·模塊一 雙曲線的標準方程
·模塊二 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
·模塊三 課后作業(yè)
模塊一
雙曲線的標準方程
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫
作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標準方程
雙曲線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：
【考點1 曲線方程與雙曲線】
【例1.1】（2023·高二課時練習(xí)）當時，方程所表示的曲線是（ ）
A．焦點在軸的橢圓B．焦點在軸的雙曲線
C．焦點在軸的橢圓D．焦點在軸的雙曲線
【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【變式1.1】（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1.2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┰O(shè)m為實數(shù)，若方程表示焦點在x軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【考點2 利用雙曲線的定義解題】
【例2.1】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
【例2.2】（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5B．6C．8D．12
【變式2.1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（ ）
A．3B．1C．D．
【變式2.2】（2023春·福建南平·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（ ）
A．8B．C．10D．
【考點3 雙曲線的標準方程的求解】
【例3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為，一個頂點為，則雙曲線方程的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例3.2】（2023秋·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式3.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且滿足，則雙曲線的標準方程為（ ）
A．B．C．D．
【考點4 求雙曲線的軌跡方程】
【例4.1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例4.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（ ）
A．B．
C．D．
【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式4.2】（2023秋·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知圓，為圓心，為圓上任意一點，定點，線段的垂直平分線與直線相交于點，則當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
模塊二
雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
2．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
3．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.
【考點1 利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程】
【例1.1】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線的漸近線方程為，實軸長為 ，且焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A．或B．
C．D．
【例1.2】（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1.1】（2023春·四川宜賓·高二?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C與雙曲線有相同的焦點，且其中一條漸近線方程為，則雙曲線C的標準方程是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1.2】（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線 的兩個焦點分別為、，點為雙曲線上一點，，離心率為3，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【考點2 雙曲線的漸近線方程】
【例2.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）雙曲線的漸近線方程是（ ）
A．B．C．D．
【例2.2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線經(jīng)過點，則其漸近線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的離心率為，其漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2.2】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足與雙曲線的左支的交點平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（ ）

A．3B．C．D．
【考點3 求雙曲線的離心率的值或取值范圍】
【例3.1】（2023春·四川宜賓·高二?？计谀┮阎p曲線的離心率e是它的一條漸近線斜率的2倍，則e=（ ）
A．B．C．D．2
【例3.2】（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線與C的一個交點為P，，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【變式3.1】（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式3.2】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的上下焦點分別為，點在的下支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【考點4 雙曲線中的最值問題】
【例4.1】（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（ ）
A．5B．7C．9D．11
【例4.2】（2023·高二課時練習(xí)）是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【變式4.1】（2023·云南昆明·云南省校考模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式4.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為雙曲線的左?右焦點，點在雙曲線的右支上，點是平面內(nèi)一定點.若對任意實數(shù)，直線與雙曲線的漸近線平行，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【考點5 雙曲線的實際應(yīng)用問題】
【例5.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【例5.2】（2023春·江蘇鹽城·高二校考期中）單葉雙曲面是最受設(shè)計師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細處的直徑為 ，樓底的直徑為 ，樓頂直徑為 ，最細處距樓底 ，則該地標建筑的高為（ ）
A． B． C． D．
【變式5.1】（2023·北京海淀·高三校考階段練習(xí)）地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險警報信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujl提出的雙臺子臺陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.在一次地震預(yù)警中，兩地震臺站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺站的距離至少為（ ）
A．B．C．D．
【變式5.2】（2023秋·陜西咸陽·高二?？计谀┤鐖D為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體．若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，則下列曲線中與雙曲線C有共同漸近線的是（ ）
A．B．
C．D．
模塊三
課后作業(yè)
1．（2023秋·高二課時練習(xí)）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023春·四川德陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的（ ）
A．實軸長相等B．虛軸長相等C．離心率相等D．焦距相等
6．（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ，，點P在雙曲線的右支上，若， 則雙曲線C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·四川·成都市?？既＃┮阎p曲線的焦點為、，漸近線為，，過點且與平行的直線交于，若在以線段為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
8．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的離心率是2，左右焦點分別為為雙曲線左支上一點，則的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．4
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為2，左、右焦點分別為，，點A在雙曲線C上，若的周長為10a，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·江蘇揚州·高二?？计谀┮阎?，當為何值時：
(1)方程表示雙曲線；
(2)表示焦點在軸上的雙曲線；
(3)表示焦點在軸上的雙曲線．
12．（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：
(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；
(2)經(jīng)過點和．
13．（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的實軸長為，離心率為.動點P是雙曲線C上任意一點.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點，求線段的中點Q的軌跡方程；
(3)已知點，求的最小值.
14．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎獧E圓的左右焦點分別為，雙曲線與共焦點，點在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程：
（2）已知點P在雙曲線上，且，求的面積．
15．（2022·全國·高二期中）某市為改善市民出行，大力發(fā)展軌道交通建設(shè)，規(guī)劃中的軌道交通s號線線路示意圖如圖所示，已知M、N是東西方向主干道邊兩個景點，P、Q是南北方向主干道邊兩個景點，四個景點距離城市中心O均為，線路AB段上的任意一點N到景點M的距離比到景點的距離都多6km，線路BC段上任意一點到O的距離都相等，線路CD段上的任意一點到景點Q的距離比到景點P的距離都多6km，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系xOy.
（1）求軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程；
（2）規(guī)劃中的線路AB段上需建一站點G到景點Q的距離最近，問如何設(shè)置站點G位置？雙曲線在坐標系中的位置
標準方程
焦點坐標
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關(guān)系
圖形
標準方程
范圍
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
對稱性
關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
頂點
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長
實半軸長為a,虛半軸長為b
離心率
漸近線方程

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