1．拋物線交軸于A，兩點（A在的左邊），是第一象限拋物線上一點，直線交軸于點．
(1)直接寫出A，兩點的坐標；
(2)如圖（1），當時，在拋物線上存在點（異于點），使，兩點到的距離相等，求出所有滿足條件的點的橫坐標；
(3)如圖（2），直線交拋物線于另一點，連接交軸于點，點的橫坐標為．求的值（用含的式子表示）．
2．已知，二次函數(shù) 和平面直角坐標系xy中的點A（5，0）、點B（0，5）

(1)若二次函數(shù)圖象 經(jīng)過A、B兩點，
①求二次函數(shù)的解析式；
②如圖1，D在拋物線上，且在第一象限，OD與AB交于點E，求 的最大值；
(2)當 時，若二次函數(shù)圖象經(jīng)過點且頂點在△AOB的內(nèi)部，試比較 的大小
3．拋物線與x軸交于A（－1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2）．
(1)求B點坐標；
(2)如圖1，點E在第一象限的拋物線上，連接BE，交OB于點D，連接DE，△DBE的面積為4．
①連接CE，直接寫出四邊形COBE的面積；
②求E點坐標．
(3)如圖2，將直線AC繞點P（m，n）順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到的對應直線FG與拋物線有唯一公共點，求m與n的數(shù)量關系．
4．如圖，平面直角坐標系中，拋物線過點，與y軸交于點N，與x軸正半軸交于點B．直線l過定點A．
(1)求拋物線解析式；
(2)連接AN，BN，直線l交拋物線于另一點M，當∠MAN＝∠BNO時，求點M的坐標；
(3)過點的任意直線EF（不與y軸平行）與拋物線交于點E、F，直線BE、BF分別交y軸于點P、Q，是否存在t的值使得OP與OQ的積為定值？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由．
5．如圖1，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，
(1)直接寫出點B的坐標（_____，_____）和直線BC的解析式_______；
(2)點D是拋物線對稱軸上一點，點E為拋物線上一點，若以B、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，求點E的橫坐標；
(3)如圖2，直線，直線l交拋物線于點M、N，直線AM交y軸于點P，直線AN交y軸于點Q，點P、Q的縱坐標為、，求證：的值為定值．
6．如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點的直線AB與y軸交于點．經(jīng)過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．
(1)求拋物線的表達式；
(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當軸且時，求點M的坐標；
(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內(nèi)一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
7．如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．
(1)求m的值和直線對應的函數(shù)表達式；
(2)P為拋物線上一點，若S△PBC=S△ABC，請直接寫出點P的坐標；
(3)Q為拋物線上一點，若∠ACQ=45°，求點Q的坐標．
8．拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為，點C的坐標為，對稱軸為直線．點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為m，連接AC，BC，DC．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若，求m值．
(3)點F坐標為（0，2），連接AF，點P在直線AF上，點Q是平面上任意一點，當以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形為菱形時，直接寫出Q坐標．
9．拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（m，n）．
（1）若拋物線y＝ax2+bx+c過原點，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．
（2）如圖（1），在（1）的條件下，直線l：y＝﹣x+4與拋物線交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），MN為線段AB上的兩個點，MN＝2，在直線l下方的拋物線上是否存在點P，使得△PMN為等腰直角三角形？若存在，求出M點橫坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖（2），拋物線y＝ax2+bx+c與x軸負半軸交于點C，與y軸交于點G，P點在點C左側(cè)拋物線上，Q點在y軸右側(cè)拋物線上，直線CQ交y軸于點F，直線PC交y軸于點H，設直線PQ解析式為y＝kx+t，當S△HCQ＝2S△GCQ，試證明是否為一個定值．
10．已知，如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝x﹣2經(jīng)過A、C兩點．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一點，若點P關于直線AC的對稱點Q落在y軸上，求P點坐標；
（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線y＝x﹣，若平移后的拋物線與直線y＝x﹣2交于M、N兩點．①求證：MN的長度為定值；
②結合（2）的條件，直接寫出△QMN的周長的最小值
11．拋物線（）與軸相交于點，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，若是等腰直角三角形，求的面積；
（3）若是對稱軸上一定點，是拋物線上的動點，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．
12．如圖1，拋物線與x軸交于A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸負半軸交于C，且滿足OA＝OB＝OC＝2．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，D為y軸負半軸上一點，過D作直線l垂直于直線BC，直線l交拋物線于E，F(xiàn)兩點（點E在點F右側(cè)），若DF＝3DE，求D點坐標；
(3)如圖3，點M為拋物線第二象限部分上一點，點M，N關于y軸對稱，連接MB，P為線段MB上一點（不與M、B重合），過P點做直線x＝t（t為常數(shù)）交x軸于S，交直線NB于Q，求QS－PS的值（用含t的代數(shù)式表示）．
13．如圖1，已知拋物線經(jīng)過點，且交軸于，兩點，交軸于點，已知點，是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點，于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當時，求的值；
(3)是否存在點，使與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
14．已知拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線．
(1)直接寫出拋物線的解析式 ；
(2)如圖1，已知拋物線與軸交于，兩點，點在點的左側(cè)，點，在拋物線上，交拋物線于點．求點的坐標；
(3)已知點，在拋物線上，軸，點在點的左側(cè)，過點的直線與拋物線只有一個公共點與軸不平行），直線與拋物線交于另一點．若線段，設點，的橫坐標分別為，，直接寫出和的數(shù)量關系（用含的式子表示為 ．
15．已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于C點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，直線x＝m（0＜m＜4）交拋物線于M點，交BC于N點，且CM//ON，求m的值；
（3）如圖2，若點P為拋物線x軸下方一點，直線AP交y軸于M點，直線BP交y軸于N點，且OM?ON＝，求P點坐標．
16．二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為E．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出點E的坐標．
（2）如圖1，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點C時，求點D的坐標．
（3）如圖2，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接PC、PE、CE，當△CEP的面積為30時，求點P的坐標．
17．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點的坐標為．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點在拋物線上且滿足，求點的坐標；
（3）如圖2，是直線上一個動點，過點作軸交拋物線于點，是直線上一個動點，當為等腰直角三角形時，直接寫出此時點及其對應點的坐標
18．如圖1，拋物線與軸，軸分別交于點，點，三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點在拋物線上，連接，．在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點，滿足？如果存在，請求出點點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點在拋物線的對稱軸上，點在拋物線上，當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．
19．如圖1，拋物線交軸于，兩點（在的左側(cè)），與軸交于點，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接，，點在拋物線上，且滿足，求點的坐標；
（3）如圖2，直線交軸于點，過直線上的一動點作軸交拋物線于點，直線交拋物線于另一點，直線交軸于點，試求的值．
20．拋物線C：y＝﹣x2+2x+3與x軸負半軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）寫出AB的長；
（2）如圖1，已知C（0，2），點E是x軸正半軸上的點，OE的垂直平分線MN，交OE于點F．交CE于點M，交拋物線C于點N，若MN＝2，求點E的坐標；
（3）如圖2．將拋物線C向左平移1個單位長度，再向上平移b（b＞0）個單位長度得到拋物線C1，點D是拋物線C1的頂點，點P是拋物線C1在第一象限上的動點，PP'⊥y軸，交拋物線C1于點P'，直線PO交拋物線C1于點Q，直線QP'交y軸于H，求證：HD＝OD．
21．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸相交于，兩點．點的坐標是，連接，．
（1）求過，，三點的拋物線的解析式，并判斷的形狀；
（2）拋物線上是否存在著一點，使的面積為25？若存在，求出的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線上，是否存在著一點，使為以為斜邊的直角三角形？若存在，請直接寫出的坐標；若不存在，請說明理由．
22．如圖，已知拋物線與軸相交于， 兩點，與軸相交于點，拋物線的頂點為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點在軸上，且在點左側(cè)、，求點 的坐標．
（3）若是直線下方拋物線上任意一點，過點作軸于點 ，與交于點．
①求線段長度的最大值．
②在①的條件下，若為軸上一動點，求的最小值．
23．如圖，已知拋物線過點，，過定點的直線與拋物線交于、兩點，點在點的右側(cè)，過點作軸的垂線，垂足為．
（1）直接寫出拋物線的解析式．
（2）求證：．
（3）若，在直線下方拋物線上是否存在點，使得的面積最大？若存在，求出點的坐標及的最大面積；若不存在，請說明理由．
24．如圖１，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C．
（1）若A（-1，0），B （3，0），C（ 0，-3）
①求拋物線的解析式；
②若點P為軸上一點，點Q為拋物線上一點，△CPQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，求出點P的坐標；
（2）如圖2，若直線與拋物線交于點M、點N（點M在對稱軸左側(cè)）．直線AM交y軸于點E，直線AN交y軸于點D．試說明點C是線段DE的中點．
25．拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）交x軸于點A、B，交y軸于點C，它的對稱軸交x軸于點E．
(1) 直接寫出點E的坐標為__________
(2) 如圖，直線y＝x與拋物線交于點M、N，求OM·ON的值．
(3) 如圖2，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，連接DE并延長交y軸于點F，交拋物線于點G．直線AF交CD于點H，交拋物線于點K，連接HE、GK，求證：HE∥GK．
26．如圖1，已知：拋物線過點，交軸于點，點（在左邊），交軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為拋物線上一動點，，求點的坐標；
（3）如圖2，交拋物線于兩點（不與重合），直線分別交軸于點，點，試求此時是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請說明理由．
27．如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．
（1）求點F的坐標及拋物線的解析式；
（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；
（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．
28．如圖1，已知拋物線y＝a（x－1）2與y軸交于點B(0，)，點C為拋物線的頂點．
（1）直接寫出該拋物線的解析式．
（2）點A在拋物線上，且AC⊥BC，求點A的坐標．
（3）如圖2，在（2）的條件下，作線段AC的垂直平分線交拋物線于點D，交AC于點M，點F在直線DM上，求△FBC的最小周長，直接寫出當△FBC周長最小時點F的坐標．
29．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B（3，0）兩點（A在B左側(cè)），與y軸交于C（0，3）．已知對稱軸為x＝1．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P為拋物線上的點，P點到直線BC的距離為，求點P的坐標．
（3）將拋物線向左平移至對稱軸為y軸（如圖2）．交x軸于M，N．D為頂點，E是線段ON上一動點，EF∥y軸交拋物線于F，DE交拋物線于Q，求直線QF與y軸的交點H的坐標．
30．如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為P(1，9)，與x軸的交點為A(﹣2，0)，B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M為x軸上方拋物線上的一點，MB與拋物線的對稱軸交于點C，若∠COB＝2∠CBO，求點M的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為y＝ax2+bx+h，E，F(xiàn)新拋物線在第一象限內(nèi)互不重合的兩點，EG⊥x軸，F(xiàn)H⊥x軸，垂足分別為G，H，若始終存在這樣的點E，F(xiàn)，滿足△GEO≌△HOF，求h的取值范圍．
31．如圖1，已知拋物線的頂點為，與軸的交點為，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）M為軸上方拋物線上的一點，與拋物線的對稱軸交于點，若，求點的坐標；
（3）如圖2，將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為，，是新拋物線在第一象限內(nèi)互不重合的兩點，軸，軸，垂足分別為，，若始終存在這樣的點，，滿足，求的取值范圍．
32．已知拋物線：（m＞0）的頂點為M，交y軸于點G．
（1）如圖，若點G坐標為(0，)
①直接寫出拋物線解析式；
②點Q在y軸上，將線段QM繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段QN，若點N恰好落在拋物線上，求點Q的坐標．
（2） 探究： 將拋物線沿唯一的定直線x=a對稱得拋物線，記拋物線交y軸于點P (0，－2m)，求a的值．
33．拋物線交軸于，兩點（點在點的左邊），交軸正半軸于點.
（1）如圖1，當時.
①直接寫出點，，的坐標；
②若拋物線上有一點，使，求點的坐標.
（2）如圖2，平移直線交拋物線于，兩點，直線與直線交于點，若點在定直線上運動，求的值.
34．已知拋物線過點（3，1），D為拋物線的頂點．直線l：經(jīng)過定點A．
（1）直接寫出拋物線的解析式和點A的坐標；
（2）如圖，直線l與拋物線交于P，Q兩點．
①求證：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面積的最小值.
35．如圖，已知直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．
（1）若拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．
①求點M、N的坐標；
②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；
（2）當點P的橫坐標為2時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
參考答案：
1．(1)，；
(2)0，或；
(3)．
（1）解：令，解得：，，
∴，．
（2）解：∵，
∴，
∴直線的解析式為．
①若點在下方時，
過點作的平行線與拋物線的交點即為．
∵，，
∴的解析式為．
聯(lián)立，
解得，，（舍）．
∴點的橫坐標為0．
②若點在上方時，點關于點的對稱點為．
過點作的平行線，則與拋物線的交點即為符合條件的點．
直線的解析式為．
聯(lián)立，得，
解得，，．
∴點，的橫坐標分別為，．
∴符合條件的點的橫坐標為：0，或．
（3）
解：設點的橫坐標為．過點的直線解析式為．
聯(lián)立，得．
設，是方程兩根，則．（*）
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
設直線的解析式為，
同（*）得，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
2．(1)
(2)b=12時，； ，；，
(1)解：①把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式得：
，
解這個方程組得：，
∴所求二次函數(shù)的解析式為：；
②過D作DP⊥x軸于點P，交AB于點F，如圖所示：
設點P的橫坐標為p，則點D的坐標為（p，，
設直線AB的解析式為，把點A、B的坐標代入此解析式得：，
∴，
∴直線AB的解析式為：，
∴點F的坐標為（p，-p+5），
∴OB=5，DF=-（-p+5）=，
∵，
∵，
∴有最大值，最大值為．
(2)
∵a=-1，
∴=，
∴頂點坐標為（b，4b+1），
∴x=b，y=4b+1，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為：，
設直線與y軸交于點M，與直線AB交于點N，則點M的坐標為（0，1），點N的坐標為（，），
∵拋物線的開口向下，頂點在△AOB的內(nèi)部，
∴頂點只能在線段MN上（不含M、N）
∴；
①如圖1，當軸時，拋物線的對稱軸垂直平分CD，，
此時拋物線的對稱軸x=b=，即：b=時，；
②如圖2，當點C離對稱軸較近時，，此時；
③如圖3，當點C離對稱軸較遠時，，此時．

3．(1)點B的坐標為（4，0）
(2)①8；②點E的坐標為（2，3）
(3)
（1）解：把A（－1，0），C（0，2）兩點的坐標分別代入到中，得：，解得，∴拋物線的解析式為，令y＝0，即，解得，，∴點B的坐標為（4，0）；
（2）①連接BC，， ，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，=4四邊形COBE的面積+=4+4=8則四邊形COBE的面積；8，②連接OE，BC，如圖：∵，，∴，設點E的坐標為，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，∴，，解得，當m＝2時，，∴點E的坐標為（2，3）；
（3）過P作FP⊥AP且FP＝AP，作軸，交x軸于N，過F作FM⊥MP于M，，∴AN＝MP＝m＋1，NP＝FM＝n，∴F點坐標為（m－n，m＋n＋1）∵設旋轉(zhuǎn)后得△FGQ，則，∴FQ＝AO＝1，GQ＝CO＝2，∴G點坐標為設直線FG解析式為則解得∴直線FG解析式為∴由得∵直線FG與拋物線有唯一公共點，∴∴．
4．(1)
(2)或
(3)存在，
(1)解：（1）將點代入，
得－16－4n＋4＝0，解得n＝－3，
∴；
(2)
令y＝0，則，
解得x＝－4或x＝1，
∴B（1，0），
令x＝0，則y＝4，
∴N（0，4），
∴ON＝4，OB＝1，
∴，
如圖1，當M點在AN上方時，過點N作NH⊥AN交于H點，過點H作HK⊥y軸交于K點，
∵A（－4，0），N（0，4），
∴OA＝ON，，
∴∠ANO＝45°，
∵∠HNA＝90°，
∴∠HNK＝45°，
∴HK＝KN，
∵∠HAN＝∠ONB，
∴，
∴，
∴KN＝HK＝1，
∴H（－1，5），
設直線AM的解析式為y＝kx＋b，
∴，解得，
∴，
聯(lián)立方程組，
解得或x＝－4（舍），
∴；
如圖2，當M點在AN下方時，過點N作NG⊥AN交AM于點G，過點G作GW⊥y軸交于點W，
∵∠ANO＝45°，∠ANG＝90°，
∴∠WNG＝45°，
∴NW＝WG，
∵，
∴，
∴WG＝WN＝1，
∴G（1，3），
則直線AM的解析式為，
聯(lián)立方程組，解得或x＝－4（舍），
∴；
綜上所述：點M的坐標為或；
(3)
存在t的值使得OP與OQ的積為定值，理由如下：
設，，
設直線BE的解析式為y＝k（x－1），
將點E代入y＝k（x－1），得k＝－e－4，
∴，
令x＝0，則y＝e＋4，
∴P（0，e＋4），
∴OP＝e＋4，
設直線BF的解析式為y＝m（x－1），
點F代入，得，
∴，
令x＝0，則，
∴，
∴，
∴，
設直線EF的解析式為，
聯(lián)立方程組，
∴，
∴，，
∴，
當t＋4＝0時，為定值，
∴，．
5．(1)4，0，
(2)或或；
(3)證明見解析
(1)解：對拋物線與來說，
當y＝0時，，
解得，
由圖像可知，點B的橫坐標大于0，
∴點B的坐標是（4，0），點A的坐標是（﹣1，0）
當x＝0時，得y＝﹣2，即點C的坐標是（0，﹣2），
設直線BC的表達式是y＝kx＋b，將B、C兩點坐標代入，得

解得
∴直線BC的解析式為
故答案為：4，0；
(2)
解：由題意和（1）可知，拋物線的對稱軸為，設點D的坐標為（，），
當四邊形CBED是平行四邊形時，
CBDE且CB＝DE，
則點C（0，﹣2）向右平移4個單位，向上平移2個單位到點B（4，0），
∴點D向右平移4個單位，向上平移2個單位到點E，
∴點E坐標是（+4，+2）即（，+2）
∵點E在拋物線上，
∴+2＝
∴＝
∴點E坐標是（，），即點E的橫坐標是；
當四邊形CBDE是平行四邊形時，
CBED且CB＝ED，
則點B（4，0）向左平移4個單位，向下平移2個單位到點C（0，﹣2），
∴點D向左平移4個單位，向下平移2個單位到點E，
∴點E坐標是（－4，－2）即（﹣，－2）
∵點E在拋物線上，
∴－2＝
∴＝
∴點E坐標是（﹣，），即點E的橫坐標是﹣；
當四邊形CEBD是平行四邊形時，BC是對角線時，
DBCE且DB＝CE，
則點D（，）向左平移個單位到，向下平移（+2）個單位，到點C（0，﹣2），
∴點B（4，0）向左平移個單位到，向下平移（+2）個單位，到點E（， ），
∴點E的橫坐標是
∵點E在拋物線上，
∴＝
∴點E的坐標是（，﹣）即點E的橫坐標是；
綜上所述，點E的橫坐標是或或；
(3)
解：由（1）知，直線BC的解析式為，點A的坐標是（﹣1，0）
設直線l 的表達式為
聯(lián)立得方程組得
設點M的坐標是（，），點N的坐標是（，）
由一元二次方程根與系數(shù)關系得＋＝4，＝﹣4，
∵點M、N在直線l上
∴，
設直線AM的解析式為，
把點A、點M坐標坐標代入，并聯(lián)立得
解得
即直線AM的表達式y(tǒng)＝x+
令x＝0，得y＝，即＝
同理，設直線AN的解析式為，把點A、點N坐標坐標代入，并聯(lián)立得
得
即直線即直線AN的表達式y(tǒng)＝x+
令x＝0，得y＝，即＝
故＋＝＋
＝
∵＋＝4，＝﹣4，
∴＋＝
即＋＝-2
∴＋為定值．
6．(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
（1）解：∵拋物線過點，
∴，解得，
∴拋物線的表達式為．
（2）設直線AB的解析式為：，
∵直線AB經(jīng)過，，
∴，
∴，
∴直線AB的表達式為．
∵軸，可設，，其中．
當M在N點上方時，．
解得，（舍去）．
∴．
當M在N點下方時， ．
解得，．
∴，．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標有三個，，．
（3）
存在．滿足條件的點Q的坐標有4個．，，，．
理由如下：
①如圖，若AC是四邊形的邊．
當時，
∴拋物線的對稱軸與直線AB相交于點．
過點C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴點與點D重合．
當時，四邊形是矩形．
∵向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．
∴向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．
此時直線的解析式為．
∵直線與平行且過點，
∴直線的解析式為．
∵點是直線與拋物線的交點，
∴．
解得，（舍去）．
∴．當時，四邊形是矩形．
∵向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．
∴向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．
②如圖，若AC是四邊形的對角線，
當時．過點作軸，垂足為H，過點C作，垂足為K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵點P不與點A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如圖，滿足條件的點P有兩個．即，．
當時，四邊形是矩形．
∵向左平移個單位，向下平移個單位得到．
∴向左平移個單位，向下平移個單位得到．
當時，四邊形是矩形．
∵向右平移個單位，向上平移個單位得到．
∴向右平移個單位，向上平移個單位得到．
綜上，滿足條件的點Q的坐標為或或或．
7．(1)，；
(2)，，；
(3)
（1）解：將代入，化簡得，則（舍）或，∴，得：，則．設直線對應的函數(shù)表達式為，將、代入可得，解得，則直線對應的函數(shù)表達式為．
（2）解：如圖，過點A作∥BC，設直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移 GC個單位，得到直線，由（1）得直線BC的解析式為，，∴直線AG的表達式為，聯(lián)立，解得：（舍），或，∴，由直線AG的表達式可得，∴，，∴直線的表達式為，聯(lián)立，解得：，，∴，，∴，，．
（3）解：如圖，取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，則，．設，∵，，∴．由，則，即，解之得，．所以，又，可得直線對應的表達式為，設，代入，得，，，又，則．所以．
8．(1)；
(2)的值為或；
(3)點的坐標為，或，或或，．
（1）解：由題意得：，解得：，拋物線的函數(shù)表達式為：；
（2）解：當點在直線上方時，過點作交的延長線交于，垂足為，作軸交于，點的坐標為，對稱軸為直線．點的坐標為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，聯(lián)立得（舍去）或，；當點在直線下方時的位置），延長交于，過作軸于，，，，，，，，，，，直線的解析式為，聯(lián)立得（舍去）或，；綜上，的值為或；
（3）解：點的坐標為，點的坐標為，點坐標為，，直線為，設，，，①當是菱形的邊時，如圖， 時，，解得或，，或，，點的坐標為，點的坐標為，，或，，時，，解得（舍去）或，，點的坐標為，點的坐標為，，綜上，當是菱形的邊時，點的坐標為，或，或；②當是菱形的對角線時，如圖， ，，解得，，，點的坐標為，點的坐標為，，，綜上所述，點的坐標為，或，或或，．
9．（1）；（2），，2,0；（3）見解析
【詳解】（1）根據(jù)題意，設
將代入，即
解得
拋物線的解析式
（2）由y＝﹣x+4
令，則，令，則
設與軸交于點,則
是等腰直角三角形
則
①當，
則,
設，則，
則，在線段上，
即
又點在上，即
解得（舍）
此時點與點重合，點與點重合，如圖，
則,
②當
同理,
設，則，其中
又點在上，即
解得（舍）
則此時點與點重合，點與點重合，如圖，
則
③當時，如圖，
由
解得
，是等腰直角三角形
,
軸
設，則，其中
又點在上，即
解得
的橫坐標為，
綜上所述的橫坐標為，，2,0
（3）設直線PC： y＝mx+n，則，直線，則，直線的解析式為
由y＝ax2+bx+c，令，則，即
即
，即
聯(lián)立拋物線y＝ax2+bx+c，
即：
則，
同理可得：，
+=
同理可得：，
即

10．（1）；（2）P點坐標為(6，2)；（3）①，②．
【詳解】解：（1）在y＝x﹣2中，令y=0，x=2；令x=0，y=-2；
∴A(2，0)，C(0，-2)，
代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）如圖，∵OA=OC=2，
∴∠OCA=45°，
∵點P關于直線AC的對稱點Q在y軸上，
∴∠OCA=∠PCA=45°，
∴PC⊥y軸，
∴P的縱坐標為-2，
由；
解得，(舍去)，
∴P點坐標為(6，2)；
（3）①設頂點為(m，m﹣)，平移后拋物線解析式為，
則=x-2，
，
設，
則，
∴MN=，
∴MN的長度為定值；
②如圖，作KQ⊥MN，連接MK，MP，由題知P(6，2)，Q(0，4)，KQ=MN=2，則只需求QM+QN的最小值即可，
∵
∴KM=QN即求KM+MP的最小值，即KP的長，
∵Q(0，4)，KQ=2，
∴K(-2，2)，
∴KP=，
∴△QMN的周長的最小值為．
11．（1）；（2）4；（3）
【詳解】解：（1）由拋物線（）與軸相交于點得到
拋物線的對稱軸為，即，解得
∴拋物線的方程為
（2）過點E作交AB于點M，過點F作，交AB于點N，如下圖：
∵是等腰直角三角形
∴，
又∵軸
∴
∴為等腰直角三角形
∴
設，則，
∴
又∵
∴
解得或
當時，，符合題意，
當時，，不符合題意
綜上所述：．
（3）設，在拋物線上，則
將代入上式，得

當時，，∴時，最小，即最小
=
當時，，∴時，最小，即最小
，
綜上所述
12．(1)
(2)或
(3)
（1）解：∵OA＝OB＝OC＝2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），
把A、B、C三個點的坐標代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴，
∵EF⊥BC，
∴∠BKF=90°，
∴，
∴，
∴，
∴OG=OD，
設D點坐標為（0，n）（n＜0），則G點坐標為（n，0），設直線l的關系式為：，把D、G點的坐標代入得：，
解得：，
∴直線l的解析式為：，
聯(lián)立，
即，
解得：，，
∵點E在F的右邊，
∴點的橫坐標為，點的橫坐標為，
當點E在y軸的右側(cè)時，過點E作EM⊥y軸于點M，過點F作FN⊥y軸于點N，如圖所示：
軸，軸，
∴，
，
即：，
解得：，
∴點D的坐標為；
當點E在y軸的左側(cè)時，過點E作EM⊥y軸于點M，過點F作FN⊥y軸于點N，如圖所示：
軸，軸，
∴，
，
即：，
解得：，
∴點D的坐標為；
綜上分析可知：點D的坐標為或．
（3）
設點M的坐標為，則點N的坐標為，直線BN的解析式為：，把點B和點N的坐標代入得：，
解得：，
∴直線BN的解析式為：，
把代入得：，
設直線BM的解析式為：，把點B和點M的坐標代入得：，
解得：，
∴直線BM的解析式為：，
把代入得：，
，
，
∴
13．(1)
(2)1或5
(3)存在；P（，）
(1)解：將D（1，5），A（－1，0）代入拋物線的解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋3得，
，
解得，
∴拋物線的解析式；
(2)連接PB、PC，如圖所示：
當x=0時，y=3，即C（0，3），
當y=0時，解得，
∴B（6，0），
設直線BC的解析式為，把B、C兩點的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為，
過點P作PR⊥x軸交BC于點R，
則PR＝y(tǒng)P－yR＝＝，
在△OBC中，OC＝3，OB＝6，
由勾股定理得，BC＝，
則S△PBC＝，
又S△PBC＝，
∴ ，
解得，m＝1或5；
(3)
存在，P（，）.
∵∠PQB＝∠COB＝90°，
∴要△BPQ與△BOC相似，必有∠PBC＝∠BCO，或∠PBC＝∠CBO，
但當∠PBC＝∠BCO，PB∥OC，
此時，P，Q，B重合，不成立，舍去；
當∠PBC＝∠CBO時，
延長BP交y軸于點H，作CG⊥BP于點G，
則CG＝CO＝3，
設H（y，0），
∵∠HGC＝∠HOB＝90°，
∠GHC＝∠OHB，
∴△HGC∽△HOB，
∴，
∴，
∴CO=CG=3，
∵在和中，
，
∴，
∴GB＝OB＝6，
∴HB＝HG＋GB＝HO＋OB＝2CH，
即y＋6＝2（y－3），
解得，x＝8，
∴H（8，0），
設直線BH的解析式為y＝kx＋8，
則0＝6k＋8，得，
∴直線BH的解析式為y＝x＋8，
由
解得或（舍去），
∴P（，）．
14．(1)；
(2)；
(3)
(1)由已知可知，拋物線向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度得到拋物線，
拋物線，
故答案為：；
(2)，
令，，
解得或，
，，
點，在拋物線上，
，解得，
，，
設，
過點作軸交于點，過點作軸交于點，如圖所示，
，
，
，
，
，
，
或，
點在第二象限，
，
，；
(3)
點與在上，
，
軸，
，
設的解析式為，
，
，
，
直線與拋物線只有一個交點，
，
△，
，
直線的解析式為，
，設點D的坐標為(x，y)
∴，
∴
，
∵點D在直線MD上
，
整理得，，
，
故答案為：．
15．（1）；（2）m＝2；（3）P（，﹣）．
【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為：．
（2）在中，令x＝0，則y＝﹣2．
∴C（0，﹣2）．
∴OC＝2．
∵直線x＝m平行于y軸，CM//ON，
∴四邊形OCMN為平行四邊形．
∴MN＝OC＝2．
設直線BC的解析式為y＝kx+n，則：，
解得：．
∴直線BC的解析式為：．
∴N（m，m﹣2）．
∵M（m，），0＜m＜4，
∴MN＝（m﹣2）﹣（﹣2）＝﹣+2m．
∴﹣+2m＝2．
解得：m1＝m2＝2．
∴m＝2．
（3）設P（t，），
∵點P為拋物線x軸下方一點，
∴﹣1＜t＜4．
設直線AP的解析式為，則：
，
解得：．
∴直線AP的解析式為．
∴M（0，）．
∴OM＝﹣．
同理可得：ON＝．
∵OM?ON＝，
∴．
整理得：．
解得：．
∴P（，﹣）．
16．（1）二次函數(shù)的解析式為y=x2?2x+3，頂點坐標E（4，-1）；（2）點D的坐標為(4，3+)或(4，3?)；（3）點P的坐標為（10，8）或（-6，24）．
【詳解】解：（1）將A（2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2?2x+3，
∵y=x2?2x+3= (x?4)2?1，
∴頂點坐標E（4，-1）；
（2）連接CB，CD，如圖：
在二次函數(shù)y=x2?2x+3中令x=0得y=3，
∴C（0，3），
∵二次函數(shù)y=x2?2x+3的對稱軸為x=4，
∴設D（4，m），而B（6，0），
∵點C在線段BD的垂直平分線CN上有CD=BC，故CD2=BC2，
∴42+（m-3）2=62+32，
解得m=3±，
∴滿足條件的點D的坐標為(4，3+)或(4，3?)；
（3）設CP交拋物線的對稱軸于點M，如圖：
設P（n，n2-2n+3），直線CP的解析式為y=kx+3，
將P坐標代入得n2?2n+3=kn+3，
∴k=n?2，
∴直線CP的關系式y(tǒng)= (n?2)x+3，
當x=4時，y=4(n?2)+3=n?5，
∴M（4，n-5），ME=n-5-（-1）=n-4，
∴S△CPE=S△CEM+S△PEM=（xP-xC）?ME=n?（n-4），
∴n（n-4）=30，
∴n2-4n-60=0，解得n=10或n=-6，
當n=10時，P（10，8），
當n=-6時，P（-6，24）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（10，8）或（-6，24）．
17．（1）；（2），；（3），；，；，；，； ，；，．
【詳解】解：（1）將和代入
得
又∵頂點的坐標為
∴
∴解得
∴拋物線的解析式為：．
（2）∵和
∴直線的解析式為：
∵拋物線的解析式為：，拋物線與軸交于點，與軸交于點和點，
則C點坐標為，B點坐標為．
①過點作，交拋物線于點，
則直線的解析式為，
結合拋物線可知，
解得：（舍），，
故．
②過點作軸平行線，過點作軸平行線交于點，
由可知四邊形為正方形，
∵直線的解析式為
∴與軸交于點，
在下方作交于點，交拋物線于
∴
又∵OC=CG，
∴≌，
∴，，
又由可得
直線的解析式為，
結合拋物線可知，
解得（舍），，
故．
綜上所述，符合條件的點坐標為：，．
（3）∵，
∴直線的解析式為
設M的坐標為，則N的坐標為
∴
∵，
∴直線的解析式為
∵為等腰直角三角形
∴①當時，如下圖所示
則Q點的坐標為
∴
∴
解得：（舍去），，
∴此時，；，；
②當時，如下圖所示
則Q點的坐標為
∴
∴
解得：（舍去），，
∴此時，；，；
③當時，如圖所示
則Q點縱坐標為
∴Q點的坐標為
∴Q點到MN的距離=
∴（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
解得：（舍去），，
∴此時，；，．
綜上所述，點及其對應點的坐標為：，；，；，；，； ，；，．
18．（1）；（2）存在，點的坐標為；（3）點的坐標為或或
【詳解】解：（1）將A(?1，0)， C(0，3)代入中，得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）存在．理由如下：
將點D(m，3)代入得，
解得，m=0舍去，
∴D(2，3)，
令，則，
解得：．
∴B(3，0)，
∴，
∵，，
∴，
當時，與相交于點，
又∵，
∴，
∴，
∴G(0，1)．
設直線解析式為，
把G(0，1)，B(3，0)代入，得，，
∴直線的解析式為．
聯(lián)立方程組，
解得，或（舍去），
所以點的坐標為；

（3）拋物線的對稱軸為，
設點N（1，n），M（d，），
當BC、MN為平行四邊形對角線時，
由BC、MN互相平分，
∴，
解得：，
∴M（2，3）；
當BM、NC為平行四邊形對角線時，
由BM、NC互相平分，
∴，
解得：，
∴M（-2，-5）；
當MC、BN為平行四邊形對角線時，
由MC、BN互相平分，
∴，
解得：，
∴M（4，-5）；
綜上所述，點M的坐標為：（2，3）或（-2，-5）或（4，-5）．
19．（1）；（2）；（3）8
【詳解】解：（1）對于拋物線，當時，，
∴點的坐標為，即，
∵，
∴，即點的坐標為，
∴，
解得，，
∴拋物線的解析式為；
（2）延長、交于點，
設點點的坐標為，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解方程得，，，
則點的坐標為，
設直線的解析式為：，
則，
解得，，
∴直線的解析式為：，
∵點在直線上，
∴，
，
解得，，
∴點點的坐標為，
設直線的解析式為：，
則，
解得，，
則直線的解析式為：，
解方程組，得，，
∴點的坐標為；
（3）設點的坐標為，，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，得，
∴，
∴，
設直線，
聯(lián)立，
∴，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
20．（1）AB＝；（2）點E的坐標為或；（3）見解析．
【詳解】解：（1）令，即
解得：或，
令x＝0，則y＝3，
故點A、B的坐標分別為，．
則．
（2）如下圖，設點E的坐標為，則點，點，
由中點公式得，點M的坐標為，
則，
解得：（舍），（舍）．
故點E的坐標為或；
（3）將改變?yōu)轫旤c式為：，
∴將拋物線C向左平移1個單位長度，再向上平移b（b＞0）個單位長度得到拋物線C1，則平移后的拋物線表達式為，即①，
則點D，
設點P的坐標為，點Q的坐標為，則點P′的坐標為，
設直線PQ的表達式為②，直線的表達式為③，
聯(lián)立①②并整理得：，則④，
聯(lián)立①③并整理得：，則⑤，
由④和⑤得：，
解得，
故點H的坐標為，
則．
21．（1），為以為直角頂點的直角三角形；（2）存在，的坐標為或或或；（3），，．
【詳解】解：（1）∵與軸，軸相交于，兩點，
當時，即，
解得，
∴，
當時，，
∴．
∵拋物線過原點，
∴設拋物線的解析式為．
∵過，，
則，
解得，
∴該拋物線的解析式為．
∵，，，
∴；
；
；
∴．
∴為以為直角頂點的直角三角形
（2）存在．理由如下：
作軸交直線于點，
設，則，
∴，
∴，∴
即
即
即或
解得：，，，；
當時，，此時；
當時，，此時；
當時，，此時；
當時，，此時；
∴綜上所述：當?shù)淖鴺藶榛蚧蚧驎r，的面積為25．
（3）由拋物線的軸對稱性可知：拋物線的對稱軸為直線，
若在拋物線找一點使為以為斜邊的直角三角形，即為直角頂點；
由圓周角性質(zhì)的推論，直徑所對的圓周角為直角，則必須在以為直徑的圓上，
而又在拋物線上，
∴在以為直徑的圓和拋物線的交點處均符合題意，如圖所示：
圓與拋物線共有四個交點，分別為，，，
由（1）可知，當與或重合的時候均符合題意，與重合，，三點不能組成三角形，
∴，
而的中點即圓心在拋物線的對稱軸上，所以拋物線與圓具備了公共的對稱軸，直線，
∴圓與拋物線的四個交點是關于直線對稱，
∴與關于直線對稱，
∴
解得，
∴
綜上可知：，，．
22．（1）；（2）；（3）①；②
【詳解】解：（1）把，點代入拋物線中得：，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）
頂點，
當時，，
，
或，
；
如圖1，連接，
設所在直線的解析式為：，將點坐標代入函數(shù)解析式，得
，
解得，
故所在直線的解析式為：，
，
，
設所在直線的解析式為：，將點坐標代入函數(shù)解析式，得，
故所在直線的解析式為：，
當時，．
綜上所述，點的坐標是；
（3）①如圖2，
，，
設的解析式為：，
則，解得：，
的解析式為：，
設，則，
，
當時，有最大值為；
②當有最大值，，，
在軸的負半軸了取一點，使，過作于，
，
當、、三點共線時，最小，即的值最小，
中，，
，
，
，
中，，
，
，
的最小值是．
23．（1）；（2）見解析；（3）存在，最大值為，此時點坐標為．
【詳解】（1）把點（-2，2），（4，5）代入得：
，
解得：，
所以拋物線解析式為；
（2）設B(，)，已知F（0，2），
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴；
（3）作軸交于點．
經(jīng)過點F（0，2），且時，
∴一次函數(shù)解析式為，
解方程組，
得或，
則，
設，則，
∴，
∴
當時，有最大值，最大值為，此時點坐標為．
24．（1）①②（-5，0）或（0，0）或（，0）或（，0）；（2）見解析；
【詳解】（1）①將A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）代入解析式可得
；
∴拋物線的解析式為：
②如圖，∵B（3，0）C（0，-3），
∴OB=OC，
∴當點P與點O重合，點B與點D重合時，PC=PQ，△CPQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，
∴點P的坐標為（0，0）；
如圖，過點P作直線EF∥y軸，過點C，Q分別作x軸的平行線交EF于F點，E點，易證
△QEP△PFC，
∴QE=PF，EP=CF
設點P（m，0），點Q（n，），
∴點E，F(xiàn)的坐標分別為（m，），（m，-3），
當m0時，
∴QE=m-n，PF=3，EP=，CF=m，
∴ ，
解得 ，
∴點P的坐標為（，0）或（，0）
當m0時，如圖，QE=n-m，PF=3，EP=，CF=-m，
，
解得 ，
∴點P的坐標為（0，0）或（-5，0）
綜上所述，點P的坐標為（-5，0）或（0，0）或（，0）或（，0）；
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），如圖2
聯(lián)立方程得
則有x1+x2=2+b，x1x2=-3-t，
設直線AM的解析式為y=kx+m，
分別將M點坐標和A點坐標代入直線AM解析式，
可求出直線AM的解析式為
點E是直線AM與y軸的交點，則E（0，）
同理可求D（0，）
則
=
=b-4=-6
=2yc
∴點C是線段DE的中點．
25．(1) （1，0）；(2) 6；(3) 見解析.
【詳解】解：（1）對于拋物線y＝ax2－2ax－3a，對稱軸x= =1，
∴E（1，0），
故答案為（1，0）．
（2）∵M、N在直線y=x上，
∴設M（m,m）、N（n,n）,
∵M、N是直線y＝x與拋物線y= ax2－2ax－3a的交點，
∴m、n是方程ax2－2ax－3a=x即ax2－（2a+1）x－3a=0的兩個根，
∴mn=-3，
∵OM=，ON=，
∴OM·ON====6；
（3）證明：如圖，

由題意可得A（-1，0），C（0，-3a），D（2，-3a），E（1，0），
∴直線DE的解析式為y=-3ax+3a，
∴F（0，3a），
∴直線AF的解析式為y=3ax+3a，
∴H（-2，-3a），
∴直線HE的解析式為y=ax-a，
由，
解得或，
∴K（6，21a），
由，
解得或，
∴G（-3，12a），
∴直線GK的解析式為y=ax+15a，
∵直線HE的解析式為y=ax-a，
∴HE∥GK．
26．（1）；（2）不存在點D；（3）是，7
【詳解】（1）將代入，
得
（2）取作軸于，
，
在和中
∴
∴，
，
∴，
∴，
而，
∴，∴
∵
∴重合，
∴此時不存在，
∴無解；
（3），設
∴：
同理：：
∴
27．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【詳解】解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
設直線AB的解析式為y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，
∵點F的橫坐標為，
∴F點縱坐標為﹣+1＝﹣，
∴F點的坐標為（，﹣），
又∵點A在拋物線上，
∴c＝1，
對稱軸為：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四邊形DBFE為平行四邊形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；
（2）設P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，
則P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，
∴當n＝時，△ABP的面積最大為，此時P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
設Q（，m），
①當AQ為對角線時，
∴R（﹣），
∵R在拋物線y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②當AR為對角線時，
∴R（），
∵R在拋物線y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
28．（1）y＝x2－x＋；（2）(5，8)；（3）＋；(，)
【詳解】（1）把B(0，)點代入y＝a（x－1）2
得=a
∴拋物線的解析式為：y＝（x－1）2=x2－x＋
（2）∵y＝（x－1）2
∴C(1，0)
延長AC交y軸于點G，已知B(0，)，C(1，0)
∴OB＝，OC＝1
∴在Rt△BOC中，tan∠BCO＝
AC⊥BC，∴ ∠BCO＋∠OCG＝90°，
在Rt△BOC中，∠OGC＋∠OCG＝90°，
∴∠BCO＝∠OGC
∴tan∠OGC＝tan∠BCO＝，又已知OC＝1，
可求得：OG＝2，點G的坐標為（0，－2）
設GC的直線解析式為y=kx+b（k≠0）
把C(1，0)，G（0，－2）代入得
解得
∴GC的直線解析式為：y＝2x－2，
已知拋物線的解析式為：y＝x2－x＋
聯(lián)立方程組得到x2－x＋=2x－2
解得x1=5,x2=1
∴點A的坐標為(5，8)
（3）解：連結BA交DM于點K，
∵DM是AC的垂直平分線，則CK＝AK
當點F與點K重合時，△FBC的周長最小，△FBC的最小周長＝BC＋AB
當點F與K不重合時，
∵DM是AC的垂直平分線，則CF＝AF
∴ △FBC的周長＝BC＋BF＋CF＝BC＋BF＋AF
當點F不與K重合時，△FBC的周長＝BC＋BF＋AF＞BC＋AB
因此，點F與點K重合時，△FBC的周長最?。?br>在Rt△OBC中，已知BO＝，OC＝1，BC2＝，
∴BC=
過點A(5，8)作x軸的垂線，垂足為N，
則在Rt△ACN中，已知AN＝8，NC＝4，AC2＝80
∴AB＝，故△FBC的最小周長＝＋
設直線AB的解析式為y=mx+n
把A(5,8),B(0, )代入得
解得
∴直線AB的解析式為y=x+
設直線AC的解析式為y=px+q
把A(5,8),C(1, 0)代入得
解得
∴直線AC的解析式為y=2x-2
∵DE垂直平分線段AC
∴M點是AC的中點
∴M（3,4）
故設直線DE的解析式為y=-x+d
把M（3,4）代入得4=-×3+d
解得d=
∴直線DE的解析式為y=-x+
聯(lián)立直線DE，AB得
解得
∴點F的坐標為(，) ．
29．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（1，4）或（2，3）或（，）或（，）；（3）H（0，8）．
【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B（3，0）兩點（A在B左側(cè)），對稱軸為x＝1．
∴A（﹣1，0），
設拋物線為y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入，得3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖，作PN⊥x軸，交直線BC于M，連接PC、PB，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC為y＝﹣x+3，BC＝，
∴S△PBC＝，
設N（t，0），則M（t，﹣t+3），P（t，﹣t2+2t+3），
∴S△PBC＝S△PCM+S△PBM＝，
當P在直線BC上方時，，
整理得，t2﹣3t+2＝0，解得：t＝1或2，
∴此時P（1，4）或（2，3）；
當P在直線BC下方時，，
整理得，t2﹣3t﹣2＝0，解得：t＝或，
∴此時點P（，）或（，）；
綜上，點P的坐標為（1，4）或（2，3）或（，）或（，）；
（3）由題意得：平移后拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4，則點D（0，4），
設點E（m，0），則點F（m，4﹣m2），
設直線DE的表達式為y＝tx+s，則，解得：，
故直線DE的表達式為：y＝+4，
解方程組得：，，故點Q（，）；
設直線FQ的表達式為：y=kx+n，則，解得：，
直線FQ的表達式為：y＝﹣（m+）x+8，
令x＝0，則y＝8，故點H（0，8）．
30．（1）；（2）?2+33,23?13；（3）．
【詳解】解：（1）拋物線的頂點為，
設該拋物線解析式為，
把代入拋物線解析式得，，
；
（2）令得，，或，
，
拋物線對稱軸直線與軸交點為，
如圖1，作原點關于直線的對稱點，連接，
則，
，
，
．
．
．
設直線的解析式為，
則，
解得，．
直線解析式為，
與拋物線聯(lián)立得．
，．
，
故點坐標為；
（3）如圖2，設，，，，
，
，，
，
設新拋物線解析式為，
把點，的坐標代入拋物線的解析式得：，，
即，，
，，，
，
，，
，，，
且
把代入，得．
且．
．
故的取值范圍為：．
31．（1）；（2）點坐標為；（3）
【詳解】解：（1）拋物線的頂點為，
，
把代入拋物線解析式得，，
解得，，
；
（2）令得，，
或，
，
，
設拋物線對稱軸直線與軸交點為，作原點關于直線的對稱點，連接，則，
，
，
，
，
，
設直線的解析式為，
則，，
解得，，
直線解析式為，
與拋物線聯(lián)立得，
，即，
∴，
，
故點坐標為；
（3）設，
，
，，
，
設新拋物線解析式為，
把點、的坐標代入拋物線的解析式得：，，
即，，
建立與或與的函數(shù)關系式，從而求的取值范圍，
先找到與的關系式，，
，，
，
，，
，，，
且，
把代入得，
且，
，
故的取值范圍．
32．（1）①；②Q1(0，)，Q2(0，－)；（2）1
【詳解】解：（1）①將點G(0，)代入解析式中，得
解得：m=1或-1（不符合條件，舍去）
將m=1代入解析式中，得
；
②設點Q（0，t），過點N作NA⊥y軸于點A，過點M作NB⊥y軸于點B，
∴∠NAQ=∠MBQ=90°，
又QM=QN，∠MQN=90°，
∴∠ANQ＋∠AQN=90°，∠BQM＋∠AQN=90°
∴∠ANQ=∠BQM
∴△ANQ≌△BQM，
∴AN=BQ，AQ=BM，
由點M得M（1，），即B（0，），
∴BM=AQ=1，BQ=AN=t+，
∴A（0，t+1)，即N（t+，t+1），
則有（t+）2－2（t+）－=t+1，
解得t1=，t2=－，
∴Q1=（0，），Q2（0，－）
（2）解：：可化為
，
∴頂點M，
又∵拋物線與拋物線關于直線x=a對稱，由對稱性知：
拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的解析式為：，
又∵拋物線交y軸于點 P (0，－2m)，
則有 ，
∴
而直線x=a唯一，
∴，
解得，
所以有，
解得，
33．（1）①，，；②；（2）
【詳解】（1）①當m=3時，y=-x2+2x+3，
當x=0時，y=3，則點C（0，3），
當y=0時，0=-x2+2x+3，
∴x1=3，x2=-1，
∴，，；
②如圖1，延長交軸于點，設，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
∴，
∴（舍），
∵在拋物線上，
∴；
（2）如圖2，
令，，，
∴，，，
設解析式為：，
聯(lián)立 ，即 ，
∴，
同理：設解析式為：，
∴，
∵，
∴的解析式為，
∴設解析式為：，
聯(lián)立，
∴，
∴，
∴即，
聯(lián)立，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
34．（1）拋物線解析式為；A（1,4）（2）①證明見解析；②當時，取得最小值16．
【詳解】解：（1）將點代入解析式，得：，
解得：，
所以拋物線解析式為；
∵直線l：經(jīng)過定點A．
∴=中當x=1時，y=4，
∴定點A為（1,4）.
（2）①證明：設點的坐標為，，點為，，（其中，，，
由，得：，
，
，
如圖2，分別過點、作軸的垂線，垂足分別為、，
則，，
、，
，
，
又，
，
，
而，
，即；
②過點作軸的垂線交直線于點，則點的坐標為，
所以，
，
當時，取得最小值16．
35．(1)① M（1，），N（1，3）； ②見解析;(2)見解析.
【詳解】解：（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴頂點M的坐標為（1，），
當x＝1時，y＝﹣1+4＝3，
∴點N的坐標為（1，3）；
②不存在．理由如下：
MN＝﹣3＝，
設點P 的坐標為（m，﹣m+4），則D（m，﹣m2+m+4），
PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵PD∥MN．
∴當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，
即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴點P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝≠MN，
∴平行四邊形MNPD不是菱形，
即：不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；
（2）①當∠BDP＝90°時，點P（2，2），則四邊形BOCD為矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+4；
②當∠PBD＝90°時，△PBD為等腰直角三角形，
則PD＝2xP＝4，
∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），
把A、B、D坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，
故：二次函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+3x+4．

相關試卷

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與特殊的三角形綜合 壓軸練習題（含答案解析）：

這是一份2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與特殊的三角形綜合 壓軸練習題（含答案解析），共62頁。

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與角度問題 強化壓軸練習題（含答案解析）：

這是一份2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與角度問題 強化壓軸練習題（含答案解析），共61頁。試卷主要包含了已知，拋物線與軸交于點等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025年中考數(shù)學考前沖刺：圓的切線的證明 壓軸練習題（含答案解析）：

這是一份2025年中考數(shù)學考前沖刺：圓的切線的證明 壓軸練習題（含答案解析），共30頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)解答壓軸題 強化練習題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)解答壓軸題 強化練習題（含答案解析）
2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)綜合壓軸題 強化練習題（含答案）

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)綜合壓軸題 強化練習題（含答案）
2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與面積問題 壓軸練習題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與面積問題 壓軸練習題（含答案解析）
2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與最值綜合 壓軸練習題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學考前沖刺：二次函數(shù)與最值綜合 壓軸練習題（含答案解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部