題型一：直線與橢圓的位置關系
題型二：橢圓的弦
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：直線與雙曲線的位置關系
題型五：雙曲線的弦
題型六：雙曲線的綜合問題
題型七：直線與拋物線的位置關系
題型八：拋物線的弦
題型九：拋物線的綜合問題
【知識點梳理】
知識點一：直線與橢圓的位置關系
平面內點與橢圓的位置關系
橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點M（x，y），
若點M（x，y）在橢圓上，則有；
若點M（x，y）在橢圓內，則有；
若點M（x，y）在橢圓外，則有.
直線與橢圓的位置關系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；
②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；
③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．
直線與橢圓的相交弦
設直線交橢圓于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
知識點三、直線與雙曲線的位置關系
直線與雙曲線的位置關系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．
直線與雙曲線的相交弦
設直線交雙曲線于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
雙曲線的中點弦問題
遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.
在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；
涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.
解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.
知識點四、直線與拋物線的位置關系
直線與拋物線的位置關系
將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；
若
①Δ＞0 直線和拋物線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．
直線與拋物線的相交弦
設直線交拋物線于點兩點，則
==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
拋物線的焦點弦問題
已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
焦點弦長
②
③，其中|AF|叫做焦半徑，
④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。
【典例例題】
題型一：直線與橢圓的位置關系
【例1】（2023·江西吉安·高二?？计谥校┲本€與橢圓的位置關系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
【對點訓練1】（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【對點訓練2】（2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考階段練習）若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對點訓練3】（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）曲線與直線的公共點的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
題型二：橢圓的弦
【例2】（2023·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？奸_學考試）過橢圓：的右焦點且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長為______
【對點訓練4】（2023·內蒙古包頭·高二包頭市第六中學?？计谀┮阎獧E圓的左焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點，則__________．
【對點訓練5】（2023·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學?？茧A段練習）是過橢圓右焦點的弦，則弦長的最小值為______
【對點訓練6】（2023·上海金山·高二上海市金山中學校考期末）已知橢圓，斜率為1的直線過點其左焦點，且與橢圓交于、兩點，則弦長_____．
【對點訓練7】（2023·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谥校┮阎獧E圓被直線截得的弦長為6，則直線①②③④⑤中被橢圓截得的弦長也是6的直線有__________.（填上直線的代號）
題型三：橢圓的綜合問題
【例3】（2023·江蘇·高二專題練習）設橢圓過點.
(1)求C的標準方程；
(2)若過點且斜率為的直線l與C交于M，N兩點，求線段中點P的坐標.
【對點訓練8】（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓，一組平行直線的斜率是1．
(1)這組直線與橢圓有公共點時縱截距的取值范圍；
(2)當它們與橢圓相交時，求這些直線被橢圓截得的線段的中點所在的直線方程．
【對點訓練9】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二?？计谥校┮阎獧E圓的中心在原點，一個焦點為，且長軸長與短軸長的比是.
(1)求橢圓的方程；
(2)設點，點是橢圓上任意一點，求的最大值.
【對點訓練10】（2023·廣東佛山·高二南海中學?？茧A段練習）給定橢圓，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍，
【對點訓練11】（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎獧E圓.
(1)若直線與橢圓相交于兩點，橢圓內一點是線段的中點，求直線的方程；
(2)已知分別為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的一個動點，求直線的斜率與直線的斜率之積.
【對點訓練12】（2023·湖南張家界·高二慈利縣第一中學校考期中）已知橢圓C：的左右頂點分別為，，右焦點為，點在橢圓上.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)為橢圓上不與重合的任意一點，直線分別與直線相交于點，求證：.
題型四：直線與雙曲線的位置關系
【例4】（2023·安徽合肥·高二?？计谀┲本€與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（ ）
A．或B．
C．D．
【對點訓練13】（2023·四川宜賓·高二?？茧A段練習）若直線與曲線有且只有一個交點，則滿足條件的直線有（ ）
A．條B．條C．條D．條
【對點訓練14】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎本€，若雙曲線與均無公共點，則可以是（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓練15】（2023·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的位置關系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
題型五：雙曲線的弦
【例5】（2023·江蘇連云港·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的弦．則的長是________．
【對點訓練16】（2023·高二課時練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．
【對點訓練17】（2023·高二課時練習）已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點，則截得的弦長________.
【對點訓練18】（2023·高二課時練習）過雙曲線的右焦點的直線被雙曲線所截得的弦長為，這樣的直線有____條．
【對點訓練19】（2023·上海寶山·高二上海交大附中校考階段練習）過雙曲線的左焦點作弦，使，則這樣的直線的條數(shù)為______.
題型六：雙曲線的綜合問題
【例6】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習）雙曲線C的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線C的一條準線方程為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若雙曲線C的一弦中點為，求此弦所在的直線方程.
【對點訓練20】（2023·全國·高二專題練習）已知定點，，動點到兩定點、距離之差的絕對值為．
（1）求動點對應曲線的軌跡方程；
（2）過點作直線與曲線交于、兩點，若點恰為的中點，求直線的方程．
【對點訓練21】（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線，雙曲線的漸近線過點，且雙曲線過點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若雙曲線的左右頂點分別為，，點在上且直線斜率的取值范圍是，求直線的斜率的取值范圍．
【對點訓練22】（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知雙曲線，是上的任意點.
（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（2）設點的坐標為，求的最小值.
【對點訓練23】（2023·新疆喀什·高二?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，動點M滿足|| MF? | -| MF?|| =4.
(1)求動點M的軌跡C的方程：
(2)已知點A(-2，0)，B(2，0)，當點M與A，B不重合時，設直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.
【對點訓練24】（2023·四川·高二四川省科學城第一中學?？计谥校┮阎p曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為且過點
(1)求雙曲線方程；
(2)若過斜率的直線與該雙曲線相交于M，N兩點，且雙曲線與對應的頂點為T.試探討直線MT與直線NT的斜率之積是否為定值.若是定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.
【對點訓練25】（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學?？茧A段練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為雙曲線在第一象限的點，的內切圓與x軸交于點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設圓上任意一點Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點M、N，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
題型七：直線與拋物線的位置關系
【例7】（2023·高二課時練習）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條
D．1條、2條或3條
【對點訓練26】（2023·高二校考單元測試）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線（ ）
A．有且只有一條
B．有且只有兩條
C．有且只有三條
D．有且只有四條
【對點訓練27】（2023·江西·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線：與圓：交于，兩點，且.現(xiàn)有如下3條直線：①：；②：；③：，則與拋物線只有1個交點的直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【對點訓練28】（2023·陜西榆林·高二?？计谥校┲本€與拋物線只有一個公共點，則的值為（ ）
A．1B．9C．1或0D．1或3
【對點訓練29】（2023·河北邯鄲·高二?？计谥校┻^點作直線與拋物線相交，恰好有一個交點，則符合條件的直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
題型八：拋物線的弦
【例8】（2023·高二課時練習）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F作弦AB，其所在直線的傾斜角為，則|AB|等于（ ）
A．B．4pC．6pD．8p
【對點訓練30】（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，若線段中點的橫坐標為，則（ ）
A．B．C．D．
【對點訓練31】（2023·陜西西安·高二長安一中校考期末）設經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標為，則（ ）
A．B．C．D．
【對點訓練32】（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）已知拋物線焦點為，是上一點，為坐標原點，若的面積為，則（ ）
A．B．3C．D．4
【對點訓練33】（2023·廣西南寧·高二?？茧A段練習）過點作斜率為2的直線，交拋物線于兩點，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
【對點訓練34】（2023·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學?？茧A段練習）已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（ ）
A．32B．C．D．8
【對點訓練35】（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于A（點A在第二象限），兩點，則（ ）
A．B．C．4D．5
題型九：拋物線的綜合問題
【例9】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學校考期末）已知拋物線C：的焦點為F，第四象限的一點，且．
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直線l交C于A，B兩點，且線段中點的坐標為，求直線l的方程
【對點訓練36】（2023·河南焦作·高二溫縣第一高級中學?？茧A段練習）已知拋物線的準線方程為，過其焦點F的直線l交拋物線C于A、B兩點，線段AB的中點為M，坐標原點為O，且直線OM的斜率為.
(1)求實數(shù)p的值；
(2)求的面積.
【對點訓練37】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知直線l與拋物線C：交于A，B兩點．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，線段AB中點的縱坐標為2，求AB的長；
(2)若直線l經(jīng)過點，求的值．
【對點訓練38】（2023·江蘇·高二專題練習）已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．
(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；
(2)設直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．
【對點訓練39】（2023·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為、為拋物線上兩個不同的動點，當過且與軸平行時的面積為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）分別過作垂直于軸，若，求與軸的交點的橫軸標的取值范圍．
【對點訓練40】（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，記其焦點為.設直線：，在該直線左側的拋物線上的一點P到直線的距離為，且.
(1)求的方程；
(2)如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若分別交于兩點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.
【對點訓練41】（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）已知是拋物線的焦點，過焦點的直線交拋物線于不同的兩點，，設，為的中點，則到軸的距離為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）過點作直線l與雙曲線交于點A，B，若P恰為AB的中點，則直線l的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．不能確定
3．（2023·湖北荊州·高二沙市中學?？计谀┤魭佄锞€圖像上一點到直線距離的最小值為，則（ ）
A．B．8C．8或D．
4．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）若直線與橢圓交于兩點，且，則點的坐標可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·四川達州·高二統(tǒng)考期末）直線上兩點到直線的距離分別等于它們到的距離，則（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．（2023·山東臨沂·高二臨沂第三中學?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，，是上的動點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．離心率B．的最大值為
C．的面積的最大值為D．的最小值為
7．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知直線過雙曲線的左焦點，且與C的漸近線平行，則l的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·福建莆田·高二莆田一中?？计谀┓▏鴶?shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若圓上存在點，使得過點可作兩條互相垂直的直線與橢圓相切，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的兩個焦點為是橢圓上的動點，且的面積最大值是，則下列結論中正確的是（ ）
A．橢圓的離心率是
B．若是左，右端點，則的最大值為
C．若點坐標是，則過的的切線方程是
D．若過原點的直線交于兩點，則
10．（2023·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的周長為16
C．的面積為D．
11．（2023·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）設雙曲線，其離心率為，虛軸長為，則（ ）
A．上任意一點到的距離之差的絕對值為定值
B．雙曲線與雙曲線：共漸近線
C．上的任意一點（不在軸上）與兩頂點所成的直線的斜率之積為
D．過點作直線交于兩點，不可能是弦中點
12．（2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為F，點P在準線上，過點F作PF的垂線且與拋物線交于A，B兩點，則（ ）
A．最小值為2B．若，則
C．若，則D．若點P不在x軸上，則
三、填空題
13．（2023·江西九江·高二德安縣第一中學?？计谥校┻^拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，則的值是________．
14．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）已知是雙曲線的右焦點，直線與雙曲線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.
15．（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知點分別為橢圓的左、右焦點，是坐標原點，點在橢圓上，是面積為的等邊三角形，則的值是___________.
16．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學?？计谀╇p曲線的左、右焦點分別為，已知焦距為8，離心率為2，過右焦點作垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于兩點，則_____．
四、解答題
17．（2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學?？茧A段練習）已知橢圓E：的離心率為，且過點.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線m過橢圓E的右焦點和上頂點，直線l過點且與直線m平行.設直線l與橢圓E交于A，B兩點，求AB的長度.
18．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，點F到拋物線準線距離為4．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)已知的三個頂點都在拋物線E上，頂點，重心恰好是拋物線E的焦點F．求所在的直線方程．
19．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，點P為拋物線上動點，點為拋物線內的一個定點，已知最小值為5．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)已知的三個頂點都在拋物線E上，頂點，重心恰好是拋物線E的焦點F．求所在的直線方程．
20．（2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┤魴E圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)不過原點O的直線與橢圓E交于A、B兩點，求面積的最大值以及此時直線l的方程．
21．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？计谥校┮阎p曲線的漸近線為，拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且，拋物線交雙曲線的兩條漸近線于O，A，B三點．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求的面積．
22．（2023·江蘇南通·高二期末）拋物線的焦點，過C的焦點F斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，的面積為
(1)求拋物線C的方程；
(2)若P為C上位于第一象限的任一點，直線l與C相切于點P，連接PF并延長交C于點M，過P點作l的垂線交C于另一點N，求面積S的最小值．

相關試卷

蘇教版高二數(shù)學寒假講義第11講 圓與圓的位置關系（七大題型）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份蘇教版高二數(shù)學寒假講義第11講 圓與圓的位置關系（七大題型）（2份，原卷版+解析版），文件包含蘇教版高二數(shù)學寒假講義第11講圓與圓的位置關系七大題型原卷版doc、蘇教版高二數(shù)學寒假講義第11講圓與圓的位置關系七大題型解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

蘇教版高二數(shù)學寒假講義第10講 直線與圓的位置關系（十三大題型）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份蘇教版高二數(shù)學寒假講義第10講 直線與圓的位置關系（十三大題型）（2份，原卷版+解析版），文件包含蘇教版高二數(shù)學寒假講義第10講直線與圓的位置關系十三大題型原卷版doc、蘇教版高二數(shù)學寒假講義第10講直線與圓的位置關系十三大題型解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共50頁， 歡迎下載使用。

蘇教版高二數(shù)學寒假講義第05講 五種直線方程（九大題型）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份蘇教版高二數(shù)學寒假講義第05講 五種直線方程（九大題型）（2份，原卷版+解析版），文件包含蘇教版高二數(shù)學寒假講義第05講五種直線方程九大題型原卷版doc、蘇教版高二數(shù)學寒假講義第05講五種直線方程九大題型解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

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