·模塊一 直線與橢圓的位置關(guān)系
·模塊二 直線與雙曲線的位置關(guān)系
·模塊三 直線與拋物線的位置關(guān)系
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
直線與橢圓的位置關(guān)系
1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
(1)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：

(2)對(duì)于點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：
點(diǎn)在橢圓外+>1;
點(diǎn)在橢圓內(nèi)+0直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn);
=0直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn);
b>0)于，兩點(diǎn)，
則或.
4．“中點(diǎn)弦問題”
(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法
①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系
數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.
②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐
標(biāo)和斜率的關(guān)系.
設(shè)，，代入橢圓方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，有+=0.
因?yàn)闉橄褹B的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點(diǎn)軌跡問題的常用方法.
(2)弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系
線段AB是橢圓+=1 (a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則弦AB所在直線的斜率為，即.
【考點(diǎn)1 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系】
【例1.1】（2023春·江西吉安·高二?？计谥校┲本€與橢圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
【解題思路】代數(shù)法聯(lián)立直線與橢圓，轉(zhuǎn)化為二次方程根的問題來判斷即可.
【解答過程】聯(lián)立，
則
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以直線與橢圓相交
故選：C.
【例1.2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【解題思路】根據(jù)直線方程可得直線過定點(diǎn)，判斷點(diǎn)與橢圓C的位置關(guān)系即可得結(jié)果.
【解答過程】對(duì)于直線，整理得，
令，解得，
故直線過定點(diǎn).
∵，則點(diǎn)在橢圓C的內(nèi)部，
所以直線l與橢圓C相交.
故選：A.
【變式1.1】（2023春·新疆昌吉·高二校考開學(xué)考試）若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．至多有一個(gè)C．1個(gè)D．2個(gè)
【解題思路】根據(jù)題意得到，求得點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)切于橢圓，得到點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，即可求解.
【解答過程】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，
可得，即，
所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，
又因?yàn)闄E圓，可得，
所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，
所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.
故選：D.
【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在橢圓C外，則直線l與橢圓C相離
B．若點(diǎn)A在橢圓C上，則直線l與橢圓C相切
C．若點(diǎn)A在橢圓C內(nèi)，則直線l與橢圓C相交
D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系不確定
【解題思路】考慮和兩種情況，聯(lián)立方程，得到，根據(jù)點(diǎn)與橢圓的關(guān)系依次驗(yàn)證直線和橢圓的關(guān)系得到答案.
【解答過程】當(dāng)，則，則直線，
①若點(diǎn)A在橢圓C外，則，則，直線l與橢圓C相交；
②若點(diǎn)A在橢圓C上，則，則，直線l與橢圓C相切；
③若點(diǎn)A在橢圓C內(nèi)，則，則，直線l與橢圓C相離；
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程，消去y得：
，
所以，
①若點(diǎn)A在橢圓C外，則，則，直線l與橢圓C相交；
②若點(diǎn)A在橢圓C上，則手，則，直線l與橢圓C相切；
③若點(diǎn)A在橢圓C內(nèi)，則，則，直線l與橢圓C相離；
若點(diǎn)A在直線l上，則滿足，即點(diǎn)A在橢圓C上，由以上討論可知直線l與橢圓C相切，D錯(cuò)誤.
綜上所述：B正確
故選：B.
【考點(diǎn)2 橢圓的弦長問題】
【例2.1】（2023·全國·高三對(duì)口高考）通過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（ ）
A．B．3C．D．6
【解題思路】根據(jù)橢圓方程寫出一條過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程求交點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得弦長.
【解答過程】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，
代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長等于.
故選：B.
【例2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】利用弦長公式求解即可.
【解答過程】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程
整理可得：，設(shè)，
則，，根據(jù)弦長公式有：
=．故B，C，D錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式2.1】（2023春·四川瀘州·高三校考開學(xué)考試）斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【解題思路】設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式表示弦長，再求最值即可
【解答過程】設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線l的方程為y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝ ＝·，
當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝．
故選：C.
【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)，，把直線與橢圓聯(lián)立，求出，
，即可求出.
【解答過程】由，得，，，左焦點(diǎn)為．
則過左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°直線l的方程為．代入，得，
設(shè)，，則，，
又，
根據(jù)弦長公式得：，
且 ，
∴，
故選：A．
【考點(diǎn)3 橢圓的“中點(diǎn)弦”問題】
【例3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C： ，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)出的坐標(biāo)代入橢圓方程后，作差變形，根據(jù)斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得解.
【解答過程】設(shè)，，則，，
且，，
作差得，所以，
即直線l的斜率是．
故選：C．
【例3.2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用中點(diǎn)弦問題求出，再求出橢圓的離心率作答.
【解答過程】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，
由兩式相減得：，于是，
解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，
所以橢圓的離心率.
故選：A.
【變式3.1】（2023秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】設(shè)，，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程.
【解答過程】解：設(shè)，，則，，，，
所以，即，
所以，即
所以弦所在直線方程為，即.
故選：A.
【變式3.2】（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）A，B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在直線上，則直線AB與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（ ）.
A．B．
C．D．
【解題思路】設(shè)直線AB的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式與韋達(dá)定理求解的范圍即可.
【解答過程】由題意可知，直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線AB的方程為，
則直線AB與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，設(shè)點(diǎn)，，
將直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立并化簡(jiǎn)得，，
化簡(jiǎn)得，即.
由韋達(dá)定理可得，所以，
將等式兩邊平方得，所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由于，解得或.
因此，直線AB與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.
故選：A.
模塊二
直線與雙曲線的位置關(guān)系
1．直線與雙曲線的位置關(guān)系
(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：
一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.
①代入②得.
當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).
當(dāng)0，即時(shí)，=.
>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；
=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；
1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.
【考點(diǎn)1 判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】
【例1.1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線與雙曲線的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
【解題思路】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x，從而得出直線和雙曲線位置關(guān)系，得出答案.
【解答過程】由得 整理得，；
所以，故直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
又雙曲線的漸近線方程為：
與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).
所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．
故選：B.
【例1.2】（2022春·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【解題思路】求出雙曲線的漸近線方程，然后判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
【解答過程】解：雙曲線的漸近線方程為：，因?yàn)橹本€與雙曲線的一條漸近線平行，
在軸上的截距為3，所以直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：1．
故選：A．
【變式1.1】（2022秋·重慶沙坪壩·高二校考期中）已知直線，若雙曲線與均無公共點(diǎn)，則可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線漸近線與之間的位置關(guān)系，即可容易判斷.
【解答過程】的斜率分別是；
對(duì)A：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與都沒有公共點(diǎn)，滿足題意，C正確；
對(duì)D：該雙曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，
又，故雙曲線與沒有公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意，D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式1.2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】聯(lián)立直線與雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及根的分布得出關(guān)于k的不等式組，求解即可.
【解答過程】聯(lián)立整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
故選：D.
【考點(diǎn)2 雙曲線的弦長問題】
【例2.1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)為，，則（ ）
A．2B．C．4D．
【解題思路】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，直接解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算兩點(diǎn)間距離．
【解答過程】由，得，，
∴.
故選：C．
【例2.2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)直線MN為，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求k值，利用弦長公式求解即可.
【解答過程】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：
設(shè)，則，所以，解得，
則，.
弦長|MN|.
故選：D.
【變式2.1】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【解題思路】設(shè)直線方程與雙曲線聯(lián)立，利用弦長公式解方程判斷根的個(gè)數(shù)即可.
【解答過程】由題意得雙曲線左焦點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于橫軸時(shí)，不符合題意，雙曲線漸近線方程為；
故可設(shè)，
與雙曲線聯(lián)立可得，
，
由弦長公式知，
則或.
故存在四條直線滿足條件.
故選：D.
【變式2.2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點(diǎn)作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，則截得的弦長（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解題思路】根據(jù)漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可解得，再將直線方程代入雙曲線方程消元，由韋達(dá)定理和弦長公式可得.
【解答過程】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點(diǎn)，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設(shè)，，由，消去y可得，，
故選：D.
【考點(diǎn)3 雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】
【例3.1】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用點(diǎn)差法求解.
【解答過程】解：設(shè)，則，
兩式相減得直線的斜率為，
又直線過點(diǎn)，
所以直線的方程為，
經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).
故選：A.
【例3.2】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為（ ）
A．3B．4
C．5D．6
【解題思路】設(shè)出，，利用“點(diǎn)差法”即可求出結(jié)果.
【解答過程】設(shè)，，則有與，兩式相減得：，即，
又因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，得到，
即直線AB的斜率為6.
故選：D.
【變式3.1】（2023春·安徽安慶·高二?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)，，利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得，從而可求雙曲線C的漸近線方程.
【解答過程】設(shè)，，則，由點(diǎn)差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴漸近線方程為.
故選：A．
【變式3.2】（2022秋·寧夏石嘴山·高二?？计谀┮阎p曲線的離心率為2，過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A． B．
C．D．
【解題思路】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解.
【解答過程】由已知得，又，，可得.
則雙曲線C的方程為.設(shè)，，
則兩式相減得，
即.
又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，
故選：C.
模塊三
直線與拋物線的位置關(guān)系
1．直線與拋物線的位置關(guān)系
(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：
(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程
.
①若k≠0，當(dāng)>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).
設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：
4．拋物線的切線
過拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)P的切線方程是.
拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).
【考點(diǎn)1 判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】
【例1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不能確定
【解題思路】直線過定點(diǎn)，在拋物線內(nèi)部，即可得出結(jié)論．
【解答過程】直線過定點(diǎn)，
∵，
∴在拋物線內(nèi)部，
∴直線與拋物線相交，
故選：A．
【例1.2】（2023·遼寧錦州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與拋物線，則“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用充分條件的定義先判斷充分性，再利用必要性的定義判斷必要性.
【解答過程】當(dāng)“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”時(shí)，如圖，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是此時(shí)與不相切.所以“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的不充分條件；
當(dāng)“與相切”時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的必要條件.
綜上，“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“與相切”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式1.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條
D．1條、2條或3條
【解題思路】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，使得方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求出對(duì)應(yīng)的的取值個(gè)數(shù)即可.
【解答過程】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，
整理可得，
直線l與有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，符合題意；
當(dāng)時(shí)，一元二次方程僅有一解，
即，解得，
所以滿足題意得直線有三條，即，和.
故選：C.
【變式1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．，C．，D．，
【解題思路】根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去，根據(jù)判別式大于等于0求得的范圍.
【解答過程】，
，為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)），設(shè)過點(diǎn)的直線方程為.
與拋物線有公共點(diǎn)，
方程組有解，
即有解.
△，即.
，
故選：C.
【考點(diǎn)2 拋物線的弦長問題】
【例2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角是的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．8B．C．D．16
【解題思路】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：，與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段的長度．
【解答過程】根據(jù)拋物線方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)，
直線的斜率為，
設(shè)直線的方程為，，，，，
由得，
所以，，
所以弦長．
故選：D．
【例2.2】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)點(diǎn)、在直線上的射影點(diǎn)分別為、，設(shè)，可得出，求出線段的長，可得出的值，進(jìn)而可求得的值.
【解答過程】易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)點(diǎn)、在直線上的射影點(diǎn)分別為、，如圖所示：

設(shè)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，，則，
所以，，
由拋物線的定義可得，，
所以，，
所以，，
因?yàn)檩S，則，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，，
所以，，
又因?yàn)?，可得?br>故.
故選：A.
【變式2.1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┰O(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系以及韋達(dá)定理、弦長公式求解即可.
【解答過程】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，
所以該直線的斜率不等于0，所以可假設(shè)直線方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，整理得，
所以
所以，
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，所以，
所以，
故選：B.
【變式2.2】（2023·湖南長沙·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，過F且斜率大于零的直線l與及拋物線：的所有公共點(diǎn)從右到左分別為點(diǎn)A，B，C，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解題思路】設(shè)直線的方程為，與拋物線相切，可得，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，，利用拋物線焦半徑公式可得答案.
【解答過程】由題意可得，設(shè)直線的方程為，
由題意可得直線與拋物線必有2個(gè)交點(diǎn)，
與拋物線相切，聯(lián)立方程組，可得，
所以，解得，故直線的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立，得，
設(shè)，，則，所以.
故選：C.

【考點(diǎn)3 拋物線的焦點(diǎn)弦問題】
【例3.1】（2023春·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】由焦點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的方程，設(shè)，，把直線方程代入拋物線方程整理由韋達(dá)定理可得，再由拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長為，從而可求得.
【解答過程】解：拋物線的焦點(diǎn)為，
所以直線方程為，代入拋物線方程并整理得，
設(shè)，，則，
又，∴，所以.
故選：B.
【例3.2】（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．或3C．或2D．3
【解題思路】設(shè)直線的方程與拋物線聯(lián)立，解方程由比例關(guān)系及拋物線的定義計(jì)算求值即可.
【解答過程】由題意可知直線的方程為，
由，可得，解得或，或者.

故選：C.
【變式3.1】（2023春·重慶渝中·高三?？茧A段練習(xí)）過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求解.
【解答過程】C：的焦點(diǎn)，因?yàn)?，且直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，故代入得：，化簡(jiǎn)得：，
設(shè)直線的傾斜角為，則過點(diǎn)作軸于 軸與準(zhǔn)線交于，所以 ，同理可得則拋物線的焦半徑公式得：，故，解得，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
故選：A.
【變式3.2】（2023·重慶萬州·?？寄M預(yù)測(cè)）過拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段的長度為（ ）
A．8B．16C．24D．32
【解題思路】將直線的方程與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出，然后將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長公式即可求解
【解答過程】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，

直線的方程為，
聯(lián)立可得，即點(diǎn)，
所以，因?yàn)椋裕?br>所以直線的方程為，拋物線，設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，則
故選：D.
【考點(diǎn)4 圓錐曲線中的面積問題】
【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，且C的離心率為．
(1)求C的方程；
(2)直線交C的左支于P，Q兩點(diǎn)，且直線AP，AQ的斜率之和為0，若，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，求的面積．
【解題思路】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，解之可得；
（2）由直線AP，AQ的斜率之和為0，得它們的傾斜角互補(bǔ)，從而由已知正切值求得兩直線斜率，得直線方程，從而求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可計(jì)算出三角形面積．
【解答過程】（1）由題意得，解得
所以雙曲線的方程為．
（2）不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角分別為，，
因?yàn)椋?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以，
即，解得或（舍），
所以直線，
直線．
在直線中，令，得，
所以，
同理得，
所以，
所以的面積為．
【例4.2】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：上一點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且為，的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
(2)求面積的最大值．
【解題思路】（1）首先根據(jù)題意得到，設(shè)出直線，與拋物線聯(lián)立結(jié)合題意得到，再根據(jù)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，即可得到，從而得到直線方程為.
（2）首先根據(jù)題意得到面積，再利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可得到面積的最大值.
【解答過程】（1）由為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，所．
設(shè)直線，
聯(lián)立，整理得，
則，
為，的中點(diǎn)，得，故，
由，解得.
當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，得，.
此時(shí)直線方程為.
（2）如圖所示：
由（1）可知，直線，
.
到直線的距離為.
則面積.
，由，解得.
當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減.
故時(shí)，面積的最大值.
【變式4.1】（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求橢圓方程；
(2)直線與橢圓交于點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，直線分別交于另一點(diǎn)、，記與的面積分別為，求的范圍．
【解題思路】（1）由離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)可得答案；
（2）設(shè)，令可得坐標(biāo)，代入橢圓方程得，設(shè)，可得坐標(biāo)，代入橢圓方程得，利用及的取值范圍可得答案．
【解答過程】（1）由離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)可得，又，
解得，所以橢圓 ；
（2）設(shè)，則，，
令，，
可得，
代入，得，
又，得，
設(shè)，，
可得，
代入，得，
又，得，
∵，∴，
∵，，∴．
【變式4.2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與相交，所得弦長為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.
【解題思路】（1）根據(jù)題意可得曲線過點(diǎn)，然后根據(jù)曲線的離心率和之間的關(guān)系即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理，利用切線方程求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將面積的表達(dá)式求出來，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【解答過程】（1）由題知過點(diǎn)，則，解得，
.
（2）設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，
，
則，而，則，
故以為切點(diǎn)的切線為，即，
同理以為切點(diǎn)的切線為，則，
由，故兩式作差得：，所以，
兩式求和得：，
所以點(diǎn)由在橢圓上，即.
點(diǎn)到直線的距離，
所以，，
，
而、在上遞增且恒正，
則在上遞增，.
【考點(diǎn)5 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】
【例5.1】（2023·福建福州·福建省?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓離心率為，焦距為.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)分別作斜率和為的兩條直線與，設(shè)交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、.求證：直線過定點(diǎn).
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，并化簡(jiǎn)直線的方程，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解答過程】（1）解：由已知條件可得，解得：.
所以，橢圓的方程為.
（2）解：設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則.
聯(lián)立，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，則直線、與橢圓均相交，

設(shè)點(diǎn)、，
所以，，則，
所以，線段的中點(diǎn)為.
同理可得，線段的中點(diǎn)為
所以直線斜率為
.
所以直線方程為：
，
所以，直線的方程可化為，
由可得，因此直線恒過定點(diǎn).
【例5.2】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）拋物線：的焦點(diǎn)為F，直線過焦點(diǎn)F與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于x軸時(shí).
(1)求拋物線的方程；
(2)點(diǎn)，直線AC，BC與拋物線E的交點(diǎn)分別為M，N；探究直線MN是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)：如果不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.
【解題思路】（1）當(dāng)軸時(shí)，根據(jù)拋物線的定義可得，可求出，即可求解；
（2）設(shè)，，，，求出直線AB，直線AM，直線BN的方程，可得到，故可得到直線MN的方程為，即可求得定點(diǎn)
【解答過程】（1）∵，∴當(dāng)軸時(shí)，，
∴根據(jù)拋物線的定義可得，解得，
∴拋物線的方程：
（2）設(shè)，，，，

∴直線AB方程為：即，
∵直線AB過點(diǎn)，∴，
同理，直線AM：即，
∵直線AM過點(diǎn)，∴，同理可得，
∴，∴，
直線MN的方程為：，∴
當(dāng)時(shí)，，
∴直線MN恒過定點(diǎn).
【變式5.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，滿足，證明：在定直線上.
【解題思路】（1）根據(jù)離心率設(shè)，代入得到，得到答案.
（2）設(shè)，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，代入數(shù)據(jù)整理得到，得到答案.
【解答過程】（1）設(shè)，因?yàn)殡p曲線的離心率為，
設(shè)，
所以，
所以，解得或（舍），
所以雙曲線的方程為，
（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不成立，設(shè)，
即，
由，可得，
由于點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，易得，所以.
設(shè)，根據(jù)題意，，又，可得，
整理得：，
即，化簡(jiǎn)得
又，消去，得，
所以點(diǎn)在定直線上.
【變式5.2】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓上的點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.
【解題思路】（1）先求得，設(shè)，由可得，求得，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得，由題意得，而，把代入即可求解.
【解答過程】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，
設(shè)滿足，則，
又，
則，
所以橢圓的方程.
（2）直線，代入橢圓，可得，
由于直線交橢圓于兩點(diǎn)，所以，整理得.
設(shè)，由于點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，
于是有，
，
又，
于是有
故直線的斜率與直線的斜率之和為0.

模塊四
課后作業(yè)
1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【解題思路】根據(jù)直線恒過，且在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.
【解答過程】，在橢圓內(nèi)，
恒過點(diǎn)，直線與橢圓相交.
故選：A.
2．（2023春·上海浦東新·高二校考期中）直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】考慮和兩種情況，畫出曲線和直線圖像，根據(jù)圖像得到答案.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，曲線，即，雙曲線右半部分；
一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；
當(dāng)時(shí)，曲線，即，橢圓的左半部分；
畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知有個(gè)公共點(diǎn).
故選：B.
3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為F，A為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切
C．相離D．以上都有可能
【解題思路】求出直線AF的中垂線方程，代入，可得，即可得出結(jié)論．
【解答過程】設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以中垂線的斜率為，所以直線的中垂線方程為，代入，可得
∴，∵線段FA的中垂線與拋物線相切.
故選：B.
4．（2023·全國·高三對(duì)口高考）過橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】先求過左焦點(diǎn)的通徑長度，由橢圓的性質(zhì)：過左焦點(diǎn)的弦長最短為通徑長，最長為長軸長，結(jié)合已知弦長判斷直線的條數(shù)即可.
【解答過程】左焦點(diǎn)為，若直線垂直x軸，則直線為，
代入橢圓方程得，可得，此時(shí)通徑長，
所以，由橢圓性質(zhì)知：的直線有僅只有一條.
故選：B.
5．（2023·江西·?？既＃┮阎请p曲線C：的左焦點(diǎn)，，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【解題思路】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，建立方程，即可求出雙曲線的離心率.
【解答過程】雙曲線 的漸近線為，
又，，所以直線的斜率為，
因?yàn)橹本€與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，
直線與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，所以，即，
所以，又，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
故選：B.
6．（2023春·寧夏石嘴山·高二校考期中）已知雙曲線，過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，進(jìn)而得到方程，與雙曲線聯(lián)立檢驗(yàn)即可確定結(jié)果.
【解答過程】設(shè)，且，
由得：，即，
為中點(diǎn)，，，，
直線方程為：，即；
由得：，
則，滿足題意；
直線的方程為：.
故選：A.
7．（2023春·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．D．
【解題思路】由拋物線可得焦點(diǎn)，代入直線可得，將直線與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得，繼而得到，然后用拋物線的定義即可求解
【解答過程】由拋物線可得焦點(diǎn)，
將代入可得，
將代入可得，
設(shè)，所以，
所以，
由拋物線的定義可得即，解得
故選：B.
8．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是是坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上，且，則的面積是（ ）
A．B．4C．D．8
【解題思路】設(shè)出點(diǎn)，利用條件直接求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，又易知，從而可求出結(jié)果.
【解答過程】設(shè)，因點(diǎn)在橢圓上，且，則有，消去，得到，所以，
又，故的面積是．
故選：A.
9．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的漸近線方程為，且焦距為，過雙曲線中心的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，在雙曲線上取一點(diǎn)（異于），直線，的斜率分別為，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】由雙曲線的兩條漸近線方程以及焦距，求得，，進(jìn)而得到雙曲線方程，設(shè)出點(diǎn)，可得，點(diǎn)，代入雙曲線方程，兩式相減，結(jié)合直線的斜率化簡(jiǎn)整理可得所求值．
【解答過程】雙曲線的兩條漸近線方程為，所以，
因?yàn)榻咕酁?，所以?br>又，所以，，故雙曲線的方程為．
設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)，，，
所以，且，，兩式相減可得.
故選：B.
10．（2023春·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知斜率為的直線過拋物線C：的焦點(diǎn)F且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為3，則k的值為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)點(diǎn)、，由條件關(guān)系結(jié)合設(shè)而不求法列方程求的值.
【解答過程】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，得，
方程的判別式，
設(shè)點(diǎn)、，
由韋達(dá)定理可得，，
由已知和拋物線定義知，
所以，得，即，
故，解得.
故選：A.
11．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列直線與圓錐曲線的交點(diǎn)情況：
(1)直線與拋物線；
(2)直線與橢圓.
【解題思路】(1)聯(lián)立方程，根據(jù)判別式判斷即可；
（2）聯(lián)立方程，根據(jù)判別式判斷即可.
【解答過程】(1)
解：聯(lián)立方程得，
因?yàn)椋?br>所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
所以直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)
解：聯(lián)立方程得，
因?yàn)?，所以方程組有兩組解，
所以直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).
12．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的離心率為，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長的值．
【解題思路】（1）由拋物線方程得出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，得出，根據(jù)橢圓離心率得出，再根據(jù)，即可寫出橢圓方程；
（2）設(shè)，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得出，，，結(jié)合得出，由弦長公式計(jì)算即可．
【解答過程】（1）由得焦點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)為，
因?yàn)闄E圓離心率為，
所以，解得，則，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，
由得，，
易得，則，，，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以
．

13．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，虛軸上端點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，的面積為4．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過且與軸的夾角在內(nèi)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為，求的方程．
【解題思路】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式運(yùn)算求解即可.
【解答過程】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，
因?yàn)椋矗?br>又因?yàn)?，則，
由，可得，即，
所以，得，則．
故雙曲線的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程，消去整理得．
可得，且，
則，，
可得，
因?yàn)?，可得?br>所以，即，
化簡(jiǎn)得，解得或．
由題可知，所以或，
故直線的方程為或，
即直線的方程為或．

14．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點(diǎn)且與相切．
(1)求p的值：
(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．
【解題思路】（1）設(shè)直線l1的方程為，再根據(jù)直線和圓相切求出的值得解；
（2）依題意設(shè)，求出切線l2的方程和B點(diǎn)坐標(biāo)，求出， ，即得證.
【解答過程】（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線l1的方程為，
由已知得圓的圓心，半徑，
因?yàn)橹本€l1與圓相切，
所以圓心到直線的距離，
即，解得或（舍去）．
所以.
（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，
所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為
所以切線l2的方程為．
令，即l2交y軸于B點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，
∴，
∴．
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，
所以點(diǎn)N在定直線上．

15．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.
①求證：直線過定點(diǎn)；
②求與面積之和的最小值.
【解題思路】（1）利用弦長求解p，即可求解拋物線方程；
（2）（i）設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點(diǎn)；
（ii）利用面積分割法求出兩個(gè)三角形面積表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.
【解答過程】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.
（2）（i）設(shè)，，直線，
與拋物線聯(lián)立，得，因此，.
設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，
因此，，則.同理可得.
所以.
因此直線，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以直線過定點(diǎn).
（ii）因?yàn)椋?br>，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.標(biāo)準(zhǔn)方程
弦長公式
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)

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