知識點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立
（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
，
橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．
（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時，
特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標(biāo)來記憶．
拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時，
注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．
總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等常考內(nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑?br>知識點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理
與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．
（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；
焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．
知識點(diǎn)三、弦長公式
設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡，得
（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時，；
（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．
（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．
（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會更加簡單．
（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長公式．
知識點(diǎn)四、已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程
（1）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以，即，故
（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點(diǎn)，則；若曲線是拋物線，則．
題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例1．若直線被圓所截的弦長不小于2，則l與下列曲線一定有公共點(diǎn)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為.設(shè)直線方程為，直線到圓心的距離為，由弦長公式得，所以.由點(diǎn)到直線的距離公式得，，即.對于選項(xiàng)A，直線到該圓圓心的距離為，取，滿足條件，而，直線與圓沒有公共點(diǎn)，故A排除；
對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，對于直線有，，，聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點(diǎn)；當(dāng)時，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，所以必有公共點(diǎn)；故B正確；
對于選項(xiàng)C，聯(lián)立直線與拋物線方程得，若時，則，有解；
若時，，取，則，方程無解，此時無公共點(diǎn)，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D，當(dāng)時，對于直線有，，，聯(lián)立雙曲線方程得，
取，則直線：，與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.
故選：B.
例2．給出下列曲線方程：①；②；③；④．其中與直線有交點(diǎn)的所有曲線方程是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
【答案】D
【解析】直線和的斜率都是，兩直線平行，不可能有交點(diǎn)；
把直線與聯(lián)立消去得，，直線與②中的曲線有交點(diǎn)；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與③中的曲線有交點(diǎn)；把直線與聯(lián)立消去得，，直線與④中的曲線有交點(diǎn)．故選：D．
變式1．命題p：直線與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，命題q：直線與拋物線相切，則命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．非充分非必要條件
【答案】C
【解析】∵拋物線的對稱軸為軸，∴一條直線與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與軸垂直，∵直線存在斜率，與軸不垂直，∴“直線與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)”等價于“直線與拋物線相切”，則命題p是命題q的充要條件.故選：C.
變式2．過點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】B
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個交點(diǎn)．不滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，消得，，當(dāng)時，解得，直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，由，可得，即當(dāng)時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條．故選：B.
【解題方法總結(jié)】
（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn)，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．
（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．
題型二：中點(diǎn)弦問題
方向1：求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；
例3．過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是
【答案】
【解析】橢圓即，設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為,，,，則，
則，，兩式作差可得：，．
直線過點(diǎn)，這條弦所在直線的方程是，即．
故答案為：．
例4．已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為 ．
【答案】
【解析】取中點(diǎn)，連接,由于,所以,進(jìn)而 ,
設(shè)，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，
由于是圓的切線，所以,所以，
令 則，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ，
設(shè),則，兩式相減可得，
所以 ,又，,所以，解得，進(jìn)而 故直線l的方程為，即，故答案為：
變式3．拋物線：與直線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的斜率為 .
【答案】
【解析】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
則，可得，即，即
又，所以.故答案為：.
變式4．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，所以易得拋物線的方程為，
設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，則，由，
兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．
故答案為：.
方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；
變式5．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
由題意知，則，∴點(diǎn)的軌跡方程為．
又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴，解得：，故答案為：.
變式6．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，弦過點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設(shè)，中點(diǎn)，則，相減得，斜率存在時，∴，又是中點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，所以，化簡得，斜率不存在時，方程為，中點(diǎn)為適合上述方程．∴點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：．
方向3：斜率之積問題
變式7．已知斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)椋?故選：D.
變式8．已知直線過橢圓C；的一個焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，兩式作差得
所以若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點(diǎn)共線，
即，所以，又過點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)，所以
解得，所以C的方程為故選：C
【解題方法總結(jié)】
直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點(diǎn)問題．這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）對稱問題，但凡涉及到弦的中點(diǎn)斜率的問題．首先要考慮是點(diǎn)差法．
即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)在曲線上，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結(jié)論：
在橢圓中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿足．
在雙曲線中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿足．（其中為原點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線的斜率）．
在拋物線中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿足（為中點(diǎn)縱坐標(biāo)）．
題型三：弦長問題
例5．已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線，直線與圓相切，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，所以，因?yàn)椋?，由對稱性，不妨取，，故答案為：.
例6．已知橢圓，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長為 ．
【答案】
【解析】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
在弦長有關(guān)的問題中，一般有三類問題：
（1）弦長公式：．
（2）與焦點(diǎn)相關(guān)的弦長計算，利用定義；
（3）涉及到面積的計算問題．
題型四：面積問題
方向1：三角形問題
例7．設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，且焦距為.點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的方程為：，過點(diǎn)作垂直于直線，交于點(diǎn).求面積的最大值.
【解析】（1）由題意知：，，設(shè)，
則，，
又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）設(shè)直線，，則，
由得：，顯然，，，
，又，直線方程為：，
令，則，直線過定點(diǎn)；
而，
則，
令，有在上單調(diào)遞增，則，即時 ，取最小值4，于是當(dāng)時，，所以面積的最大值是.
圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．
方向2：四邊形問題
例9．類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時，，利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)椋?br>，代入橢圓得：，點(diǎn)的軌跡方程為：.
（2）設(shè)，由（1）則，
①當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸重合時，由，知為中點(diǎn)，
，直線：，
代入橢圓：的方程得：
即：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，
，
設(shè)表示點(diǎn)到直線的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，
；
它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.
②當(dāng)直線與坐標(biāo)軸重合時，不妨取，，，
或，，，.
綜上所述：四邊形的面積是.
【解題方法總結(jié)】
三角形的面積處理方法：底·高（通常選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高）
四邊形或多個圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)（尤其是有平行條件的時候），可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計算量．特殊的，對角線互相垂直的四邊形，面積=對角線長度乘積的一半．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 隨堂檢測
1.已知點(diǎn)和雙曲線，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有（ ）
A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條
【答案】A
【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).
①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，合乎題意；
②若直線的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn).
若直線的斜率為，則直線的方程為，此時直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.
綜上所述，過點(diǎn)與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線共有條.故選：A.
2.已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．
3.過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線（為原點(diǎn)）的斜率為，則等于（ ）.
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，由于在橢圓上，
所以，兩式相減并化簡得，即.故選：D
4.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則 ．
【答案】
【解析】由拋物線定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，
所以，即.故答案為：
5.已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為 .
【答案】
【解析】設(shè)，則兩式相減得，
由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，.故答案為：
6.雙曲線的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線方程為 .
【答案】
【解析】由雙曲線的對稱性可得此弦所在的直線斜率存在，設(shè)弦的兩端分別為，，
則有，兩式相減得，所以，
又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，故直線斜率，
則所求直線方程為，整理得，由得，
，故該直線滿足題意，故答案為：
7.斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】(或).
【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點(diǎn)為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點(diǎn)為，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).
故答案為：(或)
8.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】已知橢圓，，則，所以橢圓的左焦點(diǎn)為,
因?yàn)橹本€傾斜角為，所以直線的斜率，則直線的方程為.聯(lián)立，消去，整理得，解得．．
故答案為：.

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