1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,F?x，y?＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：
Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；
Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；
Δ0，即keq \f(\r(,3),2)時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解，這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．
(2) 當(dāng)Δ＝0，即k＝±eq \f(\r(,3),2)時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解，這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
(3) 當(dāng)Δ－ eq \f(1,3)，
所以y1＋y2＝2，y1y1＝－3t.
因為 eq \(AP,\s\up6(→))＝3 eq \(PB,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，所以y2＝－1，y1＝3，所以y1y2＝－3，
則AB＝ eq \r(1＋\f(4,9))· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \f(\r(13),3)× eq \r(4＋12)＝ eq \f(4\r(13),3).
方法總結(jié)：
(1)涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長．
(2)涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算．
(3)涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．
考向三 求圓錐曲線的中點弦
【例3】(1) 已知P(1，1)為橢圓 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1內(nèi)的一點，經(jīng)過點P引一條弦交橢圓于A，B兩點，且此弦被點P平分，則此弦所在直線的方程為________；
【答案】 x＋2y－3＝0
【解析】 方法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝k(x－1)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝ eq \f(4k(k－1),2k2＋1).又因為x1＋x2＝2，所以 eq \f(4k(k－1),2k2＋1)＝2，解得k＝－ eq \f(1,2)，故此弦所在的直線方程為y－1＝－ eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
方法二：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 eq \f(x eq \\al(2,1),4)＋ eq \f(y eq \\al(2,1),2)＝1①， eq \f(x eq \\al(2,2),4)＋ eq \f(y eq \\al(2,2),2)＝1②，由①－②，得 eq \f((x1＋x2)(x1－x2),4)＋ eq \f((y1＋y2)(y1－y2),2)＝0.因為x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以 eq \f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，所以k＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(1,2)，所以此弦所在的直線方程為y－1＝－ eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
(2) 已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標(biāo)為3，則此拋物線的方程為________．
【答案】 x2＝3y
【解析】 設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝ay，,y＝2x－2，))消去y并整理，得x2－2ax＋2a＝0，所以 eq \f(x1＋x2,2)＝ eq \f(2a,2)＝3，即a＝3，所以所求拋物線的方程是 x2＝3y.
變式1、以A(2，1)為中點的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為________.
【答案】 4x－y－7＝0
【解析】 設(shè)A(2，1)是弦P1P2的中點，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P1，P2在雙曲線上，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2xeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,1)＝2，,2xeq \\al(2,2)－yeq \\al(2,2)＝2，))∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝4.∴以A(2，1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.
聯(lián)立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－y－7＝0，,2x2－y2＝2，))得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為4x－y－7＝0
方法總結(jié)：
(1)處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時，常用“點差法”，步驟如下：
①設(shè)點：設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)；②代入：代入圓錐曲線方程；③作差：兩式相減，再用平方差公式把上式展開；④整理：轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解．
(2)“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．由于“點差法”具有不等價性，所以在使用時要考慮判別式Δ是否為正數(shù)
考向四 圓錐曲線中的綜合性問題
【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點在 x軸上的橢圓C： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,b2)＝1經(jīng)過點(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點T(2，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(點A在 x軸的下方).
(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，求直線l的斜率k.
【解析】 (1) 因為橢圓 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,b2)＝1經(jīng)過點(b，2e)，所以 eq \f(b2,8)＋ eq \f(4e2,b2)＝1.
因為e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(c2,8)，所以 eq \f(b2,8)＋ eq \f(c2,2b2)＝1.因為a2＝b2＋c2，所以 eq \f(b2,8)＋ eq \f(8－b2,2b2)＝1，
整理，得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍去)，所以橢圓C的方程為 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.
(2) 方法一：分別過點A，B作橢圓右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，再過點B作BM⊥AA′，垂足為M.
設(shè)TB＝m，由 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))知，TA＝2m.
由(1)知T為橢圓C的焦點，所以BB′＝ eq \f(m,e)，AA′＝ eq \f(2m,e)，所以AM＝ eq \f(m,e)＝ eq \r(2)m.
在Rt△ABM中，BM＝ eq \r(9m2－2m2)＝ eq \r(7)m，所以tan ∠BAM＝ eq \f(\r(7)m,\r(2)m)＝ eq \f(\r(14),2)，故直線l的斜率k為 eq \f(\r(14),2).
方法二：設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，點A(x1，y1)，B(x2，y2).由 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))知，y1＝－2y2，①
依題意，得k≠0，不妨設(shè)m＝ eq \f(1,k)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，
則y1＋y2＝－ eq \f(4m,m2＋2)，② y1y2＝ eq \f(－4,m2＋2)，③ 聯(lián)立①②③，解得m2＝ eq \f(2,7)，即k＝ eq \f(\r(14),2)或k＝－ eq \f(\r(14),2)(舍去).
故直線l的斜率k為 eq \f(\r(14),2).
【變式4-1】如圖，已知橢圓C： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.過點T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(點A在x軸的下方).若 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，求直線l的斜率k.
【解析】 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，點A(x1，y1)，B(x2，y2).由 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，知y1＝－2y2.①
依題意，得k≠0，不妨設(shè)m＝ eq \f(1,k)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－7＝0，
所以y1＋y2＝－ eq \f(2m,m2＋2)，② y1y2＝ eq \f(－7,m2＋2)，③ 聯(lián)立①②③，解得m2＝14，即k＝－ eq \f(\r(14),14)(舍去)或k＝ eq \f(\r(14),14)，
故直線l的斜率k為 eq \f(\r(14),14).
【變式4-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點分別為A，B．F是橢圓的右焦點，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．
(1)求橢圓C的方程；
(2)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，證明直線l過定點，并求出定點的坐標(biāo)．
【解析】(1)由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)．因為EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，
所以EQ \B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))解得eq \B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))從而b2＝a2－c2＝3．所以橢圓C的方程eq \f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．
(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因為直線l不過點A，因此－2k＋m≠0．
由eq \B\lc\{(\a\al(\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1，,y＝k＋m，))得(eq 3＋4k\s\up6(2))x\s\up6(2)＋8kmx＋4m\s\up6(2)－12＝0．則eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＝\f(－8km,3＋4k\s\up6(2))，x1x2＝EQ \F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))．
所以k1＋k2＝EQ \F(y\S\DO(1),x\S\DO(1)＋2)＋EQ \F(y\S\DO(2),x\S\DO(2)＋2)＝EQ \F(2kx\S\DO(1)x\S\DO(2)＋(2k＋m)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4m,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4)＝EQ \F(2k·\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋(2k＋m)·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4m,\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋2·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4)
＝EQ \F(12(m－2k),4\b\bc\((\l(m\S(2)－4km＋4k\S(2))))＝EQ \F(3,m－2k)．
由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(－5，0)．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 隨堂檢測
1.直線y＝kx－k＋1與橢圓 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的位置關(guān)系為( )
A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 不確定
【答案】 A
【解析】 直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(1，1).又點(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．
2. 過點(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有( )
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
【答案】 C
【解析】 結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，直線y＝1，過點(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0).
3.設(shè)為拋物線的焦點，點在上，點，若，則
A．2B．C．3D．
【答案】
【解析】為拋物線的焦點，點在上，點，，
由拋物線的定義可知，不妨在第一象限），所以．故選：．
4.已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，
圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．
5.（多選）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為的準(zhǔn)線，則
A．B．
C．以為直徑的圓與相切D．為等腰三角形
【答案】
【解析】直線過拋物線的焦點，可得，所以，所以正確；
拋物線方程為：，與交于，兩點，直線方程代入拋物線方程可得：，
，所以，所以不正確；，的中點的橫坐標(biāo)：，中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正確．故選：．
6.已知橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)( eq \r(2)，0)是橢圓C的右焦點，過點F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________________．
【答案】 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1
【解析】 由題意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\r(2)，,\f(2b2,a)＝2，,a2＝b2＋c2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(2)，))所以橢圓C的方程為 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1.
7.經(jīng)過橢圓 eq \f(x2,2)＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點．設(shè)O為坐標(biāo)原點，則 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))的值為________．
【答案】 － eq \f(1,3)
【解析】 依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1，0)時，其方程為y＝x－1，代入橢圓方程消去y并整理，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝ eq \f(4,3)，所以兩個交點坐標(biāo)分別為(0，－1)，（ eq \f(4,3)， eq \f(1,3)），所以 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3).同理，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3)，故 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))的值為－ eq \f(1,3).
8.已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點，與軸、軸分別相交于，兩點，且，，則的方程為 ．
【答案】．
【解析】設(shè)，，，，線段的中點為，由，，相減可得：，則，設(shè)直線的方程為：，，，，，，
，，，，解得，，，
化為：．，，解得．的方程為，即，
故答案為：．
9.已知直線與拋物線交于，兩點，．
（1）求；
（2）設(shè)為的焦點，，為上兩點，且，求面積的最小值．
【解析】設(shè)，，，，聯(lián)立，消去得：，
，，△，，，
，
，，，，
（2）由（1）知，所以，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線，，，，
由，可得，所以，，△，
因為，所以，
即，即，
將，，代入得，
，所以，且，解得或．
設(shè)點到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
又或，所以當(dāng)時，的面積.圓錐曲線方程
直線斜率
橢圓：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
k＝－eq \f(b2x0,a2y0)
雙曲線：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
k＝eq \f(b2x0,a2y0)
拋物線：y2＝2px(p＞0)
k＝eq \f(p,y0)

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