一、二次函數(shù)與直角三角形綜合
1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3a≠0經(jīng)過A1,0,B?3,0兩點
(1)求a、b的值．
(2)若點D為拋物線上一動點，△ABD的面積為10時，求點D的坐標．
(3)設點P為拋物線的對稱軸上的一個動點，直接寫出使△BPC為直角三角形的點P的坐標．
2．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．直線y=x?3經(jīng)過B，C兩點，點P是拋物線上一動點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當點P在BC下方運動時，求△BCP面積的最大值；
(3)若點F為直線BC上一點，作點A關于y軸的對稱點A′,連接A′C,A′F,當△FA′C是直角三角形時，直接寫出點F的坐標．
3．綜合與探究
已知拋物線y=?x2+bx+c與直線BC交于B4,0，C0,4兩點，與x軸的另一個交點為A．
(1)求拋物線的解析式．
(2)若N為拋物線頂點，則線段CN的長為_____．
(3)如圖1，點M是直線BC上方拋物線的一動點，過點M作MD⊥x軸，交BC于點E．連接CM，BM，求△CBM的面積的最大值．
(4)如圖2，在拋物線上是否存在點Q，使得△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C0,3，A點在原點的左側，B點的坐標為3,0．點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．
(1)求這個二次函數(shù)及直線BC的表達式；
(2)過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，求PD的最大值；
(3)點M為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線對稱軸右側的圖象上是否存在點N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO為直角，若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
5．在平面直角坐標系xOy中，矩形OCDE的頂點E，C分別在x軸，y軸上，D4,3．拋物線y=ax2+bx?3aa≠0與x軸交于A?1,0，B兩點．
(1)如圖1，若拋物線經(jīng)過點C，求拋物線的表達式；
(2)如圖2，在（1）的條件下，連接OD，F(xiàn)為線段CO上一點，連接AF，若FA=FC，請判斷∠CDO和∠OFA是否相等，并說明理由；
(3)若拋物線y=ax2+bx?3aa≠0的頂點為H，取AH的中點M，則以M，H，D為頂點的三角形能否為直角三角形？若能，請直接寫出a的值；若不能，請說明理由．
二、二次函數(shù)與等腰三角形綜合
6．如圖，拋物線y=?23x2+bx+c與x 軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為(?1,0)，點B 的坐標為(3,0)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)點P是直線BC上方拋物線上一個動點，過點P作x 軸的垂線交直線BC于點D， 過點P作y 軸的垂線，垂足為點E．
①請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標；若沒有最大值，請說明理由；
②連接OD，當△OCD為等腰三角形時，求點D的坐標．
7．綜合與探究
如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A?1, 0, B3, 0，與y軸交于點C．
(1)求此拋物線的表達式．
(2)Q是位于第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，當△QBC的面積最大時，求此時點Q的坐標及△QBC的面積．
(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
8．如圖，已知拋物線y=x2?5x+4與x軸交于點A和點B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
(1)求A、B、C三點的坐標；
(2)如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀，并說明理由；
(3)如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE=2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，使得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．
9．如圖1，拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A(?5,0)和點B，交y軸于點C(0,?5)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)如圖2，若點P是線段AC上的一動點，作PQ⊥x軸，交拋物線于點Q，當PQ最大時，在拋物線對稱軸上找一點M，使QM+AM的值最小，求出此時點M的坐標；
(3)若點P在直線AC上的運動過程中，是否存在點P，使△ABP為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
10．綜合與探究
如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A?1,0、B4,0兩點，與y軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的表達式并直接寫出點C的坐標；
(2)求△ABC的面積，并在該二次函數(shù)圖象上確定一點P，使△ABP與△ABC的面積相等，請求出所有滿足條件的P點的坐標．
(3)該二次函數(shù)對稱軸上是否存在一點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰三角形？若存在，接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
三、二次函數(shù)與平行四邊形綜合
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,A1,0，B0,2，拋物線y=12x2+bx?2的圖象經(jīng)過C點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)平移該拋物線的對稱軸所在直線L．當L移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
(3)點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
12．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點且與x軸的負半軸交于點C，D為拋物線上的一個動點，連接BC，BD，AD．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當點D在直線AB上方時，求△ABD面積的最大值；
(3)當點D在y軸右側時：
①連接CD，當△BCD的面積是△OBC面積的一半時，直接寫出點D的坐標______；
②設E(1,m)是拋物線對稱軸上一動點，當A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出所有符合條件的m的值．
13．如圖：拋物線y=x2+bx+c與直線y=?x?1交于點A，B．其中點B的橫坐標為2．點Pm,n是線段AB上的動點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求：線段PQ長的最大值
(3)在平角直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點，記頂點都是整點的四邊形為整點四邊形，在（2）的情況下，在平面內(nèi)找出所有符合要求的整點R，使P、Q、B、R為整點平行四邊形，請直接寫出整點R的坐標
14．已知：拋物線y=x2+(3+a)x+3a分別交x軸于A、B兩點，交y軸于C點．
(1)若頂點D的橫坐標為?1．
①求拋物線的解析式；
②如圖①，直線y=?x?5分別與x軸，y軸交于E、F兩點，將直線EF沿y軸正方向平移t(t>0)個單位得直線l，直線l和拋物線相交于點P、Q，是否存在t，使四邊形EFQP為平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
(2)如圖②，若直線MN平行于AC交拋物線于點M、N，直線MC與直線NA交于點G，若點G在定直線x=12上運動，求a的值．
15．如圖，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于點A?2,0，點B3,0，交y軸于點C．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖1，點P在直線BC上方拋物線上運動，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥x軸于點F，PF交BC于點D，求2PE+12AF的最大值，以及此時點P的坐標．
(3)將原拋物線沿x軸向右平移1個單位長度后，得到新拋物線與y軸交于點C′，點B的對應點為B′，點M,N是第一象限內(nèi)新拋物線上的點，且點N到y(tǒng)軸的距離等于點A到y(tǒng)軸的距離的一半，∠MNB′=∠C′B′N，請求出點M的坐標．
(4)在（3）的條件下，點G是新拋物線的對稱軸上一點，在x軸上是否存在一點Q，使得以點G，Q,M,B′為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
四、二次函數(shù)與矩形綜合
16．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A?5,0，B?1,0兩點，與y軸交于點C0,5．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是拋物線對稱軸上一點，點Q是平面內(nèi)任意一點，當以A、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形時，求點P的坐標；
(3)過點B的直線交直線AC于點M，連接BC，當直線BM與直線AC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標．
17．在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的一邊AD長為4，且AD位于第一象限，點A的坐標為(1,2)，點B,C在x軸上．拋物線T:y=ax2+bx+c經(jīng)過點A和點D，且拋物線的頂點P在線段BC上，
(1)求拋物線T的解析式；
(2)矩形A1B1C1D1與矩形ABCD關于原點對稱，平移拋物線T，
①若平移后的拋物線在矩形A1B1C1D1內(nèi)的部分是軸對稱圖形，請?zhí)骄繏佄锞€T如何平移？
②將拋物線向左平移m個單位長度，向下平移n個單位長度，2n=m2?12m+39．若平移后的拋物線與矩形A1B1C1D1的一組對邊分別相交于點E,F，是否存在直線EF平分矩形A1B1C1D1面積的情形？若存在，請求出m和n的值；若不存在，請說明理由．
18．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x?3交x軸于B點，交y軸于C點，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點且與x軸交于另一點A．
(1)求A、B、C的坐標及拋物線的解析式；
(2)若點P是直線BC上方拋物線上一點，求△PBC面積的最大值及點P的坐標；
(3)若點H是拋物線上一動點，且橫坐標為m，Qm+1,?m、Mm,?m為平面內(nèi)任意兩點，連接HM、QM，以HM、QM為邊構造矩形HMQN．當拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應的函數(shù)值y隨x的增大而變化時，求m的取值花圍．
19．如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點A1,?2，B?3,?2的拋物線y=ax2+bx+1（a，b為常數(shù)）與y軸交于點C，頂點為點D．點P為點B右側拋物線上一點，其橫坐標為mm>?3．
(1)求拋物線的解析式．
(2)在拋物線的對稱軸上找一點E，使得AE+CE取得最小值，求E點坐標；
(3)若點M坐標為2m?3,?2，連結AM，取線段AM的中點Q，將點Q繞點A順時針方向旋轉90°得到點N，連結AN，以AM，AN為鄰邊構造矩形AMFN．
①設AQ的長為l，求l關于m的函數(shù)解析式；
②請直接寫出當點P在矩形AMFN外部時，m的取值范圍．
20．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=14x2+bx?3與直線y=x?3相交，其中一個交點為A，點A的橫坐標為8．點P為拋物線上動點，其橫坐標為m．
(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；
(2)這條拋物線在點P右側部分（包括點P）的最低點的縱坐標為m?2，求m的值；
(3)過點P作y軸的平行線交直線y=x?3于點Q，以PQ為邊作矩形PQMN，使PN與y軸垂直．
①當0

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