?第07講 兩條直線的交點(diǎn)
【題型歸納目錄】
題型一：求直線的交點(diǎn)
題型二：由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系
題型三：由直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)
題型四：由直線交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)
題型五：三線能否圍成三角形問題
題型六：直線交點(diǎn)系方程
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)
求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).
知識(shí)點(diǎn)二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．
過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．
【典例例題】
題型一：求直線的交點(diǎn)
【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（????）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（　?。?br /> A． B．
C． D．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（????）．
A． B．
C． D．

題型二：由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系
【例2】（2023·高二單元測試）已知直線，是直線l外一點(diǎn)，那么直線（????）
A．過點(diǎn)P且與直線l斜交
B．過點(diǎn)P且與直線l重合
C．過點(diǎn)P且與直線l平行
D．過點(diǎn)P且與直線l垂直

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）曲線與的交點(diǎn)的情況是（????）
A．最多有兩個(gè)交點(diǎn) B．兩個(gè)交點(diǎn)
C．一個(gè)交點(diǎn) D．無交點(diǎn)

題型三：由直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)
【例3】（2023·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)k的值為（????）
A．或 B．或 C．或 D．且

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（????）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線與射線恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．

題型四：由直線交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)
【例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）兩條直線和的交點(diǎn)在第二象限，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．(,) B．(,0)
C．(0,) D．()

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是（???）
A． B．
C． D．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A．或 B． C． D．

題型五：三線能否圍成三角形問題
【例5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（????）
A．a(chǎn)≠ B．a(chǎn)≠
C．a(chǎn)≠且a≠ D．a(chǎn)≠且a≠1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·江蘇徐州·高二?？计谥校┤羧龡l直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（????）
A．個(gè) B．個(gè)
C．個(gè) D．個(gè)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)a的取值不可能為（????）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1

題型六：直線交點(diǎn)系方程
【例6】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·安徽六安·高二?？计谥校┮阎獌芍本€和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為_________ .

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求過兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：
(1)斜率為；
(2)過點(diǎn)；
(3)平行于直線．





【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是（???）
A． B．
C． D．
2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（???）
A．20 B．-4 C．12 D．4
3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A．或 B． C． D．
4．（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）過點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為（????）
A． B．
C． D．
5．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)校考期末）過兩直線的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（????）
A． B． C． D．
6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則k的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
7．（2023·廣西貴港·高二?？茧A段練習(xí)）直線恒過定點(diǎn)（???）
A． B． C． D．
8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（????）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
二、多選題
9．（2023·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（????）．
A． B． C． D．
10．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┤羧龡l不同的直線：，：，：不能圍成一個(gè)三角形，則的取值可能為（????）
A．－2 B．2 C．4 D．6
11．（2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┮阎本€l：，其中，下列說法正確的是（????）
A．當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直
B．若直線l與直線平行，則
C．直線l過定點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
12．（2023·廣東廣州·高二?？计谥校┤魞蓷l直線和的交點(diǎn)在第四象限，則k的取值可以是（????）
A． B． C． D．
三、填空題
13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為__________．
14．（2023·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與：交于點(diǎn)P，則的值為________．
15．（2023·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個(gè)直角三角形，則__________．
16．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線，，不能圍成三角形，則m的值等于______．
四、解答題
17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線都恒過一定點(diǎn)．




18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過直線l1：和l2：的交點(diǎn)，且平行于直線l3：的直線l的方程．




19．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知 的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
(1)求直線的方程；
(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).




20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在中，邊上的高所在的直線的方程為，角的平分線所在直線的方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求直線的方程;
(3)求點(diǎn)的坐標(biāo).




21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，其垂心為，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．




22．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．
(1)求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．






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