高交于點(diǎn)M．
初步探究
(1)經(jīng)測量得，．
①如圖②，若四邊形是正方形，求邊的長．
思考：設(shè)，由正方形的性質(zhì)可知，，．由是邊上的高，可知，所以四邊形是矩形．所以，．由，可知，由此求得邊的長為__________．
②若矩形的面積為，求邊的長．
思考：設(shè)，由矩形的面積為，得到，再運(yùn)用①中的思路求解，請寫出解題過程．深入探究
(2)按照上述要求，可以剪出無數(shù)個(gè)矩形，問：是否存在兩個(gè)不同的矩形，使得這兩個(gè)矩形的面積之和等于的面積？若存在，請求出這兩個(gè)矩形的周長；若不存在，請通過計(jì)算說明理由．
10．如圖，拋物線過點(diǎn)B（3，0），C（0，-3），D為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)連接BC，CD，DB，求的正切值；
(3)點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，直線與對稱軸交于點(diǎn)，在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使和相似，若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
11．有一塊形狀如圖1的四邊形余料，，，，，，要在這塊余料上截取一塊矩形材料，其中一條邊在上．
(1)如圖2，若所截矩形材料的另一條邊在上，設(shè)，矩形的面積為y，
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
②求矩形面積y的最大值．
(2)能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖所示，拋物線與拋物線：組成一個(gè)“月牙線”，相同的交點(diǎn)分別為M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
(1)求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
(2)若拋物線的頂點(diǎn)為D，當(dāng)時(shí)，試判斷三角形的形狀，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，拋物線第三象限上是否存在一點(diǎn)Q，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
13．（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊和上，于點(diǎn)，求證：；
（2）如圖2，在矩形中，將矩形折疊，得到四邊形，交于點(diǎn)，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交邊于，交邊于，連接交于點(diǎn)；
①若，且，，求與的長；
②先閱讀下面內(nèi)容，再解決提出的問題：當(dāng)時(shí)，我們可以利用配方法求出此時(shí)的取值范圍．由題意可知，即，顯然此時(shí)或，所以或．如圖3，若，，請根據(jù)前述方法直接寫出的最大值及此時(shí)的長．
14．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
(1)連接，則 ；
(2)如圖2，若⊙P經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，連接、，若與的周長之比為：3，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
15．如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)D是拋物線上第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，若為銳角，且，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的取值范圍；
(3)如圖2，經(jīng)過定點(diǎn)P作一次函數(shù)與拋物線交于M，N兩點(diǎn)．試探究是否為定值？請說明理由．
《2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)圖形問題（實(shí)際問題與二次函數(shù)）專題訓(xùn)練》參考答案
1．(1)見解析
(2)①√；②√
(3)關(guān)于的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，取最大值為2
【分析】（1）連接，先證，再證即可得證；
（2）分別根據(jù)①和②式倒推出需要證明的等式，再根據(jù)題干條件去證即可，①過作，，則四邊形是正方形，再根據(jù)等面積即可得證．②證和得出比例線段，再代入式子推導(dǎo)即可；
（3）根據(jù)題干條件可得，，由得，所以，再代入得即可，需要注意的是在求最值過程中需要換元法．
【詳解】（1）證明：連接，
是的直徑，
，
平分，
，
，
，，
，且，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
與相切；
（2）解：①，②．
證明：①如圖：過作，，則四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
兩邊同時(shí)除以得：．
②，，
，
，即，
，，
，
，即，
．
故答案為：，．
（3）解：由前兩問可知，，，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，取最大值為2，此時(shí)，
關(guān)于得函數(shù)解析時(shí)為，當(dāng)時(shí)，取最大值為2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
2．(1)
(2)最大值與最小值的差為2
(3)或
(4)或或
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）當(dāng)時(shí)，可得,結(jié)合圖形即可求得答案；
（3）當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得，即可得出答案；
（4）分四種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列方程或不等式即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)
∴，解得
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）當(dāng)時(shí)，則，
∴
把代入得，
∴，
∵以為對角線作矩形，使軸，
∴，
如圖，
∴拋物線在矩形內(nèi)部的圖象（包含邊界）的最大值為4，最小值為2，
∴最大值與最小值的差為;
（3）由題意得：，，
當(dāng)，解得：
∴；
當(dāng)，解得
∴
綜上：或；
（4）∵
∴拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線對稱軸左側(cè)，
∴，且，
由題意得：，，
當(dāng)時(shí)，如圖，矩形的邊與拋物線交于點(diǎn)，連結(jié),則與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，矩形的邊與拋物線交于點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，如圖，
則，
∴；
當(dāng)時(shí)，矩形的頂點(diǎn)剛好在拋物線上，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接恰好經(jīng)過點(diǎn)，如圖，
設(shè)的解析式為，把，代入，
得
解得
∴的解析式為，
∴，
解得：，
∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，矩形的邊與拋物線交于點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，如圖，
則，
解得：或（舍去）．
綜上，的取值范圍為或或．
3．(1)2
(2)
(3)①；②
【分析】（1）畫出圖形，由可得內(nèi)錯(cuò)角和同位角相等，由翻折有對應(yīng)角相等，等量代換后出現(xiàn)等腰三角形，即求出m的值．
（2）由折疊得由勾股定理得，得，在中，由勾股定理得，解方程即可得的值；
（3）由于的形狀大小是固定的，其翻折圖形也固定，故可求點(diǎn)F到的距離與的長度，根據(jù)是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示的長度，此時(shí)可把看作是m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和的范圍，確定自變量m的范圍．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴m的值是2．
（2）解：由折疊得，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
整理得，，
解得，或（不符合題意，舍去），
∴，
故答案為：；
（3）解：①如圖，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即可把看作關(guān)于m的二次函數(shù)，拋物線開口向上，最小值為，此時(shí)；
②∵，
∴，
∵，
解得：，，
∴根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)可知，．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，等腰三角形判定，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元一次方程，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用．正確按題意畫出圖形并從中獲得等量關(guān)系是解題關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合能力．
4．(1)拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)
(2)時(shí)，與的面積之和有最小值
(3)存在，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出的值即可解答拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接過點(diǎn)作于點(diǎn)設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，首先證明，利用面積法求出構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）由題意得出翻折后的拋物線的函數(shù)解析式，分三種情形：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)；③時(shí)分別構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵經(jīng)過，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)；
（2）解：如圖1中，連接過點(diǎn)作于點(diǎn)．
∵
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴與的面積之和，
∵
∴有最小值，最小值為，此時(shí)，
∴時(shí)，與的面積之和有最小值；
（3）解：存在．
理由：如圖2中，將拋物線在軸左側(cè)的部分沿軸翻折，則翻折后拋物線的解析式為
①當(dāng)時(shí)，如圖3，點(diǎn)在上，
設(shè)過點(diǎn)作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得或（舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
由（2）知，
∴當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，為直角三角形，
∵過點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，為直角三角形，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
③當(dāng)時(shí)，如圖5，點(diǎn)在上，
設(shè)，過點(diǎn)作軸于，
同理可得，
∴，
∴，解得或（舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或（，）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換等，學(xué)會(huì)根據(jù)二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
5．(1)線段AE的長為1或或或25．
(2)BD最大值為+5，四邊形ABCD的面積＝；
(3)n≤．
【分析】（1）分情況討論：①若∠B＝∠DEC，∠BCE≠∠BDE， ②若∠BCE＝∠BDE＝90°，∠B≠∠DEC， ③點(diǎn)E在AC的延長線上，∠CDB＝∠E，∠DCE≠∠DBE，④點(diǎn)E在AC的延長線上，∠CDB≠∠E，∠DCE＝∠DBE，分別依據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及“等對角四邊形”的定義進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)O是△ACD的外心，連接OA，OC，OD，過點(diǎn)O作ON⊥AC于N，OT⊥BC交BC的延長線于T，過點(diǎn)D作DQ⊥AC于Q，利用勾股定理求出AB的長度，再結(jié)合已知條件證明△AON∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)求解即可；
（3）先利用勾股定理的逆定理證明∠ABC＝90°，再根據(jù) “等對角四邊形”的定義得到D（0，2），結(jié)合拋物線解析式t＝2c2﹣4c﹣8，此時(shí)，以D（0，2）為圓心，AD長為半徑作⊙D，以D′（0，﹣2）為圓心，AD長為半徑作⊙D′，當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AEC和優(yōu)弧AFC上時(shí)，∠APC＝∠ADC，當(dāng)拋物線過E點(diǎn)時(shí)滿足題意的P點(diǎn)有3個(gè)，此時(shí)，c＝OE＝OD+ED＝2+2，得到c≥2+2，t＝2c2﹣4c﹣8≥16得到不等式2n﹣ ≤2c2+16a﹣8求解即可．
【詳解】（1）解：①若∠B＝∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如圖1﹣a，
在△CDE與△CDB中，
，
∴△CDE≌△CDB（AAS），
∴EC＝BC＝3，
∴AE＝AC﹣EC＝4﹣3＝1；
②若∠BCE＝∠BDE＝90°，∠B≠∠DEC，如圖1﹣b，
∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴＝＝ ，
∴AD＝AB＝，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AE＝；
③如圖1﹣c，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠CDB＝∠E，∠DCE≠∠DBE，
連接BE，過C作CH⊥AB于H，DF⊥AC于F，
∴DF∥BC，
∵CD平分∠ACB，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴DF＝CF，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴DF＝，
∴CD＝，
∵CH＝＝，
∴DH＝＝，
∵∠CHD＝∠BCE＝90°，∠CDH＝∠E，
∴△CDH∽△BCE，
∴＝，
∴CE＝ ，
∴AE＝AC+CE＝；
④點(diǎn)E在AC的延長線上，如圖1﹣d，∠CDB≠∠E，∠DCE＝∠DBE，
連接BE，過E作EH⊥AB交AB的延長線于H，
∵CD平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠DBE＝135°，
∴∠EBH＝45°，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴BH＝HE，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠H＝90°，
∴△ABC∽△AEH，
∴，即，
∴BH＝15，
∴BE＝15，
∴CE＝＝21，
∴AE＝AC+CE＝25；
綜上所述，線段AE的長為1或或或25；
（2）如圖2﹣a中，設(shè)點(diǎn)O是△ACD的外心，連接OA，OC，OD，過點(diǎn)O作ON⊥AC于N，OT⊥BC交BC的延長線于T，過點(diǎn)D作DQ⊥AC于Q，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝6km，AC＝8km，
∴AB＝＝＝10（km），
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝∠ABC，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵OA＝OC，ON⊥AC，
∴∠AON＝∠CON＝∠ABC，AN＝CN＝4（km），
∵∠ANO＝∠ACB＝90°，
∴△AON∽△ABC，
∴，
∴，
∴ON＝3，OA＝OD＝OC＝＝5，
∵∠ONC＝∠NCT＝∠T＝90°，
∴四邊形ONCT是矩形，
∴CT＝ON＝3（km），CN＝OT＝4（km），
∴BT＝6+3＝9（km），
∴OB＝＝＝，
∵BD≤OB+OD，
∴OB≤+5，
∴當(dāng)B，O，D共線時(shí)，BD的值最大，最大值為+5，
∵S△ABC＝24，
∴S△ADC≤32
∴DQ≤8，
∵DQ≤ON+OD＝5+3＝8，
∴當(dāng)BD最大時(shí)，滿足四邊形ABCD區(qū)域的面積要控制在56km2以內(nèi)，
當(dāng)B，O，D共線時(shí)，BD交AC于H．
∵ON∥BC，
∴△ONH∽△BCH，
∴，
∴OH＝ OB＝，
∵ON∥DQ，
∴＝，
∴＝，
∴DQ＝＝，
∴四邊形ABCD的面積＝24+ ×8×＝；
（3）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），
∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵AD＝CD，AB≠BC，
∴∠BAD≠∠BCD，
∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴D（0，2），
∵拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A、C，
∴y＝a（x+2）（x﹣2）＝ax2﹣4a，
即：a＝﹣ c，令t＝2c2+16a﹣8，
則t＝2c2﹣4c﹣8，
以D（0，2）為圓心，AD長為半徑作⊙D，以D′（0，﹣2）為圓心，AD長為半徑作⊙D′，
如圖所示，⊙D交y軸正半軸于點(diǎn)E，⊙D′交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)F．
當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AEC和優(yōu)弧AFC上時(shí)，∠APC＝∠ADC，當(dāng)拋物線過E點(diǎn)時(shí)滿足題意的P點(diǎn)有3個(gè)，
此時(shí)，c＝OE＝OD+ED＝2+2，
當(dāng)滿足∠APC＝∠ADC的P點(diǎn)至少有3個(gè)時(shí)，c≥2+2，
當(dāng)c≥2+2時(shí)，t＝2c2﹣4c﹣8≥16，
∵總有不等式2n﹣ ≤2c2+16a﹣8成立，
∴2n﹣≤16，
∴n≤，
故n的取值范圍為：n≤．
【點(diǎn)睛】本題屬于綜合類題目，考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、圓等知識，熟練運(yùn)用上述知識并能正確理解新定義、畫出相應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵．
6．(1)
(2)，
(3)經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的k值為
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由點(diǎn)，的出發(fā)點(diǎn)、速度及方向可找出當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出，的長，再利用勾股定理即可求出關(guān)于的函數(shù)解析式由時(shí)間路程速度可得出的取值范圍；
（2）將代入的結(jié)論中可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理可求出的長，由可得出，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合可求出，由可得出，在中可求出及的值，由，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出值，此題得解．
【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
，
．
故答案為：．
（2）當(dāng)時(shí)，，
整理，得：，
解得：，．
（3）經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的值不變．
連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．
，，
．
，
，
，
．
，
．
在中，，，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用勾股定理，找出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）通過解一元二次方程，求出當(dāng)時(shí)的值；（3）利用相似三角形的性質(zhì)及解直角三角形，找出點(diǎn)的坐標(biāo)．
7．（1）2；（2）①；②運(yùn)動(dòng)場地四邊形的面積存在最大值，最大值為平方米，此時(shí)的長為米．
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由求得，進(jìn)而由得，即，從而；
（2）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，求得，再由得求得，又先證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)與之間的函數(shù)關(guān)系式的頂點(diǎn)式即可求出運(yùn)動(dòng)場地四邊形面積的最大值及取得最大值時(shí)的長．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
，
，即，
，，
，
，即，
；
過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
米，
米，
，，
，
，，
，
，
即，
，
，，
，
，
∽，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
即；
由可知，，
當(dāng)時(shí)，最大，
即運(yùn)動(dòng)場地四邊形的面積存在最大值，最大值為平方米，此時(shí)的長為米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)求最值以及平行四邊形的判定及性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
8．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）作直線，交拋物線與，，，，連接，，利用待定系數(shù)法求的解析式，然后聯(lián)立方程組，解方程組求出，的坐標(biāo)，同理求出， 的坐標(biāo)，然后利用證明，判斷與是以點(diǎn)D為位似中心的位似圖形，并求出相似比；同理可判斷與是以點(diǎn)D為位似中心的位似圖形，可求相似比．
【詳解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：，
∴拋物線的對稱軸為，
∴，
∵，F(xiàn)關(guān)于直線，
∴
作直線，交拋物線與，，，，連接，，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴
聯(lián)立方程組，
解得，，
∴，，
同理，，
∴，，，
，
∴，
又，
∴，
∴與是以點(diǎn)D為位似中心的位似圖形，相似比為，
同理與是以點(diǎn)D為位似中心的位似圖形，相似比為．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．
9．(1)①；②或，過程見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值問題等知識．a(chǎn)
（1）①根據(jù)題意以及相似三角形的性質(zhì)可得出，代入求解即可． ②同①過程一致，利用矩形的性質(zhì)得出，．證明，有相似三角形的性質(zhì)得出，，代入求解即可．
（2）由矩形的性質(zhì)可設(shè)，則．證明，由相似三角形的性質(zhì)可得出，求出，再利用矩形的面積公式可得出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出當(dāng)時(shí)，有最大值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：①根據(jù)題意可得出：，
即，
解得
∴．
②設(shè)．
∵矩形的面積為9，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴，．
∵是邊上的高，
∴．
∵四邊形是矩形．
∴，．
∵，
∴．
∴．所以，
解得，．
∴邊的長為或．
（2）不存在．理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，．
∵是邊上的高，
∴．
∴四邊形是矩形．
∴．
設(shè)，則．
∵，
∴．
∴．
∴，
解得．
∴．
∴當(dāng)時(shí)，有最大值．
∴不存在兩個(gè)不同的矩形，滿足這兩個(gè)矩形的面積之和等于的面積．
10．(1)，D（1，-4）
(2)
(3)存在，（1，0）或（1，）
【分析】（1）將點(diǎn)B、的坐標(biāo)代入，即可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求得BC，CD，DB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得，可得直線為，則，由（2）可知是直角三角形，，若和相似，可分和兩種情況進(jìn)行分析，借助相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)B、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，
可得，解得，
故拋物線的解析式為；
∵，
∴；
（2）解：如下圖，連接BC，CD，DB，

∵，
∴，，
，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：∵點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，的對稱軸為，
∴，
又∵，可設(shè)直線BE的解析式為，將點(diǎn)B、E的坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線為，當(dāng)時(shí)，，
∴，
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分兩種情況進(jìn)行解析：
①時(shí)，點(diǎn)在軸上，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴和，
∴；
②時(shí)，

∵，
∴，
∵和，
∴，
∴，
解得，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴．
綜上所述，存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、勾股定理及逆定理的應(yīng)用、求正切值、相似三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
11．(1)①；②當(dāng)時(shí)，y取到最大值
(2)能截出面積更大的矩形材料，這些矩形材料的最大面積為
【分析】
（1）①由銳角三角函數(shù)可求的長，由矩形的面積公式可求解；
②由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；
（2）用分別表示，的長，由面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）
解：①如圖2，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
；
②點(diǎn)在線段上，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為10；
（2）
能，如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)D作于，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值為，
，
能截出比（1）中更大面積的矩形材料，這些矩形材料面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
12．(1)，
(2)是等腰三角形，見解析
(3)存在，或
【分析】（1）令，求解方程，可求M、N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)A代入即可求函數(shù)的解析式；
（2）求出D點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，得到，即可判斷三角形形狀；
（3）求出P點(diǎn)坐標(biāo)，直線的解析式，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)G，根據(jù)所求的P點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況，利用鉛錘法求相應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）令，則，
解得或，
∴，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）∵存在一點(diǎn)Q，使得，理由如下：
∵點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，
∴，
解得或，
∴或，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴，
過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)G，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，弄清“月牙線”的定義，利用鉛錘法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
13．（1）證明見解析；（2）①，；②的最大值為2，
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出等條件，再根據(jù)證明即可；
（2）①作于，作于，由（1）可得，繼而得出長，再利用等角的三角函數(shù)求解，設(shè)，則，，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
②設(shè)，，則，由勾股定理得，設(shè)，由可得關(guān)于x的方程，再根據(jù)根的判別式求解即可．
【詳解】（1）證明：在正方形中，
，
，
，
又，，
，
；
（2）解：①作于，作于，
由折疊性質(zhì)可得：
由（1）同理可得
∵
∴，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
，；
②設(shè)，，則，
在中，，
∴，
，
，
設(shè)，
，，
，
∴，
∴，
化簡得，
由，即，
或，
（舍或，
的最大值為2，此時(shí)，
，
，
由①得，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程根的判別式，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．(1)
(2)
(3)存在，（1，﹣3）或（1，﹣2）
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，分別求出、，繼而得到、是等腰直角三角形，即可得解；
（2）根據(jù)三角形外接圓圓心和圓周角定理可得是等腰直角三角形，繼而表示出的周長為：，再根據(jù)是等腰直角三角形表示出的周長為：，最后利用周長之比即可求出值，代入拋物線表達(dá)式即可得解；
（3）在（2）的條件下求出，，拋物線的對稱軸為直線，以及點(diǎn)，繼而得到，，，然后設(shè)，表示出，分情況討論求出值即可解答．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，在函數(shù)中，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∴，即，
當(dāng)時(shí)， ，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案為：；
（2）解：由（1）知，
又∵點(diǎn)是的外接圓圓心，
∴, ,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴ ，
∴的周長為： ；
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴的周長為： ，
又∵與 的周長之比為，
∴ ，
解得，（舍去），
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（3）解：存在；
在（2）的條件下，，，
∴，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵點(diǎn)是的外接圓圓心，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)也在直線上，
設(shè)直線與相交于點(diǎn)，如圖所示，
則，，，
∴ ，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)是拋物線對稱軸上在點(diǎn)下方一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)（），
∴，
∴當(dāng)時(shí)，
∴ ，
解得：，（舍去）；
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，（舍去）；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)幾何綜合，以及圓的有關(guān)性質(zhì)定理，熟練掌握圓周角定理，外接圓圓心性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
15．(1)
(2)
(3)為定值4，理由見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)A作，使，連接交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求出，又，得到是等腰直角三角形，得到，是等腰直角三角形，求出、的長，得到的坐標(biāo)，求出直線解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)， 進(jìn)而得到點(diǎn)D橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）設(shè)，列方程組，得到，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，根據(jù)勾股定理求出，由點(diǎn)P是直線上一定點(diǎn)，得到，求出，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
，
解得：，
∴該拋物線的解析式為；
（2）如圖1，過點(diǎn)A作，使，連接交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，令，得，
∴，又，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，，
，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
設(shè)直線解析式為，則，
解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立方程組得，
解得：（舍去），，
，
同理可得： ，
∵為銳角，且，
，
又∵點(diǎn)D是拋物線上第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，
；
（3）是定值．理由如下：
設(shè)，
由，
得，
，
，
∴，
，
∵點(diǎn)P是直線上一定點(diǎn)，
，
，
，
，
，
故是定值．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合掌握二次函數(shù)與幾何圖形的解題思路及方法是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：二次函數(shù)與角度問題 強(qiáng)化壓軸練習(xí)題（含答案解析）：

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：二次函數(shù)與角度問題 強(qiáng)化壓軸練習(xí)題（含答案解析），共61頁。試卷主要包含了已知，拋物線與軸交于點(diǎn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：選擇題難題 壓軸練習(xí)題（含答案解析）：

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：選擇題難題 壓軸練習(xí)題（含答案解析），共34頁。試卷主要包含了☆☆☆ 設(shè)一元二次方程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：特殊三角形問題（二次函數(shù)綜合） 壓軸練習(xí)題（含答案解析）：

這是一份2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：特殊三角形問題（二次函數(shù)綜合） 壓軸練習(xí)題（含答案解析），共37頁。試卷主要包含了我們定義等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓的切線的證明 壓軸練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓的切線的證明 壓軸練習(xí)題（含答案解析）
2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓壓軸題 強(qiáng)化練習(xí)題（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓壓軸題 強(qiáng)化練習(xí)題（含答案）
2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：壓軸題100題精選練習(xí)題（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：壓軸題100題精選練習(xí)題（含答案）
2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：二次函數(shù)與面積問題 壓軸練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：二次函數(shù)與面積問題 壓軸練習(xí)題（含答案解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部