?第一章 直線與方程
第04講 兩條直線的交點

目標(biāo)導(dǎo)航


課程標(biāo)準(zhǔn)
重難點
1.能用解方程組的方法求兩直線的交點
2.掌握兩直線相交的條件
1.兩條直線交點的求解


知識精講

知識點01 兩條直線的交點
設(shè)兩直線,直線
方程組的解
一組
無數(shù)組
無解
直線和的公共點個數(shù)
一個
無數(shù)組
零點
直線和的位置關(guān)系
相交
重合
平行

注意:
(1)將兩直線方程聯(lián)立解方程組, 依據(jù)解的個數(shù)判斷兩直線是否相交. 當(dāng)方程組只有一解時, 兩直線相交.
(2)設(shè),則與相交的條件是
(3)設(shè)兩條直線,則與相交.

【即學(xué)即練1】 過兩條直線與的交點，傾斜角為的直線方程為(???????)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由解得，故兩直線交點為(－1，2)，故直線方程是：，即．故選：A．

【即學(xué)即練2】 經(jīng)過兩直線與的交點，且平行于直線的直線方程是（?????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：由，解得，所以直線與的交點為，設(shè)與直線平行的直線為，所以解得，所以直線方程為；故選：D



知識點02 經(jīng)過兩直線交點的直線方程
經(jīng)過兩直線的交點的直線方程為 (除直線), 其中是待定系數(shù).
證明: 假設(shè)為直線的交點,直線

表示過與交點的直線.

【即學(xué)即練3】
已知兩條直線 和 的交點為.求:
(1) 過點與的直線方程;
(2) 過點且與直線垂直的直線方程.

【解析】
設(shè)過直線和交點的直線方程為 (除直線,即 (1).
(1) 把點代人方程(1), 化簡得,解得.所以過兩直線交點與的直線方程為 , 即.
(2) 由題意得方程 (1) 表示的直線與直線垂直,則, 解得,所以所求直線的方程為,即.


能力拓展

◆考點01 根據(jù)交點坐標(biāo)求參數(shù)或取值范圍
【典例1】直線 與直線互相垂直，且兩直線交點位于第三象限，則實數(shù)a的值為（???????）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
【答案】C
【解析】
由直線 與直線互相垂直，可得 ，解得 或3，
當(dāng)時，聯(lián)立 ，解得交點坐標(biāo)為 ，不合題意；
當(dāng)時，聯(lián)立 ，解得交點坐標(biāo)為 ，合乎題意，
故實數(shù)a的值為 ，故選:C

【典例2】設(shè)點，，直線l過點且與線段AB不相交，則l的斜率的取值范圍是（???????）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】C
【解析】
直線方程為，即，直線方程為，由，解得，由，得，此時直線與線段有公共點，所以直線與線段不相交時，或．故選：C．


◆考點02 多直線交點個問題
【典例3】 若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（???????）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【答案】C
【解析】
由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，
∵直線和直線不平行，
∴直線和直線平行或直線和直線平行，
∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，
∴或.故選：C.

【典例4】 若三條直線，，將平面劃分成6個部分，則實數(shù)的取值情況是（???????）
A．只有唯一值 B．有兩個不同的值
C．有三個不同的值 D．無窮多個值
【答案】C
【解析】
若三條直線，，將平面劃分成6個部分，則其中有兩條直線互相平行，第三條直線和這兩條平行線相交，此時或；或者三條直線經(jīng)過同一個點，聯(lián)立解得則點（2，2）在直線上，此時．綜上，或或，故選：C．

【典例5】 若三條直線能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是（???????）
A．或 B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點.
①若，則由，得.
②若，則由，得.
③若，則由，得.
當(dāng)時，與三線重合，當(dāng)時，平行.
④若三條直線交于一點，由解得將的交點的坐標(biāo)代入的方程，解得（舍去）或.所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需且.故選：D.



◆考點03 求經(jīng)過兩直線交點坐標(biāo)的直線系方程
【典例6】 過兩直線和的交點和原點的直線方程為
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標(biāo)，求得，故所求直線方程為，即.

【典例7】 經(jīng)過直線和的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（???????）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
解：設(shè)直線方程為，即
令，得，令，得.由，得或.
所以直線方程為或.故選：C.

【典例8】 原點到直線的距離的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因為可化為，所以直線過直線與直線交點，聯(lián)立可得
所以直線過定點，當(dāng)時，原點到直線距離最大，最大距離即為，此時最大值為，故選：C.




分層提分


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一、單選題
1．過原點和直線與的交點的直線的方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由可得，故過原點和交點的直線為即，故選：C.
2．已知直線過直線和的交點，且與直線垂直，則直線的方程為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
聯(lián)立，解得，∴直線x﹣y+2＝0和2x+y+1＝0的交點為（﹣1，1），又直線l和直線x﹣3y+2＝0垂直，∴直線l的斜率為﹣3．則直線l的方程為y﹣1＝﹣3（x+1），即3x+y+2＝0．故選：A．
3．已知線段AB兩端點的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點，則實數(shù)m的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
直線恒過的定點，.
當(dāng)時，直線方程為，與線段有交點，符合題意.
當(dāng)時，直線的斜率為，則，
解得或，綜上，.
故選：C

4．經(jīng)過兩直線與的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（???????）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
.當(dāng)所求直線過原點時，直線方程為，即.
當(dāng)所求直線不過原點時，設(shè)直線方程為，代入得，直線方程為.
所以所求直線方程為或.故選：D
5．若直線與直線交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
當(dāng)時，，與平行，不合題意，∴.由題設(shè)，，解得，∴或.故選：C
二、多選題
6．與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（???????）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】
對于A，聯(lián)立，方程組無解，兩直線平行；
對于B，聯(lián)立方程組，解得：，有唯一解，與原直線相交；
對于C，聯(lián)立方程組有無數(shù)解，與原直線重合；
對于D，聯(lián)立方程組有唯一解，與原直線相交.
故選：BD.
7．已知兩條直線，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．當(dāng)時， B．若，則或
C．當(dāng)時，與相交于點 D．直線過定點
【答案】ACD
【解析】
解：因為，對于A：當(dāng)時，，則、，所以，所以，故A正確；
對于B：若，則，解得或，當(dāng)時，滿足題意，當(dāng)時，與重合，故舍去，所以，故B錯誤；
對于C：當(dāng)時，，則，解得，即兩直線的交點為，故C正確；
對于D：，即，令，即，即直線過定點，故D正確；
故選：ACD
8．已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．不存在，使得的傾斜角為90°
B．對任意的，與都有公共點
C．對任意的，與都不重合
D．對任意的，與都不垂直
【答案】BD
【解析】
A：當(dāng)時，，符合傾斜角為90°，錯誤；
B：過定點，而也在上，對任意的，與都有公共點，正確；
C：當(dāng)時，，顯然與重合，錯誤；
D：要使與都垂直則，顯然不存在這樣的值，正確.
故選：BD

三、填空題
9．已知直線與直線垂直，那么與的交點坐標(biāo)是______________.
【答案】
【解析】
解：根據(jù)兩條直線垂直的充要條件得：，解得，所以，與直線聯(lián)立方程解方程得：，.所以與的交點坐標(biāo)是.故答案為：
10．若直線經(jīng)過直線和的交點，則___________.
【答案】
【解析】
由題意，直線，，交于一點，所以，得，
所以直線過點，得，求解得.故答案為：
11．若，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，則使這個四邊形面積最小的k值中______．

【答案】
【解析】
如圖所示，直線，過定點，與軸的交點，直線過定點，與軸的交點，由題意知，四邊形的面積等于的面積和梯形的面積之和，所以所求四邊形的面積為：，當(dāng)時，所求四邊形的面積最小.故答案為：


四、解答題
12．三條直線??有且只有兩個交點，求實數(shù)的值.
【答案】或
【解析】
【詳解】由得：，即有一個交點，或；即或，解得：或.
13．若直線與直線的交點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】
【解析】
由得所以兩直線的交點坐標(biāo)為.又此交點在第四象限，
所以解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：
14．已知直線，，.
(1)若這三條直線交于一點，求實數(shù)m的值；
(2)若三條直線能構(gòu)成三角形，求m滿足的條件.
【答案】(1)2； (2)當(dāng)m≠2且m≠－2且m≠.
【解析】
(1)由解得，代入的方程，得m＝2.
(2)當(dāng)三條直線相交于一點或其中兩直線平行時三條直線不能構(gòu)成三角形．
①聯(lián)立，解得，代入，得；
②當(dāng)與平行時，，
當(dāng)與平行時，．
綜上所述，當(dāng)且時，三條直線能構(gòu)成三角形．

題組B 能力提升練
一、單選題
1．平面上三條直線，若這三條直線將平面劃分為六個部分，則實數(shù)k可能的取值情況是（???????）
A．只有唯一值 B．有兩個不同值 C．有三個不同值 D．無窮多個值
【答案】C
【解析】
由題意可知，任意兩條直線平行，且與第三條直線相交或三條直線相交于同一點即可，
因為直線與不平行，因此分三種情況：
①直線與直線平行，則；
②直線與直線平行，則；
③直線過直線與直線的交點，因為，所以，所以，
故實數(shù)k可能的取值是，
故選：C.
2．已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（???????）
A．無論，，如何，方程組總有解
B．無論，，如何，方程組總有唯一解
C．存在，，，方程組無解
D．存在，，，方程組無窮多解
【答案】B
【解析】
已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，
所以,即,并且，.
所以
得：即,
所以方程組有唯一解.
故選：B
3．若直線：與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】聯(lián)立兩直線方程得：，得，所以兩直線的交點坐標(biāo)為，因為兩直線的交點在第一象限，所以得到，解得，即，
設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，故選：D.
4．已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依題意兩直線和的交點為，所以在直線上，所以過兩點所在直線方程為，故選：B
5．若三條直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（???????）
A．個 B．個
C．個 D．個
【答案】C
【解析】
三條直線不能構(gòu)成三角形 至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點.
若∥，則；若∥，則；
若∥，則的值不存在；
若三條直線相交于同一點，
直線和聯(lián)立：，直線和交點為;
直線和聯(lián)立：，直線和交點為;
三條直線相交于同一點兩點重合或.
故實數(shù)的取值最多有個.故選:C


二、多選題
6．若兩條直線與有交點，則該交點坐標(biāo)就是方程組的實數(shù)解，給出以下三種說法：
①若方程組無解，則兩直線平行；
②若方程組只有一解，則兩直線相交；
③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．
其中說法正確的有（???????）
A．① B．② C．③ D．以上都不正確
【答案】ABC
【解析】
對于①，若方程組無解，則兩條直線無交點，兩直線平行，故①正確；
對于②，若方程組只有一解，說明兩條直線只有一個交點，則兩直線相交，故②正確；
對于③，若方程組有無數(shù)多解，說明兩條直線有無數(shù)多個交點，則兩直線重合，故③正確.
故選：ABC
7．設(shè)直線，，則下列說法錯誤的是（???????）
A．直線或可以表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一條直線
B． 與至多有無窮多個交點
C．的充要條件是
D．記與的交點為，則可表示過點的所有直線
【答案】ACD
【解析】
解：對于A：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為（為直線與軸的交點的橫坐標(biāo)）此時直線或的方程無法表示，故A錯誤；
對于B：當(dāng)且時，兩直線重合，此時兩直線有無窮多個交點，故B正確；
對于C：當(dāng)且時，故C錯誤；
對于D：記與的交點為，則的坐標(biāo)滿足且滿足，則不表示過點的直線，故D錯誤；
故選：ACD
8．下列說法不正確的是（?????）
A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2
B．若三條直線，，能構(gòu)成三角形，則的取值范圍是不等于且不等于1
C．過，兩點的直線方程為
D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或
【答案】BCD
【解析】
解：對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以A正確；
對于B，能構(gòu)成三角形則需排除以下三種情況：（1）與平行，則；（2）與平行，則；（3）過與的交點，則.故的取值范圍是不等于且不等于且不等于3.
所以B錯誤；
對于C，當(dāng)或時，不能利用兩點式求直線方程，所以C錯誤；
對于D，當(dāng)直線的截距為零時，設(shè)直線方程為，則，所以直線方程為，當(dāng)當(dāng)直線的截距不為零時，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，所以經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D錯誤.
故選:BCD.

三、填空題
9．已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．
【答案】
【解析】
設(shè)直線l的斜率為，因為直線l過，
所以直線方程為，由，
由，由題意可知：是截得的線段的中點，所以，即，故答案為：
10．直線l：，直線l交x軸于點A，交y軸于點B，若的面積為4，則滿足條件的直線有______條．
【答案】3
【解析】
解：當(dāng)時，顯然不成立．當(dāng)，對直線l：，
時，；時，，∴，，
∵，∴，解得或，∴共三條，
故答案為：3．
11．若關(guān)于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．
【答案】
【解析】
依題意二元一次方程組有無窮多組解，即兩個方程對應(yīng)的直線重合，由，解得或.
當(dāng)時，二元一次方程組為，兩直線不重合，不符合題意.
當(dāng)時，二元一次方程組為，兩直線重合，符合題意.
綜上所述，的值為.
故答案為：

四、解答題
12．已知兩直線，.
(1)求過，交點，且在兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程；
(2)若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)的值.
【答案】(1)或 (2)或或
【解析】
(1)由，解得：
所以點的坐標(biāo)為.
設(shè)所求直線為，（?。┊?dāng)直線在兩坐標(biāo)軸截距為不零時，
設(shè)直線方程為:，
則，解得，
所以直線的方程為，即.
（ⅱ）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸截距為零時，設(shè)直線方程為:
設(shè)直線方程為：，
則，解得，
所以直線的方程為，即.
綜上，直線的方程為或.
(2)（ⅰ）當(dāng)與平行時不能構(gòu)成三角形，此時：，解得；
（ⅱ）當(dāng)與平行時不能構(gòu)成三角形，此時：
，解得；
（ⅲ）當(dāng)過的交點時不能構(gòu)成三角形，此時：
，解得.
綜上，當(dāng)或或時，不能構(gòu)成三角形.
13．已知直線l1: x＋y－1＝0，直線l2: 2x－y＋3＝0，求直線l2關(guān)于直線l1對稱的直線l的方程．
【答案】.
【解析】由解得所以直線l過點P.
又顯然Q(－1, 1)是直線l2上一點，設(shè)點Q關(guān)于直線l1的對稱點為Q′(x0, y0)，
則解得?????即Q′(0, 2)．
因為直線l經(jīng)過點P, Q′，
所以由兩點式得它的方程為.
14．已知直線l：.
(1)求證：直線l過定點；
(2)若直線l被兩平行直線：與：所截得的線段AB的中點恰好在直線上，求的值.
【答案】(1)證明見解析； (2).
【解析】
(1)由已知：，即，
令，解得：x=1，y=4，
∴直線l恒過定點(1,4).
(2)設(shè)直線，分別與直線交于C，D兩點，
由，解得C，
由，解得D，
∴CD的中點M的坐標(biāo)為(－2,－2)，
不妨設(shè)A在直線上，B在直線上，則△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)為AB的中點，
將M代入直線l的方程得：，解得·





題組C 培優(yōu)拔尖練
1．兩條直線和的交點的軌跡方程是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
聯(lián)立，解得由得將代入
可得．故選：A
2．直線，相交于點，其中.
(1)求證：、分別過定點、，并求點、的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)為何值時，的面積取得最大值，并求出最大值.
【答案】(1)證明見解析，，
(2)時，取得最大值
【解析】
(1)在直線的方程中，令可得，則直線過定點，
在直線的方程中，令可得，則直線過定點；
(2)聯(lián)立直線、的方程，解得，即點.
，，
，所以，；
且，因此，當(dāng)時，取得最大值，即.
3．已知直線（，不全為0）與直線（，不全為0）相交于點P，求證：過點P的直線可以寫成 的形式.
【答案】證明見解析
【解析】
設(shè)點 ，
因為直線（，不全為0）與直線（，不全為0）相交于點P，
所以有，，
故成立，
即說明點在直線上；
下面只需證明過點的直線的斜率可以取任意值或斜率不存在；

可變?yōu)?，即該方程表示的是一條直線，
不可能同時為零，否則不相交，則一定存在 使得，
此時表示過P斜率不存在的直線；
當(dāng)時，該直線斜率 ，m,n不能同時為0，總存在m,n使得取到任意實數(shù)，
故綜合上述：過點P的直線可以寫成 的形式 .

相關(guān)試卷

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊4.1 數(shù)列精品復(fù)習(xí)練習(xí)題：

這是一份高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊4.1 數(shù)列精品復(fù)習(xí)練習(xí)題，文件包含同步講義蘇教版2019高中數(shù)學(xué)選修第一冊第14講數(shù)列學(xué)生版docx、同步講義蘇教版2019高中數(shù)學(xué)選修第一冊第14講數(shù)列教師版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共38頁， 歡迎下載使用。

【同步講義】（蘇教版2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第12講 直線與圓錐曲線的關(guān)系 講義：

這是一份【同步講義】（蘇教版2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第12講 直線與圓錐曲線的關(guān)系 講義，文件包含同步講義蘇教版2019高中數(shù)學(xué)選修第一冊第12講直線與圓錐曲線的關(guān)系學(xué)生版docx、同步講義蘇教版2019高中數(shù)學(xué)選修第一冊第12講直線與圓錐曲線的關(guān)系教師版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共98頁， 歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊2.2 直線與圓的位置關(guān)系精品一課一練：

這是一份高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊2.2 直線與圓的位置關(guān)系精品一課一練，文件包含同步講義蘇教版2019高中數(shù)學(xué)選修第一冊第07講直線與圓的位置關(guān)系學(xué)生版docx、同步講義蘇教版2019高中數(shù)學(xué)選修第一冊第07講直線與圓的位置關(guān)系教師版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共68頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

【同步講義】（蘇教版2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第06講 圓與方程 講義

【同步講義】（蘇教版2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第06講 圓與方程 講義
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊1.3 兩條直線的平行與垂直優(yōu)秀一課一練

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊1.3 兩條直線的平行與垂直優(yōu)秀一課一練
蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊1.2 直線的方程精品復(fù)習(xí)練習(xí)題

蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊1.2 直線的方程精品復(fù)習(xí)練習(xí)題
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊1.1 直線的斜率與傾斜角優(yōu)秀課后作業(yè)題

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊1.1 直線的斜率與傾斜角優(yōu)秀課后作業(yè)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

1.4 兩條直線的交點

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部