·模塊一 空間直角坐標(biāo)系
·模塊二 空間向量的坐標(biāo)運算
·模塊三 用空間向量的坐標(biāo)運算解決相關(guān)的幾何問題
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
空間直角坐標(biāo)系
1．空間直角坐標(biāo)系
(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
①空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O(shè)為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
②相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
(2)右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
2．空間一點的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq \(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底 {i，j，k}下與向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)．
【考點1 求空間點的坐標(biāo)】
【例1.1】（2023春·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）平行六面體中，，則點的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點、，且滿足，則點的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1.2】（2023·高二單元測試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點下列敘述中正確的是（ ）
①點關(guān)于軸的對稱點是
②點關(guān)于平面的對稱點是
③點關(guān)于軸的對稱點是
④點關(guān)于原點的對稱點是
A．①②B．①③C．②④D．②③
模塊二
空間向量的坐標(biāo)運算
1．空間向量的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
2．空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【考點1 空間向量運算的坐標(biāo)表示】
【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二?？计谀┮阎?，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【例1.2】（2023春·甘肅張掖·高二校考階段練習(xí)）已知向量則的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1.1】（2023春·全國·高二開學(xué)考試）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1.2】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【考點2 空間向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示】
【例2.1】（2023春·寧夏固原·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【例2.2】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
模塊三
用空間向量的坐標(biāo)運算解決相關(guān)的幾何問題
1．空間向量的平行、垂直及模、夾角
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
2．空間兩點間的距離公式
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).
3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標(biāo)運算可以求得．
【考點1 空間向量的模與兩點間的距離】
【例1.1】（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點關(guān)于平面的對稱點為，而點關(guān)于軸的對稱點為，則（ ）
A．B．C．D．8
【例1.2】（2023·高三課時練習(xí)）已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1.1】（2023春·江蘇常州·高二?？计谥校┢叫辛骟w中，，，，則對角線的長為（ ）
A．B．12C．D．13
【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【考點2 空間向量夾角問題】
【例2.1】（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【例2.2】（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（ ）
A．B．C．或D．2
【變式2.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則向量與的夾角為（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【變式2.2】（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┰O(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角的余弦值為，則（ ）
A．B．C．D．
【考點3 空間向量的平行與垂直】
【例3.1】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)，且，求實數(shù)m，n的值．
【例3.2】（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值.
【變式3.1】（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）已知．
(1)若，求的值．
(2)若，且，求的值．
【變式3.2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知點、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若與垂直，求．
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知點，若向量，則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若點關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A．3B．5C．7D．9
4．（2023春·高二課時練習(xí)）若，則的值為（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（2023·全國·高三對口高考）已知空間三點，則的長和的大小分別是（ ）
A．6，B．，C．6，D．，
6．（2023春·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，若，則（ ）
A．5B．C．4D．
7．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實數(shù)（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江蘇淮安·江蘇省?？寄M預(yù)測）若向量，，且a→,b→的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（ ）.
A．0B．C．0或D．0或
9．（2023·全國·高三對口高考）向量，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，已知和分別為和的中點，與分別為線段和上的動點（不包括端點），若，則線段的長度的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，為直角，AB∥CD，，，，請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo)．
12．（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
13．（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點．
(1)求的距離；
(2)求的值．
14．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，，設(shè)，．
(1)設(shè)，，求；
(2)求與的夾角；
(3)若與互相垂直，求k．
15．（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量．
(1)求；
(2)當(dāng)時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；
(3)若向量與向量共面向量，求的值．向量運算
向量表示
坐標(biāo)表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

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