?第15講 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系
【題型歸納目錄】
題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系
題型二：橢圓的弦
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系
題型五：雙曲線的弦
題型六：雙曲線的綜合問題
題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系
題型八：拋物線的弦
題型九：拋物線的綜合問題
【知識點梳理】
知識點一：直線與橢圓的位置關(guān)系
平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系
橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點M（x，y），
若點M（x，y）在橢圓上，則有；
若點M（x，y）在橢圓內(nèi)，則有；
若點M（x，y）在橢圓外，則有.
直線與橢圓的位置關(guān)系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；
②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；
③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．
直線與橢圓的相交弦
設(shè)直線交橢圓于點兩點，則

==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：


知識點三、直線與雙曲線的位置關(guān)系
直線與雙曲線的位置關(guān)系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.

若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．
直線與雙曲線的相交弦
設(shè)直線交雙曲線于點兩點，則

==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：


雙曲線的中點弦問題
遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.
在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；
涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化，同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.
解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.
知識點四、直線與拋物線的位置關(guān)系
直線與拋物線的位置關(guān)系
將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.

若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；
若
①Δ＞0 直線和拋物線相交，有兩個交點；
②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；
③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．
直線與拋物線的相交弦
設(shè)直線交拋物線于點兩點，則

==
同理可得
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：


拋物線的焦點弦問題
已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
① 焦點弦長
②
③ ②
③，其中|AF|叫做焦半徑，
④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。
【典例例題】
題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系
【例1】（2023·江西吉安·高二校考期中）直線與橢圓的位置關(guān)系是（ ??? ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】C
【解析】聯(lián)立，
則
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以直線與橢圓相交
故選：C.
【對點訓練1】（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（????）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【解析】對于直線，整理得，
令，解得，
故直線過定點.
∵，則點在橢圓C的內(nèi)部，
所以直線l與橢圓C相交.
故選：A.
【對點訓練2】（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學?？茧A段練習）若直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則n的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線恒過定點，若直線與橢圓總有公共點，
則定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，，解得或，
又表示焦點在軸上的橢圓，故，，
故選：C.
【對點訓練3】（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）曲線與直線的公共點的個數(shù)為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當時，曲線的方程為，表示橢圓的上半部分含與軸的交點，此時曲線與的交點為(0,3),(4,0),
當時，曲線的方程為，表示雙曲線在軸下方的部分，
其一條漸近線方程為：，故直線與無交點，
曲線與直線的公共點的個數(shù)為.
故選：B
題型二：橢圓的弦
【例2】（2023·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？奸_學考試）過橢圓：的右焦點且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長為______
【答案】/
【解析】由橢圓：，可得右焦點.
設(shè)此直線與橢圓相交于點，
直線方程為：.
聯(lián)立，
可得，
，.
.
故答案為：.
【對點訓練4】（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二包頭市第六中學?？计谀┮阎獧E圓的左焦點為，過點且傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點，則__________．
【答案】
【解析】已知橢圓，，則，
所以橢圓的左焦點為,
因為直線傾斜角為，所以直線的斜率，則直線的方程為.
聯(lián)立，消去，整理得，
解得．．
故答案為：.
【對點訓練5】（2023·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學?？茧A段練習）是過橢圓右焦點的弦，則弦長的最小值為______
【答案】/
【解析】由題可知，的坐標為，
若直線的斜率為零，易知；
若直線的斜率不為零，設(shè)其為，聯(lián)立橢圓方程，
可得：，顯然，
設(shè)兩點的坐標分別為，
則，
則
，
因為，則，，
，即當直線的斜率不為零時，；
綜上所述，，故弦長的最小值為.
故答案為：.
【對點訓練6】（2023·上海金山·高二上海市金山中學?？计谀┮阎獧E圓，斜率為1的直線過點其左焦點，且與橢圓交于、兩點，則弦長_____．
【答案】
【解析】橢圓方程為，所以，
所以，所以直線的方程為，
由消去并化簡得，
設(shè)，所以，
所以.
故答案為：
【對點訓練7】（2023·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谥校┮阎獧E圓被直線截得的弦長為6，則直線①②③④⑤中被橢圓截得的弦長也是6的直線有__________.（填上直線的代號）
【答案】①③⑤
【解析】因為橢圓被直線截得的弦長為6，
根據(jù)題意可畫出橢圓與直線的大致圖象，

根據(jù)橢圓的對稱性結(jié)合圖象可得，，，被橢圓截得的弦長也是6，
，被橢圓截得的弦長不是6，
即①③⑤適合題意.
故答案為：①③⑤.
題型三：橢圓的綜合問題
【例3】（2023·江蘇·高二專題練習）設(shè)橢圓過點.
(1)求C的標準方程；
(2)若過點且斜率為的直線l與C交于M，N兩點，求線段中點P的坐標.
【解析】（1）因橢圓過點，
則有，解得，
所以橢圓C的標準方程為：.
（2）依題意，直線l的方程為：，由消去y并整理得：，
顯然，設(shè)，則，
因此線段中點P的橫坐標，其縱坐標，
所以線段中點P的坐標為.
【對點訓練8】（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓，一組平行直線的斜率是1．
(1)這組直線與橢圓有公共點時縱截距的取值范圍；
(2)當它們與橢圓相交時，求這些直線被橢圓截得的線段的中點所在的直線方程．
【解析】（1）設(shè)平行直線的方程為，
將代入，整理得：，
因為直線與橢圓有公共點，
所以，解得：；
（2）令交點坐標分別為，由（1）知：，
而，所以線段中點坐標為，
又知當時，中點為坐標原點，故直線的斜率為，
∴所在的直線方程：.
【對點訓練9】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二?？计谥校┮阎獧E圓的中心在原點，一個焦點為，且長軸長與短軸長的比是.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)點，點是橢圓上任意一點，求的最大值.
【解析】（1）由題意得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，則，即
，
因為的對稱軸為，所以在為減函數(shù)，
所以當時，的最大值為的最大值為.
【對點訓練10】（2023·廣東佛山·高二南海中學?？茧A段練習）給定橢圓，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍，
【解析】（1）由題意知，且，可得，
故橢圓C的方程為，其“準圓”方程為．
（2）由題意，可設(shè)、，
則有，又點坐標為，所以，，
所以
，
又，所以，
所以的取值范圍是．
【對點訓練11】（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎獧E圓.
(1)若直線與橢圓相交于兩點，橢圓內(nèi)一點是線段的中點，求直線的方程；
(2)已知分別為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的一個動點，求直線的斜率與直線的斜率之積.
【解析】（1）設(shè)，
由題意得，兩式相減得，
即，
所以直線的斜率.
因為點是線段的中點，則，
所以，
所以直線的方程為，即.
（2）設(shè)，則，所以，
∵，所以
所以直線與直線的斜率之積為定值.
【對點訓練12】（2023·湖南張家界·高二慈利縣第一中學校考期中）已知橢圓C：的左右頂點分別為，，右焦點為，點在橢圓上.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)為橢圓上不與重合的任意一點，直線分別與直線相交于點，求證：.
【解析】（1）由題知：，
將點代入方程得：，解得，
橢圓C的標準方程為.
（2）由(1)知，.
設(shè)，則，
直線的方程為，
令，則，即，
直線的方程為，
令，則，即

，即.
題型四：直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例4】（2023·安徽合肥·高二?？计谀┲本€與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】聯(lián)立，消y得，.
因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，
所以方程有一正一負根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D．
【對點訓練13】（2023·四川宜賓·高二校考階段練習）若直線與曲線有且只有一個交點，則滿足條件的直線有（????）
A．條 B．條 C．條 D．條
【答案】C
【解析】直線，即恒過點，
又雙曲線的漸近線方程為，
則點在其中一條漸近線上，
又直線與雙曲線只有一個交點，
則直線過點且平行于或過點且與雙曲線的右支相切，
即滿足條件的直線有條.
故選：C
【對點訓練14】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎本€，若雙曲線與均無公共點，則可以是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】的斜率分別是；
對A：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故曲線與有兩個公共點，不滿足題意，A錯誤；
對B：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與有兩個公共點，不滿足題意，B錯誤；
對C：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與都沒有公共點，滿足題意，C正確；
對D：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與沒有公共點，與有兩個公共點，不滿足題意，D錯誤.
故選：C.
【對點訓練15】（2023·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
【答案】B
【解析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x，從而得出直線和雙曲線位置關(guān)系，得出答案.
【解答過程】由得??整理得，；
所以，故直線和雙曲線只有一個交點；
又雙曲線的漸近線方程為：
與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個交點.
所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．
故選：B
題型五：雙曲線的弦
【例5】（2023·江蘇連云港·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的弦．則的長是________．
【答案】25
【解析】設(shè)，，雙曲線的左焦點為，
則直線的方程為，由得，，
，，則．
故答案為：25.
【對點訓練16】（2023·高二課時練習）過雙曲線的右焦點作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為______．
【答案】
【解析】雙曲線的右焦點為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，
所以．
故答案為：
【對點訓練17】（2023·高二課時練習）已知雙曲線：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線交雙曲線于，兩點，則截得的弦長________.
【答案】10
【解析】由條件可知：且，從而求出的值，從而求出雙曲線方程，則可設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線，利用弦長公式即可求出弦長的值.∵雙曲線：的一條漸近線方程是，
∴，即，∵左焦點，∴
∴，∴，，
∴雙曲線方程為，直線的方程為，
設(shè)，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案為：10.
【對點訓練18】（2023·高二課時練習）過雙曲線的右焦點的直線被雙曲線所截得的弦長為，這樣的直線有____條．
【答案】1
【解析】求得過右焦點的通徑，得到交點都在右支上的弦長最小值，根據(jù)方程求得實軸長得到交點在兩支上的弦長最小值，由此可以作出判定.依題意得右焦點，所以過F且垂直x軸的直線是，代入，得，所以此時弦長為;
當不垂直于x軸時，如果直線與雙曲線有兩個交點，則弦長一定比長．因為兩頂點間距離為，
即左右兩支上的點的最短距離是，
所以如果交于兩支的話，弦長不可能為，故只有一條．
故答案為：1.
【對點訓練19】（2023·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習）過雙曲線的左焦點作弦，使，則這樣的直線的條數(shù)為______.
【答案】2
【解析】
當直線不存在斜率時，直線方程為，此時把代入雙曲線方程中可得：，此時，這樣有兩條直線過左焦點作弦只與雙曲線左支相交，使；
直線與雙曲線左右兩支都相交時，弦的最小值為，所以過左焦點作弦與左右兩支都相交，使的直線是不存在的.
故答案為：2
題型六：雙曲線的綜合問題
【例6】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習）雙曲線C的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線C的一條準線方程為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若雙曲線C的一弦中點為，求此弦所在的直線方程.
【解析】（1）∵橢圓的焦點為，??∴
∵一條準線方程為，，解得，∴，
∴雙曲線的方程為．
（2）設(shè)弦的兩端分別為，．則有：
．
弦中點為，．
故直線的斜率．
則所求直線方程為：．
【對點訓練20】（2023·全國·高二專題練習）已知定點，，動點到兩定點、距離之差的絕對值為．
（1）求動點對應(yīng)曲線的軌跡方程；
（2）過點作直線與曲線交于、兩點，若點恰為的中點，求直線的方程．
【解析】（1）由題意知：，
故動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且，，
∴，故曲線的方程為：；
（2）設(shè)，，滿足，
兩式相減得，即，
因為點為的中點，故，
∴，即直線的斜率為，又過點，
故直線的方程為：，即．
【對點訓練21】（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線，雙曲線的漸近線過點，且雙曲線過點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若雙曲線的左右頂點分別為，，點在上且直線斜率的取值范圍是，求直線的斜率的取值范圍．
【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，
由題意可得，且，
解得，，
即有雙曲線的方程為；
（2）雙曲線的左右頂點分別為，，
設(shè)，則，
由
，
則，因為，所以，所以，所以，即直線的斜率的取值范圍為．
【對點訓練22】（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知雙曲線，是上的任意點.
（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（2）設(shè)點的坐標為，求的最小值.
【解析】（1）設(shè)，寫出點到漸近線的距離的乘積，利用點在雙曲線上化簡，得到常數(shù)；（2） ，根據(jù) 化簡，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.
試題解析：（1）設(shè)，到兩準線的距離記為、，
∵兩準線為，，
∴，
又∵點在曲線上，∴，得（常數(shù)）
即點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù) .
（2）設(shè)，由平面內(nèi)兩點距離公式得，
，
∵，可得，∴，
又∵點在雙曲線上，滿足，∴當時，有最小值，.
【對點訓練23】（2023·新疆喀什·高二?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，動點M滿足|| MF? | -| MF?|| =4.
(1)求動點M的軌跡C的方程：
(2)已知點A(-2，0)，B(2，0)，當點M與A，B不重合時，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.
【解析】（1）由橢圓知：

所以左、右焦點分別為
因為動點M滿足|| MF? | -| MF?|| =4
所以動點在以為焦點的雙曲線上，
設(shè)動點設(shè)方程為：
由雙曲線的定義得：
所以
所以動點設(shè)方程為：
（2）設(shè)
則
由

所以



所以.
【對點訓練24】（2023·四川·高二四川省科學城第一中學?？计谥校┮阎p曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為且過點
(1)求雙曲線方程；
(2)若過斜率的直線與該雙曲線相交于M，N兩點，且雙曲線與對應(yīng)的頂點為T.試探討直線MT與直線NT的斜率之積是否為定值.若是定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.
【解析】（1）由題意，可設(shè)雙曲線方程為，
又雙曲線過點，
所以，即，
故雙曲線方程為；
（2）由題知，設(shè)直線MN的方程為，且，
則由，得 ，
故??，
故直線MT和直線NT的斜率乘積即可表示為：

，
即，
故直線MT和直線NT的斜率乘積為定值且該定值為.
【對點訓練25】（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學校考階段練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為雙曲線在第一象限的點，的內(nèi)切圓與x軸交于點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)圓上任意一點Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點M、N，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
【解析】（1）如圖，設(shè)，與的內(nèi)切圓分別交于G，H兩點，
則
，
所以，則，
則雙曲線C的方程為．

（2）由題意得，切線l的斜率存在．
設(shè)切線l的方程為，，．
因為l與圓相切，所以，即．
聯(lián)立消去y并整理得，
所以，．
又




．
又



，
將代入上式得．
綜上所述，為定值，且．

題型七：直線與拋物線的位置關(guān)系
【例7】（2023·高二課時練習）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（????）
A．1條 B．2條 C．3條
D．1條、2條或3條
【答案】C
【解析】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，
整理可得，
直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數(shù)根，
當時，方程為僅有一解，符合題意；
當時，一元二次方程僅有一解，
即，解得，
所以滿足題意得直線有三條，即，和.
故選：C
【對點訓練26】（2023·高二?？紗卧獪y試）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線（????）
A．有且只有一條
B．有且只有兩條
C．有且只有三條
D．有且只有四條
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，拋物線的焦點坐標為，設(shè)，
若直線的斜率不存在，則，不符合題意，
若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，可得，
由題意得，解得，
所以此時有兩條直線滿足題意，
綜上所述，符合題意得直線有且只有兩條.
故選：B.
【對點訓練27】（2023·江西·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線：與圓：交于，兩點，且.現(xiàn)有如下3條直線：①：；②：；③：，則與拋物線只有1個交點的直線的條數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】設(shè)，由對稱性，可知，故，代入中，解得，
故拋物線：，
易知直線：，直線：與拋物線僅有1個交點；
聯(lián)立得，則，故直線與拋物線僅有1個交點，
故選：D
【對點訓練28】（2023·陜西榆林·高二校考期中）直線與拋物線只有一個公共點，則的值為（????）
A．1 B．9 C．1或0 D．1或3
【答案】C
【解析】由，得，
所以，
因為直線與拋物線只有一個公共點，
所以或，
解得，或，
故選：C.
【對點訓練29】（2023·河北邯鄲·高二?？计谥校┻^點作直線與拋物線相交，恰好有一個交點，則符合條件的直線的條數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】如圖示，過點作直線與拋物線相交，恰好有一個交點，

符合條件的直線有三條，其中兩條是與拋物線相切的直線，其中包含y軸，另一條是與拋物線對稱軸平行的直線，
故選：D
題型八：拋物線的弦
【例8】（2023·高二課時練習）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F作弦AB，其所在直線的傾斜角為，則|AB|等于（　?。?br /> A． B．4p C．6p D．8p
【答案】D
【解析】因為過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的弦AB所在直線的傾斜角為，
所以由拋物線的焦點弦公式得|AB|＝＝＝8p．
故選：D
【對點訓練30】（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，若線段中點的橫坐標為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由拋物線方程知：為拋物線的焦點；
設(shè)，
線段中點的橫坐標為，，
直線過拋物線的焦點，.
故選：B.
【對點訓練31】（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，
所以該直線的斜率不等于0，所以可假設(shè)直線方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，整理得，
所以
所以，
因為線段中點的橫坐標為，
所以，所以，
所以，
故選：B.
【對點訓練32】（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）已知拋物線焦點為，是上一點，為坐標原點，若的面積為，則（????）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】由已知拋物線焦點為，
設(shè)，則，所以，
則，解得，于是.
故選：A
【對點訓練33】（2023·廣西南寧·高二?？茧A段練習）過點作斜率為2的直線，交拋物線于兩點，則（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由題意直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，，
則.
故選：B.
【對點訓練34】（2023·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學?？茧A段練習）已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（????）
A．32 B． C． D．8
【答案】A
【解析】因為拋物線，
所以，，
所以直線的方程為，
由，得，
顯然，
設(shè)
則有，
所以，
由拋物線定義可知.
故選：A.
【對點訓練35】（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于A（點A在第二象限），兩點，則（????）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】拋物線方程為，故焦點坐標為，則直線方程為，
與聯(lián)立得：，
即，
設(shè)，
則，，
，
則，，
所以.
故選：A
題型九：拋物線的綜合問題
【例9】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學校考期末）已知拋物線C：的焦點為F，第四象限的一點，且．
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直線l交C于A，B兩點，且線段中點的坐標為，求直線l的方程
【解析】（1）由拋物線的定義可知，，解得，
所以拋物線C的方程為，則，
因為點在第四象限，所以，解得；
所以C的方程為，.
（2）設(shè)，，則，
兩式相減可得，，
所以，又因為線段中點的坐標為，
則有，
則由點斜式可得，直線l的方程為，即．
【對點訓練36】（2023·河南焦作·高二溫縣第一高級中學?？茧A段練習）已知拋物線的準線方程為，過其焦點F的直線l交拋物線C于A、B兩點，線段AB的中點為M，坐標原點為O，且直線OM的斜率為.
(1)求實數(shù)p的值；
(2)求的面積.
【解析】(1)由準線方程為知，，故.
(2)由（1）知，拋物線方程為，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立拋物線方程，化簡得.
則，
由線段的中點為，知，
，代入韋達定理知，
，解得，
故直線的方程為.
所以，
因此的面積.
【對點訓練37】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知直線l與拋物線C：交于A，B兩點．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，線段AB中點的縱坐標為2，求AB的長；
(2)若直線l經(jīng)過點，求的值．
【解析】（1）設(shè)，，線段中點設(shè)為，則，
由題意，拋物線的焦點為，，
根據(jù)拋物線的定義得；

（2）當直線斜率不存在時，，與拋物線只有一個交點，不符合題意.
所以直線斜率必存在，設(shè)為，
與拋物線聯(lián)立得：，，得，
所以.

【對點訓練38】（2023·江蘇·高二專題練習）已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．

(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；
(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．
【解析】（1）因為拋物線的準線是，所以拋物線的焦點坐標，所以；
（2）因為點M是拋物線的準線上的動點，設(shè)．
（?。┤糁本€l的斜率不存在，則．
由得，

因為，所以，
即，所以，
因為，所以；
因為，所以，
即，所以，
所以因為，所以①．
（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則．設(shè)．
由得，所以，
且，所以（*），
因為，所以，即，所以，
所以，得，
因為，所以，
即，所以，
所以
則
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
綜合（?。áⅲ┲本€l在x軸上截距b的取值范圍是．
【對點訓練39】（2023·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為、為拋物線上兩個不同的動點，當過且與軸平行時的面積為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）分別過作垂直于軸，若，求與軸的交點的橫軸標的取值范圍．
【解析】（1）當過且與軸平行時，
，
拋物線的方程為
（2）設(shè) ，與軸的焦點設(shè)為，由拋物線的幾何圖形可知無論，位于軸的同側(cè)或異側(cè)，都有，

，，????????
又時三角形不存在
且
與軸的交點的橫軸標的取值范圍是

【對點訓練40】（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，記其焦點為.設(shè)直線：，在該直線左側(cè)的拋物線上的一點P到直線的距離為，且.

(1)求的方程；
(2)如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若分別交于兩點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.
【解析】（1）拋物線的準線的方程為，
則可知，解得，
所以的方程為.
（2）作于，于.
由拋物線定義，，，
又因為，，
所以，，
由此，，，
所以，，
所以，為定值.

【對點訓練41】（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．
【解析】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.
（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點，故設(shè)其方程為，
聯(lián)立拋物線方程可得：，時，
設(shè)兩點的坐標分別為，則，，
由題可知，，即，解得，此時滿足，
故直線恒過軸上的定點.


【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）已知是拋物線的焦點，過焦點的直線交拋物線于不同的兩點，，設(shè)，為的中點，則到軸的距離為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由拋物線的方程可得，準線方程為：，
設(shè)，，，，
則由可得：，
所以，解得，
則到軸的距離為，
故選：C．
2．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）過點作直線l與雙曲線交于點A，B，若P恰為AB的中點，則直線l的條數(shù)為（????）
A．0 B．1 C．2 D．不能確定
【答案】A
【解析】設(shè)直線l：，由，
得，（※）
設(shè)，，則，由，即，得，此時，（※）式為，由于，所以直線l與雙曲線無公共點，這樣的直線不存在.
故選：A
3．（2023·湖北荊州·高二沙市中學?？计谀┤魭佄锞€圖像上一點到直線距離的最小值為，則（????）
A． B．8 C．8或 D．
【答案】B
【解析】由得：，
由題意知直線與拋物線無交點，
所以，
設(shè)拋物線上任一點為，
則點到直線的距離為：
，
因為，所以，
所以，
所以當時，，
解得：，
故選：B.
4．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）若直線與橢圓交于兩點，且，則點的坐標可能是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以為中點，
設(shè)，
因為在橢圓上，所以，
兩式相減得，即
，即，
因為直線過點，所以，
所以，經(jīng)檢驗C、D不滿足，
A、B選項均滿足，但在橢圓外，不符合條件，
故選：A.
5．（2023·四川達州·高二統(tǒng)考期末）直線上兩點到直線的距離分別等于它們到的距離，則（????）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，到直線距離和到點的距離相等的點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，拋物線方程為，
所以點是直線與拋物線的兩個交點，聯(lián)立方程，
得，，
而.
故選：C
6．（2023·山東臨沂·高二臨沂第三中學?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，，是上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（????）
A．離心率 B．的最大值為
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
【答案】C
【解析】橢圓，則，，所以，則離心率，故A正確；
由橢圓性質(zhì)：到橢圓右焦點距離最大的點是左頂點，可得的最大值為，故B正確；
由，，設(shè)，
則，因為，所以，
當且僅當在上、下頂點時取最大值，故C錯誤；
因為，，
所以，
所以，
即的最小值為，當且僅當在上、下頂點時取最小值，故D正確；
故選：C
7．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知直線過雙曲線的左焦點，且與C的漸近線平行，則l的傾斜角為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由雙曲線方程為：，
所以，由左焦點為，
所以，由，
所以，
所以該雙曲線的標準方程為：，
所以漸近線方程為：，
直線恒過點，
且，且過，
所以直線與漸近線平行，
故，
設(shè)直線l的傾斜角為，
則，
又，
所以，
故選：D.
8．（2023·福建莆田·高二莆田一中?？计谀┓▏鴶?shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若圓上存在點，使得過點可作兩條互相垂直的直線與橢圓相切，則實數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點的軌跡為圓：，由于在圓，故兩圓有交點即可，
故兩圓的圓心距為，故，
故選：B
二、多選題
9．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的兩個焦點為是橢圓上的動點，且的面積最大值是，則下列結(jié)論中正確的是（????）
A．橢圓的離心率是
B．若是左，右端點，則的最大值為
C．若點坐標是，則過的的切線方程是
D．若過原點的直線交于兩點，則
【答案】BD
【解析】的面積最大值是，則，橢圓方程.
，橢圓離心率，A選項錯誤；
若是橢圓的左，右端點，則，以為焦點作新橢圓， P為兩個橢圓的交點，當新橢圓短軸最長時最大，所以當P為橢圓的上頂點或下頂點時，有最大值為，B選項正確；
點在橢圓上，過點的的切線斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程消去y得，
由，解得，
則切線方程為，即，故C選項錯誤；
設(shè)，都在橢圓上，有和，
兩式相減得，，，
，D選項正確.
故選:BD.
10．（2023·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（????）
A． B．的周長為16
C．的面積為 D．
【答案】AB
【解析】由已知，雙曲線右焦點，即，故A項正確．且拋物線方程為．
對于B項，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，
整理可得．，解得或（舍去負值），
所以，代入可得，．
設(shè)，又，所以，，，則的周長為16，故B項正確；
對于C項，易知，故C項錯誤；
對于D項，由余弦定理可得，，故D項錯誤．
故選：AB

??
11．（2023·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）設(shè)雙曲線，其離心率為，虛軸長為，則（????）
A．上任意一點到的距離之差的絕對值為定值
B．雙曲線與雙曲線：共漸近線
C．上的任意一點（不在軸上）與兩頂點所成的直線的斜率之積為
D．過點作直線交于兩點，不可能是弦中點
【答案】AB
【解析】雙曲線的離心率為，虛軸長為，所以，解得，
所以雙曲線，所以兩焦點坐標分別為，
由雙曲線定義知，故A正確；
雙曲線的漸近線方程是，
雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；
上的任意一點（不在軸上）設(shè)為，則，即，
又兩頂點為，
所以斜率之積為，故C錯誤；
易知點在雙曲線的右側(cè)，
此區(qū)域內(nèi)存在一條直線交于兩點，使是弦中點，故D錯誤.
故選：AB
12．（2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為F，點P在準線上，過點F作PF的垂線且與拋物線交于A，B兩點，則（????）
A．最小值為2 B．若，則
C．若，則 D．若點P不在x軸上，則
【答案】ABC
【解析】點，拋物線的準線方程為，
設(shè)，，
所以點P在橫軸上時有最小值2，所以選項A正確；
若，根據(jù)拋物線的對稱性可知點P在橫軸上，
把代入中，得，，此時，
于是有，所以選項B正確；
因為，顯然點P不在橫軸上，
則有，
所以直線的方程為代入拋物線方程中，得
，設(shè)，
，
，所以選項C正確，
點P不在x軸上，由上可知：，，
，
而，顯然，所以選項D不正確，
故選：ABC
三、填空題
13．（2023·江西九江·高二德安縣第一中學?？计谥校┻^拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，則的值是________．
【答案】
【解析】由題意知，拋物線焦點坐標為，從而設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立方程，得，，
，.
所以.
故答案為：.
14．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）已知是雙曲線的右焦點，直線與雙曲線相交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】聯(lián)立方程，消去x得：
所以，即，解得，
設(shè)，則可得，
取雙曲線的左焦點為，連結(jié)，由對稱性知四邊形為平行四邊形，
由可得，
∵，則，
∴，則
即，整理得，解得，
綜上可得：.
故雙曲線的離心率的取值范圍是.
故答案為：.

15．（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知點分別為橢圓的左、右焦點，是坐標原點，點在橢圓上，是面積為的等邊三角形，則的值是___________.
【答案】
【解析】是面積為的等邊三角形，



,
所以點P的坐標為
將點P代入橢圓方程有，
聯(lián)立方程
聯(lián)立解得
故答案為：.
16．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學?？计谀╇p曲線的左、右焦點分別為，已知焦距為8，離心率為2，過右焦點作垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于兩點，則_____．
【答案】12
【解析】由題意雙曲線，則半焦距，
又離心率為2，則，故，
則雙曲線方程為，
過右焦點作垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于兩點，
則令，故，
故，
故答案為：12.
四、解答題
17．（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學?？茧A段練習）已知橢圓E：的離心率為，且過點.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線m過橢圓E的右焦點和上頂點，直線l過點且與直線m平行.設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點，求AB的長度.
【解析】（1）由題意知，，所以，，設(shè)橢圓E的方程為.
將點的坐標代入得：，，所以橢圓E的方程為.
（2）由（1）知，橢圓E的右焦點為，上頂點為，所以直線m斜率為，
由因為直線l與直線m平行，所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即，
聯(lián)立，可得，
，，，
所以.
18．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，點F到拋物線準線距離為4．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)已知的三個頂點都在拋物線E上，頂點，重心恰好是拋物線E的焦點F．求所在的直線方程．
【解析】（1）由題意得，∴拋物線方程為：
（2）設(shè)，，由重心坐標公式得，∴CD中點坐標為，
兩式相減得，
方程：，
，∴方程：.
19．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，點P為拋物線上動點，點為拋物線內(nèi)的一個定點，已知最小值為5．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)已知的三個頂點都在拋物線E上，頂點，重心恰好是拋物線E的焦點F．求所在的直線方程．
【解析】（1）過P作拋物線準線的垂線，垂足為M，
，
∴拋物線方程為：.
（2）設(shè)，，
由重心坐標公式得，所以，
∴中點坐標為，
由兩式相減可得，
所以方程：，
，
∴方程：.
20．（2023·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┤魴E圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)不過原點O的直線與橢圓E交于A、B兩點，求面積的最大值以及此時直線l的方程．
【解析】（1）拋物線的焦點為，所以，
因為雙曲線的焦點坐標為，
所以則，
所以橢圓E的方程為.
（2）設(shè)，
聯(lián)立可得，
因為直線與橢圓E交于A、B兩點，
所以解得，
由韋達定理可得，
由弦長公式可得，
點到直線的距離為，
所以

當且僅當即時取得等號，
所以面積的最大值為，此時直線的方程為.
21．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期中）已知雙曲線的漸近線為，拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且，拋物線交雙曲線的兩條漸近線于O，A，B三點．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求的面積．
【解析】（1）由題意．雙曲線的漸近線為，所以，
所以雙曲線的離心率．
（2）拋物線的準線方程為，所以，解得，所以的方程為，焦點為，不妨設(shè)A在左側(cè)，B在右側(cè)，
聯(lián)立得，所以，直線的方程為，
所以點F到直線的距離為8，所以的面積為．
22．（2023·江蘇南通·高二期末）拋物線的焦點，過C的焦點F斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，的面積為
(1)求拋物線C的方程；
(2)若P為C上位于第一象限的任一點，直線l與C相切于點P，連接PF并延長交C于點M，過P點作l的垂線交C于另一點N，求面積S的最小值．
【解析】（1）由已知，直線AB的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立，可得，所以，
于是
，所以.
故拋物線C的方程為
（2）如下圖，
設(shè)，，，切線l的方程為，
則有，，
由M，F(xiàn)，P三點共線，可知，即，
因為，化簡可得
由，可得，
因為直線l與拋物線相切，故，故
所以直線PN的方程為：，即，
點M到直線PN的距離為，將代入可得，
聯(lián)立，消可得，消x可得，，
所以，所以，，
故，
當且僅當時，等號成立，此時，面積S的最小值為

??


相關(guān)試卷

第11講 圓與圓的位置關(guān)系（七大題型）-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（蘇教版）：

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第10講 直線與圓的位置關(guān)系（十三大題型）-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（蘇教版）：

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第07講 兩條直線的交點（六大題型）-暑假高一升高二數(shù)學銜接知識自學講義（蘇教版）：

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