（暑期班）高二數(shù)學(xué)(人教A版選擇性必修第一冊)暑假講義第02講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

·模塊一空間向量的夾角與數(shù)量積
·模塊二向量的投影
·模塊三課后作業(yè)
模塊一
空間向量的夾角與數(shù)量積
1．空間向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq \f(π,2)時(shí)，a⊥b.
2．空間向量的數(shù)量積
3．空間向量夾角的計(jì)算
求兩個(gè)向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．
4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算
求空間向量數(shù)量積的步驟：
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．
(3)代入求解．
【考點(diǎn)1 空間向量數(shù)量積的計(jì)算】
【例1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）正方體的棱長為1，為棱的中點(diǎn)，則有（）
A．B．C．D．
【解題思路】由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律對選項(xiàng)逐一判斷，
【解答過程】對于A，，故A錯(cuò)誤，
對于B，，故B正確，
對于C，平面，則，故C錯(cuò)誤，
對于D，，，
由垂直關(guān)系化簡得，故D錯(cuò)誤，
故選：B.
【例1.2】（2023秋·福建福州·高二?？计谀┤鐖D所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（）
A．B．1C．D．
【解題思路】選定基底，根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算表示出，再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.
【解答過程】由題意得，，
則
,
故選：B.
【變式1.1】（2023春·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則的最大值為（）
A．2B．3C．1D．0
【解題思路】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解.
【解答過程】由題可得，正方體外接球的直徑,
設(shè)為正方體外接球的球心，則為的中點(diǎn)，
則有,且，
，
由于，所以的最大值為0，
故選:D.
【變式1.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【解題思路】取中點(diǎn)，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的取值范圍可求得結(jié)果.
【解答過程】取中點(diǎn)，
則，
當(dāng)為側(cè)面中點(diǎn)時(shí)，；的最大值為體對角線的一半，
又，，
即的取值范圍為.
故選：B.
【考點(diǎn)2 空間向量的夾角及其應(yīng)用】
【例2.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（）
A．30°B．45°
C．60°D．以上都不對
【解題思路】設(shè)與的夾角為θ，由，得，兩邊平方化簡可得答案
【解答過程】設(shè)與的夾角為θ，
由，得，
兩邊平方，得，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
故選：D.
【例2.2】（2022秋·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)榕c垂直，所以，
即，
所以.
又，所以.
故選：D.
【變式2.1】（2022秋·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且夾角都是，則向量和的夾角為（）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意計(jì)算得，，進(jìn)而計(jì)算夾角即可得答案.
【解答過程】解：由題意，得，
所以，
設(shè)向量和的夾角為，則，
又，所以.
故選：C.
【變式2.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，若與的夾角為，則的值為（）
A．B．C．D．
【解題思路】首先求出向量的坐標(biāo)，及向量與的模，再利用空間向量的夾角余弦公式列方程求解即可．
【解答過程】∵，，
，，，
∴，可得，解得.
故選：B.
【考點(diǎn)3 利用空間向量的數(shù)量積求模】
【例3.1】（2022秋·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（）
A．B．133C．D．61
【解題思路】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、把空間向量的模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算求解問題即可．
【解答過程】因?yàn)椋?，?br>所以
，
故選：A．
【例3.2】（2022秋·江西·高二統(tǒng)考期中）若，，為兩兩垂直的三個(gè)空間單位向量，則（）
A．B．C．D．
【解題思路】利用空間向量的數(shù)量積性質(zhì)即可求解.
【解答過程】依題意得，，；
所以，
故選：B.
【變式3.1】（2022·全國·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且與，的夾角都等于60°．若是的中點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后，利用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出，從而求出模長.
【解答過程】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
所以
因?yàn)榈拈L為2，且與，的夾角都等于60°．
所以
，
所以.
故選：A.
【變式3.2】（2022秋·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．1
【解題思路】首先在中利用余弦定理求出，然后由空間向量的運(yùn)算法則可得，變形可得，由二次函數(shù)的知識可得答案.
【解答過程】根據(jù)題意，在中，，
所以
所以==
則時(shí)，取得最小值，
則的最小值為.
故選：B.
【考點(diǎn)4 向量垂直的應(yīng)用】
【例4.1】（2022秋·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，，且與垂直，則λ等于（）
A． B．C．D．1
【解題思路】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，根據(jù)向量的垂直關(guān)系列方程，求λ即可.
【解答過程】由題意知：，，
∴，即.
故選：A.
【例4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知長方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（）
A．B．C．D．
【解題思路】當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可證AD1⊥B1C可判斷A；當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可證AC⊥BD1可判斷B；由長方體的性質(zhì)可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，可判斷C；可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結(jié)論可判斷D.
【解答過程】選項(xiàng)A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時(shí)有，故正確；
選項(xiàng)B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可得AC⊥BD，，，
平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時(shí)有，故正確；
選項(xiàng)C，由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時(shí)必有0，故正確；
選項(xiàng)D，由長方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即，故錯(cuò)誤.
故選：D.
【變式4.1】（2023春·福建莆田·高二?？计谥校┰诳臻g，已知，為單位向量，且，若，，，則實(shí)數(shù)k的值為（）
A．－6B．6
C．3D．－3
【解題思路】由和的數(shù)量積為0，解出k的值.
【解答過程】由題意可得，，，
所以，即2k－12＝0，得k＝6.
故選：B.
【變式4.2】（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在三維空間中，三個(gè)非零向量滿足，則是（）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．直角或銳角三角形
【解題思路】根據(jù)已知條件推出，得為銳角．同理可得也為銳角．由此可得答案.
【解答過程】因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
即知為銳角．同理可知也為銳角．
故是銳角三角形．
故選：A．
模塊二
向量的投影
1．向量的投影
(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．
(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
【考點(diǎn)1 投影向量的求解】
【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意和投影向量的概念計(jì)算即可求解.
【解答過程】，，與夾角的余弦值為，
在上的投影向量為
.
故選：D．
【例1.2】（2022秋·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影的數(shù)量為（）
A．2B．C．D．
【解題思路】由空間向量在向量方向上的投影為，運(yùn)算即可的解.
【解答過程】由題意，，，，
則空間向量在向量方向上的投影為.
故選：B.
【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于 .
【解題思路】先求出，再根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.
【解答過程】平面，
則，
，
向量在上的投影向量為
故答案為：.
【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是．
【解題思路】由正方體的性質(zhì)可得向量與向量夾角為，先求出的值，進(jìn)而可得答案.
【解答過程】棱長為的正方體中向量與向量夾角為，
所以，
向量在向量方向上的投影向量是
，
向量在向量方向上的投影向量的模是，
故答案為：.
模塊三
課后作業(yè)
1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】本題考查空間向量加減法和數(shù)量積的運(yùn)算律，根據(jù)運(yùn)算律判斷即可．
【解答過程】由向量加法的結(jié)合律知A項(xiàng)正確；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律知B項(xiàng)、D項(xiàng)正確；C項(xiàng)若，不共線且不垂直，則，故C不一定正確．
故選：C.
2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體，設(shè)，，，則（）.
A．B．C．D．
【解題思路】利用求出，再求出，則根據(jù)可得答案.
【解答過程】設(shè)正方體的棱長為1，
因?yàn)?br>所以，
又，
，
又，
，
故選：D.
3．（2022秋·北京朝陽·高二?？计谥校┧睦忮F中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（）
A．B．C．D．
【解題思路】過點(diǎn)和點(diǎn)分別作直線的垂線，由垂足確定在向量上的投影向量.
【解答過程】四棱錐如圖所示，
底面是矩形，∴，
底面，底面，∴，
過向量的始點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，在向量上的投影向量為，由底面是矩形,，
故選：B.
4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，有下列命題：
①；②；③與的夾角為．
其中正確的命題有（）．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)
【解題思路】根據(jù)空間向量的垂直和異面直線所成的角求解即可
【解答過程】解：對于①，
所以①正確；
對于②，，
所以②正確；
對于③，因?yàn)椤?分別為面的對角線，
所以,所以與的夾角為，所以③錯(cuò)誤
故選：B.
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，面，為矩形，連接????，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（）
A．與B．與
C．與D．與
【解題思路】根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用線面垂直的性質(zhì)及判定，易證、、，而不一定與垂直，再由向量數(shù)量積的垂直表示即可確定選項(xiàng).
【解答過程】由面，為矩形，
A：面，則，而與不一定垂直，不一定有面，故不一定與垂直，所以與數(shù)量積不一定為0，符合題意；
B：由A知，又且，則面，又面，所以，即與數(shù)量積為0，不合題意；
C：由上易知，又且，則面，又面，所以，即與數(shù)量積為0，不合題意；
D：由上知，而，所以，即與數(shù)量積為0，不合題意；
故選：A.
6．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（）
A．2B．
C．D．6
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示求解作答.
【解答過程】因?yàn)?，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，，
所以
.
故選：C.
7．（2022秋·北京·高二校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，則（）
A．1B．C．9D．3
【解題思路】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到，
再利用求的模長.
【解答過程】在平行六面體中，
有，，
由題知，，，，，
所以，，與的夾角為，
與的夾角為，與的夾角為，
所以
.
所以.
故選：D.
8．（2023春·上海楊浦·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則是（）
A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．不能確定
【解題思路】由題，可得平面，后由平面，可得答案.
【解答過程】由，，可知.
又平面，平面，，則平面.
因，平面，則平面.
故，即是直角三角形.
故選：C.
9．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）空間有一四面體A-BCD，滿足，，則所有正確的選項(xiàng)為（）
①；
②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；
③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；
④若且，則∠BDC是銳角
A．②B．①③C．②④D．②③④
【解題思路】由題意知，，可判斷①；若∠BAC是直角，則，可判斷②；設(shè)，，由余弦定理可判斷③；若且，則，可得可判斷④.
【解答過程】對于①，因?yàn)椋?，所以，?br>則，故①不正確；
對于②，若∠BAC是直角，則，
所以∠BDC是銳角，故②正確；
對于③，若∠BAC是鈍角，設(shè)，，
在中，由余弦定理可得：，
而，所以在中，，
所以∠BDC為銳角，所以③不正確；
對于④，，
若且，則，
因?yàn)椋?br>，所以∠BDC是銳角，故④正確；
故選：C.
10．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知正方體的棱長為，點(diǎn)是四邊形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，為四邊形的中心，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【解題思路】運(yùn)用向量加法、相等向量將與分別表示為，，代入數(shù)量積運(yùn)算即可.
【解答過程】由題意知，，
設(shè)正方形的中心為，連接、、，如圖所示，
則，，，面，面，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴.
故選：C.
11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．
【解題思路】由圖形特征求向量夾角.
【解答過程】連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以，
，
，
，
.
12．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為.求的長.
【解題思路】由題可得，且，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求出的值，即可得解.
【解答過程】由已知可得，且，
由空間向量數(shù)量積的定義可得，
所以，，
因此，，即的長為.
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為的正方形，
(1)求；
(2)求．
【解題思路】（1）記，利用基底表示所求向量，然后將向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算可得；
（2）利用基底表示所求向量，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算可得.
【解答過程】（1）記，則：
，
，，
，
，即有；
（2）．
14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，．
(1)確定在平面上的投影向量，并求；
(2)確定在上的投影向量，并求．
【解題思路】（1）根據(jù)平面可得在平面上的投影向量，由空間向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的定義計(jì)算的值即可求解；
（2）由投影向量的定義可得在上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得的值.
【解答過程】（1）因?yàn)槠矫妫栽谄矫嫔系耐队跋蛄繛椋?br>因?yàn)槠矫?，面，可得，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量為：
，
由數(shù)量積的幾何意義可得：.
15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判斷與是否垂直．
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【解答過程】（1）解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得，
.
（2）解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得，
則.
（3）解：根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得；
則，
所以與垂直．定義
已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.
性質(zhì)
①a⊥b?a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
運(yùn)算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交換律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

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