2023年九年級數學中考專題訓練：二次函數綜合壓軸題（特殊三角形問題） 1．如圖，已知二次函數的圖象交x軸于點，，交y軸于點C．(1)求這個二次函數的表達式；(2)直線分別交直線和拋物線于點M，N，當是等腰三角形時，直接寫出m的值．   2．如圖，直線交x軸于點B、y軸于點C，拋物線經過點B，點C，且過，連接，點P是第一象限內拋物線上的一個動點．(1)求此拋物線的表達式；(2)動點P運動到什么位置時，的面積最大？若存在，請求出符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)過點P作軸，垂足為點M，交于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由；  3．如圖，直線分別與軸、軸交于點與點，函數的圖像經過點．點是拋物線上的一個動點，過點作軸的垂線，過點作于點(1)求該二次函數的解析式；(2)連接，當為直角三角形時，求的長；(3)將繞點逆時針旋轉，得到，當點的對應點落在坐標軸上時，請求出點的坐標．  4．如圖，設拋物線與軸交于A、兩點，與軸交于點．點為該拋物線第四象限上的一點，過作軸交于點．(1)求直線的解析式；(2)求線段的最大值；(3)當面積最大時，求點的坐標；(4)當為等腰三角形時，直接寫出點的坐標． 5．如圖1，拋物線經過點，并交x軸于另一點B，點在第一象限的拋物線上，交直線于點D．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)當點Р的坐標為時，求四邊形BOCP的面積；(3)點Q在拋物線上，當的值最大且是直角三角形時，求點Q的橫坐標．  6．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B．拋物線過A，B兩點，與x軸的另一個交點為C，．(1)求拋物線的表達式；(2)若點P為拋物線的頂點，求四邊形的面積；(3)拋物線上是否存在點Q，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．  7．如圖．拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為．(1)請直接寫出A，B兩點的坐標及直線l的函數表達式；(2)若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標為，過點P作軸，垂足為M．與直線l交于點N，當點N是線段的三等分點時，求點P的坐標；(3)若點Q是對稱軸上的點，且為直角三角形，求點Q的坐標．  8．如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標分別為，，點M是拋物線的頂點．(1)求二次函數的關系式；(2)點P為線段MB上一個動點，過點P作軸于點D．若，的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；(3)在MB上是否存在點P，使為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．   9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點A（2，0）和點B（﹣6，0），與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，在對稱軸上存在點Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．  10．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．(1)求這個二次函數的表達式；(2)在拋物對稱軸上找一點D，使∠DCB＝∠CBD，求點D的坐標；(3)在直線BC找一點Q，使得△QOC為等腰三角形，寫出Q點坐標．   11．如圖，已知拋物線經過點A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是線段AB上的一個動點，設點P的坐標為(m，0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．(1)求該拋物線所表示的二次函數的表達式；(2)在點P運動過程中，是否存在點Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)連接AC，將△AOC繞平面內某點H順時針旋轉90°，得到，點A、O、C的對應點分別是點、、、若的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數和點的橫坐標．  12．如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為(3，0)，頂點C的坐標為(1，4)．(1)求二次函數的解析式；(2)點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；(3)在拋物線上是否存在點Q，且點Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 13．如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經過點A（0，3），B（1，0），過點A作ACx軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的關系式；(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當△OPE面積最大時，求出P點坐標；(3)將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；(4)如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．  14．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點C，頂點為D．(1)求拋物線的表達式和點D的坐標；(2)點E是第一象限內拋物線的一個動點，其橫坐標為m，直線交y軸于點F．①用m的代數式表示直線的截距；②在的面積與的面積相等的條件下探究：在y軸右側存在這樣一條直線，滿足：以該直線上的任意一點及點C、F三點為頂點的三角形的面積都等于面積，試用規(guī)范、準確的數學語言表達符合條件的直線．  15．如圖．在平面直角坐標系中，已如拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在點P，使得是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標：若不存在，請說明理由；(3)點G為拋物線上的一動點，過點G作垂直于y軸于點E，交直線于點D，過點D作x軸的垂線垂足為點F，連接，當線段的長度最短時，求出點G的坐標．  16．已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C（0，3），且AB=5；(1)求二次函數的解析式；(2)點N是線段OB上（端點除外）的一個動點，過點N作NM∥y軸，交BC于點P，交拋物線于點M，且PN∶PM=1∶2．①求此時的N點坐標；②試探究，在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，若存在，請求Q點坐標；不存在，請說明理由．  17．拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），且，，與y軸交于點C．連接BC，以BC為邊，點O為中心作菱形BDEC．點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交BD于點M．(1)求該拋物線對應的函數表達式；(2)x軸上是否存在一點P，使為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)當點P在線段OB上運動時，試探究：當m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形？請說明理由．  18．已知二次函數的圖象與軸交于和，與軸交于點．(1)求該二次函數的表達式．(2)如圖，連接，動點以每秒個單位長度的速度由向運動，同時動點以每秒個單位長度的速度由向運動，連接，當點到達點的位置時，、同時停止運動，設運動時間為秒．當為直角三角形時，求的值．(3)如圖，在拋物線對稱軸上是否存在一點，使得點到軸的距離與到直線的距離相等，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案：1．(1)；(2)的值為，，1，2 2．(1)(2)(3)或 3．(1)(2)或(3)或 4．(1)(2)(3)(4)或或 5．(1)(2)(3)或或或 6．(1)；(2)；(3)點Q的坐標為或． 7．(1)，，直線l的解析式為；(2)P的坐標為或；(3)點Q的坐標為或或或． 8．(1)(2)存在最大值，最大值為(3)或 9．(1)y＝(2)存在，點P的坐標為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）(3)點Q的坐標為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12） 10．(1)(2)(3) 11．(1)(2)存在，Q(3，2)或Q(-1，0)(3)兩個“和諧點”，的橫坐標是1或 12．(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)(3)存在，(1，4)或(2，3) 13．(1)拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3(2)P點坐標為（，）(3)h的取值范圍為3≤h≤4(4)存在，點P的坐標是（，）或（，）或（，）或（，）14．(1)，點D的坐標為(2)①直線的截距是；②符合條件的直線應該是經過點E且垂直于x軸的直線，為直線和直線15．(1)(2)存在，P（-5，-20）(3)G或16．(1)(2)①②存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，點Q的坐標為或或或． 17．(1)(2)存在，點P的坐標為（0，0）或或或（－4，0）(3)當m＝2時，四邊形CQMD是平行四邊形，理由見解析 18．(1)(2)或2(3)存在；或 

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