·模塊一 求直線方程的一般方法
·模塊二 兩條直線的位置關系
·模塊三 直線方程的實際應用
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
求直線方程的一般方法
1．求直線方程的一般方法
(1)直接法
直線方程形式的選擇方法：
①已知一點常選擇點斜式；
②已知斜率選擇斜截式或點斜式；
③已知在兩坐標軸上的截距用截距式；
④已知兩點用兩點式，應注意兩點橫、縱坐標相等的情況.
(2)待定系數(shù)法
先設出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.
利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.
若已知直線過定點，則可以利用直線的點斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點斜式或斜截式時要注意斜率不存在的情況).
【考點1 求直線方程】
【例1.1】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考階段練習）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)傾斜角求得斜率，再利用點斜式后化為一般式即可.
【解答過程】因為傾斜角為，所以斜率為，由點斜式可得直線的方程為：，化簡得.
故選：C.
【例1.2】（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）在軸上截距為，傾斜角為的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)斜截式直接整理可得.
【解答過程】因為傾斜角為，所以斜率.
由斜截式可得直線方程為：，即.
故選：A.
【變式1.1】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）若直線l經(jīng)過點、，則以下不是直線l的方程的為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】先求直線l的一般方程，逐項分析判斷.
【解答過程】直線l的方程為，整理得，故C正確；
對于A：由整理得，故A正確；
對于B：由整理得，故B正確；
對于D：由整理得，故D錯誤；
故選：D.
【變式1.2】（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．或
【解題思路】由題意，分截距為或不為兩種情況，分別設對應的直線方程，代入已知點，可得答案.
【解答過程】顯然，所求直線的斜率存在．
當兩截距均為時，設直線方程為，將點代入得，此時直線方程為；
當兩截距均不為時，設直線方程為，將點代入得，此時直線方程為．
故選：D．
【考點2 直線過定點問題】
【例2.1】（2023·全國·高二專題練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】整理所得直線方程為，根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.
【解答過程】把直線方程整理為，
令，故，所以直線恒過定點為.
故選：C.
【例2.2】（2023·全國·高三專題練習）直線l：經(jīng)過定點A，則A的縱坐標為（ ）
A．B．C．1D．2
【解題思路】轉(zhuǎn)化直線方程為，令，即得解
【解答過程】由，得，
令，得.
故選：A.
【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習）已知直線恒過定點，則點的坐標為（ ）．
A．B．C．D．
【解題思路】由恒成立得可得定點.
【解答過程】由得，
因為恒成立，
所以 解得 所以恒過定點
故選：D.
【變式2.2】（2023·吉林通化·?？寄M預測）若直線恒過點A，點A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【解題思路】根據(jù)直線的定點可得，進而可得，結(jié)合基本不等式運算求解.
【解答過程】因為，則，
令，解得，
即直線恒過點.
又因為點A也在直線上，則，
可得，且，
則，即，當且僅當時，等號成立
所以的最大值為.
故選：B.
模塊二
兩條直線的位置關系
1．兩條直線的位置關系
【考點1 求與已知直線垂直的直線方程】
【例1.1】（2023秋·高二課時練習）經(jīng)過點，且與直線垂直的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)給定條件，設出所求的直線方程，利用待定系數(shù)法求解作答.
【解答過程】設與直線垂直的直線方程為，于是，解得，
所以所求的直線方程為.
故選：A.
【例1.2】（2023·高三課時練習）已知，，，則過點且與線段垂直的直線方程為（ ）．
A．B．
C．D．
【解題思路】求出直線的斜率，可得其垂線的斜率，再利用點斜式可求出答案
【解答過程】解：因為，
所以與垂直的直線的斜率為，
所以過點且與線段垂直的直線方程為
，即，
故選：D.
【變式1.1】（2023·高二課時練習）在過點的所有直線中，與原點距離最遠的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)與原點距離最遠的直線是與原點與連線垂直的直線，根據(jù)垂直關系求解斜率，進而由點斜式即可求解直線方程.
【解答過程】在過點的所有直線中，與原點距離最遠的直線是與原點與連線垂直的直線，過和的直線斜率為，所以所求直線斜率為，由點斜式可得直線方程為，即，
故選：B.
【變式1.2】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】設邊上的高所在的直線為，求出直線l的斜率，代入點斜式方程，整理即可得出答案.
【解答過程】設邊上的高所在的直線為，
由已知可得，，所以直線l的斜率.
又過，所以的方程為，
整理可得，.
故選：A.
【考點2 求與已知直線平行的直線方程】
【例2.1】（2023秋·高二課時練習）經(jīng)過點，且平行于直線的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】先設出平行于直線的直線系方程，再將點代入方程，進而求得所求直線的方程.
【解答過程】平行于直線的直線方程可設為，
又所求直線過點，
則，解之得，
則所求直線為.
故選：A.
【例2.2】（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線：與互相平行，且過點，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由兩條直線平行得到斜率，進而通過點斜式求出直線方程.
【解答過程】由題意，的斜率為，則的斜率為，又過點，所以的方程為：.
故選：C.
【變式2.1】（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┡c直線平行，且與直線交于軸上的同一點的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】先求出直線交于軸交點，再設與直線平行的直線方程，代入點的坐標得解.
【解答過程】設直線交于軸于點，令，則，
所求直線與平行，設，把
代入得
所求直線方程為：
故選：C.
【變式2.2】（2022秋·新疆伊犁·高二?？计谥校┻^點作直線，若點、到它的距離相等，則直線的方程為（ ）
A．或B．
C．或D．或
【解題思路】分兩種情況討論：①；②直線過線段的中點.求出兩種情況下直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.
【解答過程】分以下兩種情況討論：
①若，則直線的斜率為，
此時，直線的方程為，即；
②若直線過線段的中點，則直線的斜率為，
此時，直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
故選：C.
【考點3 根據(jù)兩直線平行或垂直求參數(shù)】
【例3.1】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┤糁本€與直線垂直，則（ ）
A．B．6C．D．
【解題思路】由兩條直線垂直的條件即可得解.
【解答過程】因為直線與直線垂直，
所以，得，
所以.
故選：B.
【例3.2】（2023秋·吉林·高二校考期末）已知直線，直線，且，則的值為（ ）
A．B．C．-2或-1D．
【解題思路】若兩直線，平行，則且或，求解的值.
【解答過程】因為，所以且，解得：或，且，綜上：的值為或.
故選：C.
【變式3.1】（2023秋·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知直線，若且，則的值為（ ）
A．B．5C．D．7
【解題思路】利用直線一般式下平行與垂直的性質(zhì)求解即可.
【解答過程】因為，
所以由，得，解得，
由，得，解得，
所以．
故選：B．
【變式3.2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．D．
【解題思路】根據(jù)得到，再將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.
【解答過程】因為，所以，即，
因為，所以，
所以 ，
當且僅當時，等號成立.
故選：D.
模塊三
直線方程的實際應用
1．直線方程的實際應用
利用直線方程解決實際問題，一般先根據(jù)實際情況建立直角坐標系，然后分析直線斜率是否存在，從
而能夠為解決問題指明方向，避免解決問題出現(xiàn)盲目性.
【考點1 直線方程的實際應用】
【例1.1】（2022·高二課時練習）有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.
【解答過程】由題意知：蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過兩點，故其斜率，
∴直線方程為，
∴當蠟燭燃盡時，有，即，
故選：B.
【例1.2】（2022·高二課時練習）一根鐵棒在40℃時長12.506m，在80℃時長12.512m．已知長度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關系可以用直線方程來表示，試求出這個方程，并根據(jù)這個方程求出這根鐵棒在100℃時的長度．
【解題思路】用直線的斜截式方程寫出l與t的關系，再利用待定系數(shù)法求出方程并求解作答.
【解答過程】依題意，設l與t的關系式為：，是常數(shù)，
于是得，解得，
則l與t的關系式為，當時，，
所以所求直線的方程為，鐵棒在100℃時的長度是m.
【變式1.1】（2023·高三課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，邊AB、CD分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合.現(xiàn)將矩形ABCD沿某一條直線折疊，使點A落在線段CD上，設此點為.
(1)若折痕的斜率為，求折痕所在的直線方程；
(2)若折痕所在的直線的斜率為k（k為常數(shù)），試用k表示點的坐標，并求折痕所在的直線方程.
【解題思路】（1）求得的坐標，進而求得折痕所在直線方程.
（2）根據(jù)是否為進行分類討論，結(jié)合中點和斜率求得折痕所在直線方程.
【解答過程】（1）設，由于折痕的斜率為，
所以直線的斜率為，所以直線的方程為，
由解得，所以，
所以的中點坐標為，
所以折痕所在的直線方程為，即.
（2）當時，，折痕所在直線方程為.
當時，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
由解得，所以，
所以的中點坐標為，
所以折痕所在的直線方程為，
時，折痕也符合上式，
綜上所述，折痕所在的直線方程為.
【變式1.2】（2022·高二課時練習）為了綠化城市，準備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個矩形的草坪，其中；點在上，且，，經(jīng)測量，，，.問應如何設計才能使草坪的占地面積最大？并求出最大面積（精確到）.
【解題思路】如圖，先以邊所在直線為軸，以邊所在直線為軸建立平面直角坐標系，求得直線的方程，再設出坐標，由矩形面積公式建立模型，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求其最值．
【解答過程】如圖，以邊所在直線為軸，以邊所在直線為軸建立平面直角坐標系，
則，.
所以直線的方程為：，即，設，
則矩形的面積為，
化簡，得，
配方，，
易得當，時，最大，其最大值為.
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023秋·高二課時練習）不論m取何值，直線都過定點（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意整理得，令，求解即可得定點.
【解答過程】因為，整理得，
令，解得，
所以直線過定點.
故選：B.
2．（2022秋·高二?？颊n時練習）若直線l的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，且直線l經(jīng)過點,則直線l的方程為( )
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)的傾斜角求出直線l的傾斜角即可得到直線l的方程
【解答過程】因為直線的斜率為1,所以其傾斜角等于45°,于是直線l的傾斜角等于90°,則其斜率不存在.又直線l過點(2,4),所以直線l的方程為.
故選：C.
3．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考階段練習）過點且與直線平行的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】與直線平行，計算出斜率，用點斜式寫出直線方程即可.
【解答過程】直線的斜率為-2，所以所求直線的方程為，
即.
故選：A.
4．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由兩直線平行得出的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【解答過程】若直線與直線平行，則有解得或，所以當時，直線與直線平行，當直線與直線平行時，或.
故選：A.
5．（2022秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習）已知直線與y軸的交點為A，把直線l繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得直線，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由題可得，設出直線方程，代入點A即可求出.
【解答過程】解析：易知，根據(jù)題意，，可設直線的方程為，
把點A的坐標代入得，所以直線的方程為.
故選：C.
6．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】由兩直線垂直得，進而根據(jù)垂足是兩條直線的交點代入計算即可得答案.
【解答過程】由兩直線垂直得，解得，
所以原直線直線可寫為，
又因為垂足為同時滿足兩直線方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故選:D.
7．（2022秋·湖南郴州·高二?？茧A段練習）若點是直線：外一點，則方程 表示（ ）
A．過點且與垂直的直線B．過點且與平行的直線
C．不過點且與垂直的直線D．不過點且與平行的直線
【解題思路】由題意可推出，由此可判斷直線與平行，將代入方程，看是否成立，判斷直線是否過點P，可得答案.
【解答過程】由題意可知點是直線：外一點，
故且為常數(shù)，
所以方程中，且為常數(shù)，
則直線與平行，
將代入中，
即，即點P在該方程表示的直線上，
故方程表示過點且與平行的直線，
故選：B.
8．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為（ ）
A．4x＋2y＋3＝0B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0
【解題思路】等腰三角形的歐拉線即為底面上高線．求出中點和的斜率后可得．
【解答過程】因為AC＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中點為，kAB＝－2，
故AB的中垂線方程為y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
故選：B．
9．（2022秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）已知點，，若直線與線段有交點，則直線斜率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】先求出直線的定點，再結(jié)合圖象利用斜率公式計算求解即可.
【解答過程】由直線，
變形可得，
由，解得，
可得直線恒過定點，
則，，
若直線與線段有交點，則直線斜率的取值范圍為.
故選：A.
10．（2023·全國·高二專題練習）設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
【解題思路】由題意結(jié)合直線位置關系的判斷可得兩直線互相垂直，由直線過定點可得定點與定點，進而可得，再利用基本不等式及三角形面積公式即得．
【解答過程】由題意直線過定點，
直線可變?yōu)?，所以該直線過定點，
所以，
又，
所以直線與直線互相垂直，
所以，
所以即，
當且僅當時取等號,
所以，，即面積的最大值是.
故選：D.
11．（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學考試）已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB邊所在直線的方程；
(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．
【解題思路】（1）根據(jù)兩點的坐標求得直線的方程.
（2）結(jié)合直線、的傾斜角和斜率，求得直線和直線的方程.
【解答過程】（1）因為，，所以軸，所以AB邊所在直線的方程為．
（2）因為，所以，
所以直線AC的方程為，即
因為，所以，
所以直線BC的方程為，即.
12．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知直線和直線.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值.
【解題思路】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式，即可求解；
（2）根據(jù)兩直線平行，，求解，再代回直線驗證.
【解答過程】（1）若，則
，解得或2；
（2）若，則
，解得或1.
時，，滿足，
時，，此時與重合，
所以.
13．（2023·全國·高二專題練習）求滿足下列條件的直線的方程.
（1）經(jīng)過點，且與直線平行；
（2）經(jīng)過點，且平行于過和兩點的直線；
（3）經(jīng)過點，且與直線垂直．
【解題思路】（1）兩直線平行，斜率相等，從而求得直線方程；
（2）求過兩點的直線斜率，然后根據(jù)兩直線平行，斜率相等，從而求得直線方程；
（3）兩直線垂直，斜率乘積等于-1，求得斜率，從而寫出方程；
【解答過程】（1）與直線平行的直線斜率為-4，且經(jīng)過點
則直線為；
（2）過和兩點的直線斜率為，
則與MN平行且過點的直線方程為：；
（3）直線的斜率為-2，與之垂直的直線斜率為，
則經(jīng)過點，且與直線垂直的直線方程為.
14．（2023春·湖南常德·高二?？计谥校┮阎本€的方程為．
(1)求直線過的定點P 的坐標；
(2)直線與x 軸正半軸和y 軸正半軸分別交于點A，B ，當面積最小時，求直線的方程；
【解題思路】（1）將直線的方程變形，列出方程組即可求解；
（2）利用直線的截距式方程設出直線的方程，根據(jù)（1）的結(jié)論及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.
【解答過程】（1）由題意，直線的方程可化為，
聯(lián)立方程組解得，
所以直線過的定點．
（2）設直線 ，則，
由 （1） 知，直線 過的定點，可得，
因為，
所以，解得，
當且僅當且即時，等號成立，
所以面積為 ，
此時對應的直線方程為，即．
15．（2022秋·海南?？凇じ叨？计谥校┤鐖D，在道路邊安裝路燈，路面OD寬12m，燈柱OB高14m，燈桿AB與地面所成角為30°．路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直，軸線AC，燈桿AB都在燈柱OB和路面寬線OD確定的平面內(nèi)．
（1）當燈桿AB長度為多少時，燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線？
（2）如果燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線，此時有一高2.5m的警示牌直立在C處，求警示牌在該路燈燈光下的影子長度．
【解題思路】（1）分別以圖中OD、OB所在直線為x、y軸，建立平面直角坐標系，求出直線和方程后可得點坐標，從而得；
（2）設警示牌為CM，由的大小得點坐標，從而可得直線方程，求得它與軸交點的坐標，得影子長．
【解答過程】解：（1）分別以圖中OD、OB所在直線為x、y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
燈桿AB與地面所成角為30°，B（0，14），AB方程為：y＝x+14，…①
因為燈罩線AC與燈桿AB垂直，
可設的斜率為，則＝，
又C（6，0），
所以直線AC的方程為：y＝（x﹣6），…②
由①②組成方程組，求得點A（，15）；
所以|AB|＝＝2，
即當燈桿AB長度為2m時，燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線；
（2）設警示牌為CM，且CM⊥OD，
則M（6，），A（，15），
所以直線AM的方程為：y﹣15＝（x﹣），
令yN＝0，解得xN＝7，
所以CN＝7﹣6＝.
所以警示牌在該路燈燈光下的影子長度為m．斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（當時，記為）
垂直
k1·k2=-1
（當時，記為）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（當時，記為）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（當時，記為）

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