考點(diǎn)一：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1．兩直線的交點(diǎn)
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點(diǎn)A(a，b)．
(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0. ))
2．兩直線的位置關(guān)系
【題型歸納】
題型一：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1．（2023秋·高二）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩直線垂直可得，聯(lián)立解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】易知直線的斜率為，
由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；
聯(lián)立，解得；
即交點(diǎn)為
故選：C.
2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)與直線 的位置關(guān)系求出斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求解.
【詳解】聯(lián)立方程 ，解得 ，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
直線 的斜率為 ，所以所求直線方程的斜率為 ，
由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為 ，即 ；
故選：B.
3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出交點(diǎn)，再根據(jù)平行關(guān)系求方程即可.
【詳解】解：聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)為，
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以，所求直線的方程為，即．
故選：B．
題型二：由直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
4．（2021秋·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校）已知點(diǎn)，若直線與線段總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直線與線段有交點(diǎn)得出不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與線段總有公共點(diǎn)，
所以點(diǎn)和點(diǎn)不同在直線的一側(cè)，
所以，
解得或.
即的取值范圍是.
故選：B
5．（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？计谥校┮阎€段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判斷出直線所過定點(diǎn)，結(jié)合圖象求得的取值范圍
【詳解】直線恒過的定點(diǎn)，.
當(dāng)時(shí)，直線方程為，與線段有交點(diǎn)，符合題意.
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，則，
解得或，綜上，.
故選：C
6．（2022·江蘇·高二）已知直線與射線恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意聯(lián)立方程得，再解不等式即可得答案；
【詳解】聯(lián)立，得，
∵直線與射線恒有公共點(diǎn)，
∴，
解得.
∴m的取值范圍是.
故選：C.
題型三：由交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)
7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（ ）
A．20B．-4C．12D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程求得的值，再由兩種的交點(diǎn)為，列出方程組求得的值，即可求解.
【詳解】由兩直線與垂直，可得，即，
又由兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是，可得，解得，
所以.
故選：A.
8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得到交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得到，再解不等式組即可.
【詳解】，即交點(diǎn)為.
因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.
故選：A
9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)
C．個(gè)D．個(gè)
【答案】C
【分析】分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)，則三條直線不能構(gòu)成三角形.
【詳解】三條直線不能構(gòu)成三角形 至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).
若∥，則；若∥，則；
若∥，則的值不存在；
若三條直線相交于同一點(diǎn)，
直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;
直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;
三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合或.
故實(shí)數(shù)的取值最多有個(gè).
故選:C
題型四：三直線可以圍成三角形問題
10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≠B．a(chǎn)≠
C．a(chǎn)≠且a≠D．a(chǎn)≠且a≠1
【答案】C
【分析】由三條直線兩兩不平行，且不交于同一點(diǎn)可得．
【詳解】已知三條直線能構(gòu)成三角形，首先不平行，
若，則三條直線圍成三角形，
若，則，，解得，
時(shí)，由，得，代入得，或，因此
綜上：且．
故選：C．
11．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）若三條直線能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是（ ）
A．或B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】先排除平行與重合情況，再排除交于一點(diǎn)的情況，最后給出答案.
【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn).
①若，則由，得.
②若，則由，得.
③若，則由，得.
當(dāng)時(shí)，與三線重合，當(dāng)時(shí)，平行.
④若三條直線交于一點(diǎn)，由解得
將的交點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程，
解得（舍去）或.
所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需且.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查直線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.
12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若三條直線，，構(gòu)成三角形，則的取值范圍是( )
A． B．， C． D．，
【答案】A
【分析】由題意可得，三條直線中任意兩條不平行，且三條直線不共點(diǎn)，由此求得的范圍．
【詳解】解：三條直線，，構(gòu)成三角形，
故三條直線中任意兩條不平行，且三條直線不共點(diǎn)．
而直線和交于原點(diǎn)，無(wú)論為何值，直線總不經(jīng)過原點(diǎn)，
因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，
所以，
故選：A．
題型四：直線交點(diǎn)系方程問題
13．（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得直線恒過的定點(diǎn)，判斷兩直線位置關(guān)系，找到與的關(guān)系，利用均值不等式求最值.
【詳解】直線可整理為，故恒過定點(diǎn)，即為A的坐標(biāo)；
直線整理為，故恒過定點(diǎn)，即為B坐標(biāo)；
又兩條直線垂直，故可得，
即
整理得
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.
故選：A.
14．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若P(2,3)既是的中點(diǎn),又是直線與直線的交點(diǎn),則線段AB的中垂線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直線與直線方程相減可得：，把點(diǎn)代入可得：，進(jìn)而得出線段的中垂線方程．
【詳解】解：直線與直線方程相減可得：
，
把點(diǎn)代入可得：，
線段的中垂線方程是，化為：．
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
15．（2022秋·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線：，點(diǎn)，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意得直線恒過點(diǎn)，進(jìn)而得直線的斜率的取值范圍為：或，再根據(jù)，解不等式即可得答案.
【詳解】直線方程變形得：.
由得，∴直線恒過點(diǎn)，
，，
由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，
又，
∴或，即或，
又時(shí)直線的方程為，仍與線段相交，
∴的取值范圍為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)直線系方程得直線恒過點(diǎn).考查數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算求解能力，是中檔題.
題型五：直線交點(diǎn)綜合問題
16．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形中，邊所在直線方程為，邊所在直線方程為．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別求與邊所在直線的方程．
【答案】(1)
(2)所在直線方程為，所在直線方程為.
【分析】（1）直接聯(lián)立方程組即可得到的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)，，設(shè)平行一般式，解出其中未知數(shù)即可.
【詳解】（1）聯(lián)立，解得，
所以.
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以，設(shè)所在直線的方程為：，
代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，得，
所以所在直線的方程為：，
同理，設(shè)所在直線的方程為：，
代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，得，
所以所在直線的方程為：.
17．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點(diǎn)，，所在的直線方程為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直可得答案；
（2）根據(jù)，及的方程可得C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可得答案.
【詳解】（1）由條件設(shè)，因?yàn)樗诘闹本€和垂直，
∴，∴.
∴，.
（2）設(shè)，，因?yàn)?，∴?br>∴.
∴，，因?yàn)樵?，?
∴，∴，
∴的方程為，即.

18．（2022秋·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校?？计谥校?）己知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求直線的方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距和軸上的截距相等的直線的方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）設(shè)，將中點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；由垂直關(guān)系可求得直線方程，與直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式可整理得到直線的方程；
（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合直線斜率可得方程；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合直線方程截距式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知：點(diǎn)在直線上，則可設(shè)，
中點(diǎn)為，，解得：，
，，直線方程為：，即，
由得：，即；
直線的方程為：，即；
（2）設(shè)直線在軸上的截距分別為，
當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，則直線斜率，
直線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線方程為，則，
直線方程為；
綜上所述：直線方程為或.
【雙基達(dá)標(biāo)】
一、單選題
19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩直線和，相交于點(diǎn)，則的值分別是（ ）
A．7，1B．1，7
C．D．
【答案】B
【分析】將點(diǎn)分別代入兩直線方程即可解得，.
【詳解】將點(diǎn)代入直線的方程可得，解得；
將代入直線的方程可得，解得；
故選：B
20．（2023秋·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（ ）
A．20B．C．12D．4
【答案】A
【分析】由直線與互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再將垂足代入兩直線方程可求出，繼而可求.
【詳解】因?yàn)橹本€與互相垂直
所以，解的，
所以直線為，
又垂足為，可得，解得，
則垂足為，又其在上，
可得，解得.
所以，
故選：A.
21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（ ）
A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)m值，進(jìn)而驗(yàn)證是否滿足題設(shè)，即可得答案.
【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，
若平行，則，即；
若平行，則，即無(wú)解；
若平行，則，即；
若三條直線交于一點(diǎn)，，可得或；
經(jīng)檢驗(yàn)知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個(gè).
故選：B
22．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，進(jìn)而得出交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)為兩交點(diǎn)的中點(diǎn)建立等式，求出的值，從而即可解決問題.
【詳解】如果直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，不符合題意；
所以直線斜率存在設(shè)為，
則直線方程為，
聯(lián)立直線得： ，
聯(lián)立直線得：，，
所以直線與直線，直線的交點(diǎn)為：
，
又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點(diǎn)平分，
所以，
解得：，
所以直線的方程為：，
故選：B.
23．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】聯(lián)立方程計(jì)算交點(diǎn)為，根據(jù)直線垂直得到，得到直線方程.
【詳解】，解得，故直線交點(diǎn)為，
直線的斜率，故垂直于它的直線斜率，
故所求直線方程為，整理得到.
故選：B
24．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系即可求解.
【詳解】因?yàn)槭侵本€和的公共點(diǎn)，
所以，且，
所以兩點(diǎn)和都在同一條直線上，
故兩點(diǎn)和所確定的直線方程是，
故選:A.
25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．
(1)求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由，可得直線的斜率，從而可得，聯(lián)立方程組即可求得交點(diǎn)；
（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式即可求解.
【詳解】（1）（1）因?yàn)?，又直線的斜率,
所以直線的斜率,則.
由
所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)
令得，令得，
因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知在中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，的中點(diǎn)在軸上，的中點(diǎn)在軸上．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)求直線MN的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得解；
（2）先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)直線方程的截距式即可得解.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在軸上，的中點(diǎn)在軸上，
所有，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由（1）知，，
由直線方程的截距式，得直線的方程為，即.
27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：，直線過點(diǎn)且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，求直線，，所圍成的三角形的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直確定直線m的斜率，根據(jù)直線過的點(diǎn)即可求得答案；
（2）根據(jù)直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，可得n的方程，進(jìn)而求出直線，，所圍成的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知直線：的斜率為，
直線過點(diǎn)且與直線垂直，則，
故直線的方程為，即；
（2）直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則直線的方程為，
即，

如圖示，設(shè)直線，，所圍成的三角形為,
則,
聯(lián)立，解得，即,
聯(lián)立，解得，即,
直線與y軸的交點(diǎn)為，
故直線，，所圍成的三角形的面積為.
【高分突破】
一、單選題
28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點(diǎn)和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點(diǎn)，再根據(jù)反射光線經(jīng)過入射點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可得解.
【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，
聯(lián)立方程組解得即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)P關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
則解得即．
因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過入射點(diǎn)和點(diǎn)，
所以反射光線所在直線的斜率為，
所以反射光線所在的直線方程為，
即．
故選：D
29．（2022秋·廣東佛山·高二佛山一中校考期中）著兩條直線和的交點(diǎn)在第四象限，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第四象限列出不等式即可求出.
【詳解】聯(lián)立，可解得，
因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，所以，解得.
故選：A.
30．（2022秋·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┮阎粭l光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再利用反射光線過點(diǎn)，即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，化簡(jiǎn)得，解得，
故反射光線過點(diǎn)與點(diǎn)，
則反射光線所在直線的方程為.
故選：C.
31．（2022秋·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，邊上的高所在直線方程為，得到邊所在直線的方程，再與邊上的中線所在直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)C，設(shè)，由點(diǎn)B在AC的高線上和AB的中線上求解.
【詳解】解：因?yàn)?，邊上的高所在直線方程為，
所以，
所以邊所在直線的方程為，即.
又邊上的中線所在直線方程為，
由，解得，
所以.
設(shè)，則線段的中點(diǎn)，
則
解得
即，
所以所在直線的方程為.
故選：D
32．（2022秋·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得直線（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），由0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得b； ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．
【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為 1，
由于直線與x軸的交點(diǎn)為M，
由直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，
故0，故點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：
則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），
把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，求得a＝b．
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：
此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，
則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．
設(shè)直線和AC的交點(diǎn)為P，則由 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 ，
即，化簡(jiǎn)可得 ．
由于此時(shí) b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
兩邊開方可得 1，∴，化簡(jiǎn)可得，
故有1．
綜上可得b的取值范圍應(yīng)是 ，
故選：B．
二、多選題
33．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線：，直線：，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)為B．直線恒過點(diǎn)
C．若，則D．若，則或
【答案】ABC
【分析】求出兩直線的交點(diǎn)判斷A，求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷B，根據(jù)兩直線垂直、平行求出參數(shù)，即可判斷C、D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)直線：，直線：，由，
解得，所以兩直線的交點(diǎn)為，故A正確；
對(duì)于B：直線：，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；
對(duì)于D：若，則，解得或，
當(dāng)時(shí)直線：，直線：兩直線重合，故舍去，
當(dāng)時(shí)直線：，直線：，兩直線平行，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
34．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知直線與，則下列說法正確的是（ ）
A．與的交點(diǎn)坐標(biāo)是
B．過與的交點(diǎn)且與垂直的直線的方程為
C．，與x軸圍成的三角形的面積是
D．的傾斜角是銳角
【答案】BC
【分析】由已知聯(lián)立方程即可求解直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可判斷A；由直線垂直確定垂直的直線的斜率則可求得直線方程，即可判斷B；根據(jù)直線與直線的位置確定，與x軸圍成的三角形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)即可得面積，從而可判斷C；由直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷D.
【詳解】與 可得，，
解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤；
由所求直線與直線垂直得所求直線的斜率為，
由點(diǎn)斜式得，即，所以B正確；
如圖，與軸相交于，與軸相交于，
與相交于

所以，與x軸圍成的三角形的面積，所以C正確；
的斜率，所以的傾斜角是鈍角，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC.
35．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省太和中學(xué)?？几?jìng)賽）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線的傾斜角的取值范圍是
B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
C．若直線與直線相交，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
【答案】BD
【分析】根據(jù)斜率為求得的范圍可判斷A；根據(jù)兩直線垂直的等價(jià)條件和充分條件必要條件的定義可判斷B；由兩直線相交得出，因?yàn)?，所以，解不等式可判斷C；分為兩種情況討論，當(dāng)在軸和軸上截距都為時(shí)；當(dāng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距相等不為時(shí)，求出直線方程可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：直線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，與直線斜率乘積等于，兩直線互相垂直，所以充分性成立；
若“直線與直線互相垂直”，則可得或，所以不一定有，故必要性不成立，
所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)橹本€與直線相交，
所以兩直線的斜率不相等，即，即，
由與消去得，
因?yàn)?，所以，整理得且?br>解得或，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：當(dāng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都為時(shí)，所求直線方程為，
當(dāng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距相等不為時(shí)，設(shè)所求直線方程為，即，可得，所求直線的方程為，
綜上，所求直線方程為或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BD.
36．（2023秋·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)一中?？计谀┮阎獌蓷l直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．若，則或
C．當(dāng)時(shí)，與相交于點(diǎn)
D．直線過定點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系分別判斷AB，列方程組求得方程組的解得直線交點(diǎn)坐標(biāo)判斷C，由直線方程觀察得定點(diǎn)坐標(biāo)判斷D．
【詳解】時(shí)，，，A正確；
，則，或，
其中時(shí)，方程為，即，方程為，兩直線平行，
時(shí)，兩直線方程均為，兩直線重合，不平行，B錯(cuò)；
時(shí)，由得，即兩直線交點(diǎn)為，C正確；方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一組
無(wú)數(shù)組
無(wú)解
直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
一個(gè)
無(wú)數(shù)個(gè)
零個(gè)
直線l1與l2的位置關(guān)系
相交
重合
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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

1.4 兩條直線的交點(diǎn)

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

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