(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
2．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，分別交、于點(diǎn)E、F．
(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若，，求陰影部分的面積（結(jié)果保留）．
3．如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：是的切線；
(2)連接，若，，求的長．
4．如圖，AB為的直徑，為上一點(diǎn)，，AD交于，且，連接．
(1)求證：CD是的切線；
(2)為上一點(diǎn)，連接，若，，，求的半徑．
5．如圖，中，，以為直徑作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．
(1)求證：為的切線；
(2)若半徑為5，，求的長．
6．如圖，四邊形內(nèi)接于，BD為直徑，過點(diǎn)A作垂直CD交其延長線于點(diǎn)E，平分．
(1)求證：是的切線：
(2)若，，求AB的長．
7．如圖，AB是的直徑，是弦，是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)，是AB延長線上的一點(diǎn)，且．
(1)求證：CF為的切線；
(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)，連接．若，，求的長．
8． 如圖， 中， ，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)．
(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法） ；
(2)若（1）中所作的垂直平分線與邊AB交于點(diǎn)，連接．求證：是的切線．
9．如圖，點(diǎn)O為圓心，為半圓的直徑，在上取一點(diǎn)C，延長至點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑為3，求的長．
10．如圖中，，AD平分，AD交于點(diǎn)，點(diǎn)在AB上，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求證：直線是的切線；
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
11．如圖，已知是的直徑，是的弦，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，且，延長交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若半徑為，，求的長．
12．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．
(1)求證：是的外接圓的切線；
(2)若，，求的長．
13．如圖，在中，，以為直徑的與底邊AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為E．
(1)求證：DE為的切線；
(2)若，，求的長．（結(jié)果保留π）
14．如圖，是的直徑，A是延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，，交的延長線于點(diǎn)C，交于點(diǎn)F，且點(diǎn)E是的中點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
15．如圖，為的直徑，點(diǎn)C在外，的平分線與交于點(diǎn)D，．
(1)與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；
(2)若，求的長．
16．如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．
(1)求證：為的切線．
(2)若的半徑為，，則________．
17．如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑為5，則的長為________．
18．如圖，是的直徑，的半徑為2，M是的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)E．
(1)連接，求陰影部分的面積；
(2)求證：與相切．
《2025年1月25日初中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案
1．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，，根據(jù)是的直徑，得出，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，即可得出，即可證明是的切線．
（2）根據(jù)勾股定理求出，在三角形中和三角形中根據(jù)勾股定理求出，即，求出，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，，
是的直徑，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
．
于點(diǎn)，
又點(diǎn)在上，
是的切線．
（2）解：，，，
，
在中，在中，
，
，
解得：，
，，
的半徑為．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
2．(1)直線與的位置關(guān)系是相切，理由見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定定理、扇形面積、勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）連接，證明，得出，即，即可得證；
（2）設(shè)，則，由勾股定理得出，解直角三角形得出，再根據(jù)計算即可得解．
【詳解】（1）解：直線與的位置關(guān)系是相切，理由如下：
如圖，連接，
，
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵為半徑，
∴直線與相切；
（2）解：設(shè)，則，
由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．(1)見解析；
(2)．
【分析】（1）連接，則，所以，由，得，則，所以，則，即可證明是的切線；
（2）連接，延長交于點(diǎn)H，可證明四邊形是矩形，由， ，，，得，，則，求得，則，所以．
【詳解】（1）證明：連接，則，
，
，
，
，
，
于點(diǎn)E，
，
是的半徑，且，
是的切線；
（2）解：連接，延長交于點(diǎn)H，
是的直徑，
，
由（1）知：，
∴四邊形是矩形，
，，
∴，
是的半徑，,
∴，
， ，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的長為．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．(1)見解析；
(2)．
【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可證，即可得CD是的切線；
延長交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證，根據(jù)垂徑定理可得，利用勾股定理可求，在根據(jù)勾股定理
即可求出圓的半徑．
【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
CD是的切線；
（2）解：如下圖所示，延長交于點(diǎn)，
，
，
，
，
設(shè)，
則，
，
，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求半徑的長 ．
5．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，推出，進(jìn)而得到，即可證明得到結(jié)論；
（2）證明和是等邊三角形，從而得出，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半徑，
為的切線；
（2）解：半徑為5，
，，
，，
是等邊三角形，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
在中，，，
∴，
∴
．
6．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出，進(jìn)而得出，證得，從而證得，即可證得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，從而證得四邊形是矩形，得出，證明，求出，在中，求出，再證明，推出，即可求得的長．
【詳解】（1）證明：連接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：過點(diǎn)O作于F．
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵是的直徑，
∴，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∵是的直徑，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．
7．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了切線的判定，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，．由，，可得，由是的直徑，是的中點(diǎn)，，進(jìn)而可得，即可證明CF為的切線；
（2）連接，過作，垂足為．利用相似三角形的性質(zhì)求出，設(shè)的半徑為，則．在中，勾股定理求得，證明，得出，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求得．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直徑，是的中點(diǎn)，則，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴CF為的切線．
（2）解：如圖，連接，過作，垂足為．
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得，
設(shè)的半徑為，則．
解之得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵為BD中點(diǎn)，
∴．
∴，．
∴．
∴．
8．(1)作圖見解析
(2)證明見解析
【分析】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、線段的垂直平分線的作法與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理，掌握作圖方法和添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
（1）利用線段垂直平分線的基本作圖的作法解答即可；
（2）連接，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得到，再利用圓的切線的判定定理解答即可．
【詳解】（1）作圖如下：即為線段的垂直平分線．
（2）證明：連接，如圖：
∵為線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線．
9．(1)見解析
(2)6
【分析】本題考查了切線的判定，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：
（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，即，根據(jù)等邊對等角得出，結(jié)合已知可得到，根據(jù)切線的判定定理得到答案；
（2）根據(jù)切線的判定和切線長定理得到，在中，根據(jù)勾股定理得到，在中，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，
∵為直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
即，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，
∴是的切線，
又是的切線，
∴，
在中，，，，
∴，
設(shè)，則，
在中，，，
∴，
∴，
解得，
即．
10．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，由平分，可知，易證，所以，所以，由于，所以，從而可證直線是的切線；
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)可求出的長度，然后求出的度數(shù)，然后根據(jù)扇形的面積公式即可求出答案．
【詳解】（1）證明：連接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半徑，
直線是的切線；
（2）解：由，，，
得：，，，
，
，
，
，
由，得，


．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定，涉及角平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，扇形面積公式等，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．
11．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟．
（1）根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，易得，根據(jù)，得出，則，即可求證是的切線；
（2）根據(jù)題意得，，結(jié)合正弦函數(shù)得出，，求出，則，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，則，
∴，即，
∴是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∵半徑為3，
∴，
∵是的切線，
∴，則，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
根據(jù)勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴根據(jù)勾股定理可得：．
12．(1)見解析
(2)3
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由，根據(jù)圓周角定理可得為的外接圓的直徑，點(diǎn)為的外接圓的圓心，再證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是可根據(jù)切線的判定定理判斷即可求解．
（2）設(shè)的半徑為，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)平行線分線段成比例定理來求解．
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖，
，
，
為的外接圓的直徑，點(diǎn)為的外接圓的圓心．
平分，
．
，
，
，
，
，
，
是的外接圓的切線．
（2）解：設(shè)的外接圓的半徑為
在中，
，
即，
解得．
，
，
即，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可，也考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理，圓周角定理．
13．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查的是切線的判定，弧長的計算，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的定義及性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
（1）首先連接，由圓周角定理得出，再由等腰三角形的性質(zhì)確定，利用三角形中位線的性質(zhì)及切線的判定即可證明；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)求解 再利用圓周角定理得出 ，結(jié)合 由弧長公式直接求解的長即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵為直徑，
∴， 即，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴，
∵D點(diǎn)在上，
∴DE為的切線；
（2）




．
14．(1)見解析
(2)2.5
【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對等角，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的判定．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)同圓中，等弧所對的圓周角相等得出，根據(jù)等邊對等角得出，推得，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得出，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出，即可證明；
（2）設(shè)半徑為r，根據(jù)勾股定理可得，據(jù)此列出方程，解方程求出r即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又于點(diǎn)C，
∴于點(diǎn)E，
∵是的半徑，
∴為的切線
（2）解：設(shè)半徑為r，
在中，，
∴（，
解得：
即⊙O的半徑為2.5．
15．(1)相切，見解析
(2)
【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形：
（1）連接，則，等邊對等角得到，角平分線得到，進(jìn)而得到，推出，得到，即可得出結(jié)論；
（2）直徑所對的圓周角為直角，得到，易得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：與相切，理由如下：
連接，則，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴與相切．
（2）∵是的直徑，
∴，
∵
∴，
又∵在中，
，
∴．
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先利用圓周角定理得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，連接，證為的中位線，則，從而得到，即可證明；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，由，和度所對的直角邊為斜邊的一半，可得，再根據(jù)勾股定理可得的值，最后由，可得的值．
【詳解】（1）證明：∵為直徑，
∴，
∵，
∴；
連接，如圖，
∵，，
∴為的中位線，
∴，
∵，
∴，
∴為的切線；
（2）解：∵，，，
∴，
又∵的半徑為，
∴，
∴，
∴，
∴，即
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，度所對的直角邊為斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，中位線，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
17．(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖，連接、，由是直徑，可得，則，是的中位線，，由，可得，進(jìn)而結(jié)論得證；
（2）由題意知，，由是等腰三角形，且，可得，由勾股定理得，利用等積法，計算求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接、，
∵是直徑，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴是的中位線，
∴，
∵，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵的半徑是5，
∴，
∵是等腰三角形，且，
∴，
由勾股定理得，
∵，即，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，中位線定理，切線的判定，勾股定理等知識．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．
18．(1)
(2)見詳解
【分析】（1）根據(jù)已知條件，易證是等邊三角形，繼而求出的面積和扇形的面積，即可求解；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易證，繼而證明，即可證得與相切．
【詳解】（1）解：M是的中點(diǎn)，，
為的垂直平分線，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
陰影部分的面積；
（2）由（1）知是等邊三角形，,
，
又，
，
，
，
，
，
是半徑，
與相切．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，平行線的判定定理和性質(zhì)定理，切線的判定定理等知識點(diǎn)，熟練掌握并靈活應(yīng)用這些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．

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