·模塊一 集合的概念
·模塊二 元素與集合的關(guān)系
·模塊三 集合的表示法
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
集合的概念
1．元素與集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，元素常用小寫(xiě)的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)，集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的．
2．元素的特性
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．
(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．
(3)無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．
【考點(diǎn)1 集合概念的理解】
【例1.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（ ）
（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書(shū)中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【解題思路】根據(jù)集合中元素的確定性判斷可得答案.
【解答過(guò)程】（1）（3）（4）（5）中的對(duì)象是確定的，可以組成集合，（2）中的對(duì)象是不確定的，不能組成集合.
故選：C.
【例1.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列各對(duì)象可以組成集合的是（ ）
A．與非常接近的全體實(shí)數(shù)
B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)
D．高一年級(jí)很有才華的老師
【解題思路】由集合中元素的性質(zhì)可直接得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】對(duì)于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯(cuò)誤；
B中的元素滿(mǎn)足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.
故選：B.
【變式1.1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解題思路】利用集合的定義和元素的三個(gè)性質(zhì)，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷；
【解答過(guò)程】A.、都是點(diǎn)集，與是不同的點(diǎn)，則、是不同的集合，故錯(cuò)誤；
B.，，根據(jù)集合的無(wú)序性，集合，表示同一集合，故正確；
C.，集合的元素表示點(diǎn)的集合，，表示直線的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故錯(cuò)誤；
D.集合M的元素是兩個(gè)數(shù)字2，3，，集合的元素是一個(gè)點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
故選：B.
【變式1.2】（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高一校考期中）下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（ ）
A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生
B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)
C．很小的實(shí)數(shù)
D．倒數(shù)等于本身的數(shù)
【解題思路】根據(jù)集合的含義分別分析四個(gè)選項(xiàng)，A，B，C都不滿(mǎn)足函數(shù)的確定性故排除，D確定，滿(mǎn)足．
【解答過(guò)程】解：A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿(mǎn)足集合的確定性，故A錯(cuò)誤；
B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因?yàn)榉浅＝狞c(diǎn)不確定，所以不滿(mǎn)足集合的確定性，故B錯(cuò)誤；
C：很小的實(shí)數(shù)，因?yàn)楹苄〉膶?shí)數(shù)不確定，所以不滿(mǎn)足集合的確定性，故C錯(cuò)誤；
D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與﹣1，∴滿(mǎn)足集合的定義，故正確．
故選：D．
【考點(diǎn)2 集合中元素特性的求參問(wèn)題】
【例2.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【解答過(guò)程】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C.
【例2.2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)集合元素的唯一性分類(lèi)討論即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，，得；
當(dāng)時(shí)，則.
故實(shí)數(shù)x的取值集合為.
故選：B.
【變式2.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度，那么這個(gè)三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．銳角三角形
C．直角三角形D．鈍角三角形
【解題思路】根據(jù)集合中元素的互異性可得答案.
【解答過(guò)程】根據(jù)集合中元素的互異性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故選：A.
【變式2.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）由，，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【解題思路】由題意判斷集合的元素個(gè)數(shù)，根據(jù)集合元素的互異性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【解答過(guò)程】由題意由，，3組成的一個(gè)集合A，A中元素個(gè)數(shù)不是2，
因?yàn)闊o(wú)解，故由，，3組成的集合A的元素個(gè)數(shù)為3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C錯(cuò)誤，D正確，
故選：D.
模塊二
元素與集合的關(guān)系
1．元素與集合的關(guān)系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A．
(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A．
【注】符號(hào)“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.
2．常用的數(shù)集及其記法
【考點(diǎn)1 元素與集合的關(guān)系】
【例1.1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】結(jié)合數(shù)的分類(lèi)判斷即可.
【解答過(guò)程】是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；
，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.
故選：C.
【例1.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（ ）
A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可
【解題思路】由題意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再檢驗(yàn)即可．
【解答過(guò)程】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
當(dāng)m＝2時(shí)，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合題意，舍去；
當(dāng)m2﹣3m+2＝2時(shí)，m＝0或m＝3，但m＝0不合題意，舍去．
綜上可知，m＝3．
故選：B．
【變式1.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列語(yǔ)句中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個(gè)元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點(diǎn)集是有限集；（5）方程的解能構(gòu)成集合.
A．2B．3C．4D．5
【解題思路】根據(jù)集合的概念和性質(zhì)判斷即可.
【解答過(guò)程】是自然數(shù)，故，（1）正確；
是無(wú)理數(shù)，故，（2）錯(cuò)誤；
由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合為有4個(gè)元素，故（3）錯(cuò)誤；
數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點(diǎn)集是無(wú)限集，（4）錯(cuò)誤；
方程的解為，可以構(gòu)成集合，（5）正確；
故選：A．
【變式1.2】（2023秋·吉林·高一?？计谀┮阎?，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)元素與集合關(guān)系，建立方程，可得答案.
【解答過(guò)程】由，則當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即.
故選：D.
【考點(diǎn)2 確定集合中的元素】
【例2.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則N中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．6C．9D．10
【解題思路】根據(jù)集合中元素的特征即可列舉求解.
【解答過(guò)程】由可知集合,故共有9個(gè)元素，
故選：C.
【例2.2】（2023春·河南開(kāi)封·高一校考階段練習(xí)）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)集合的描述法及元素與集合的關(guān)系求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)?，?br>所以.
故選：B.
【變式2.1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，， ，則C中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】根據(jù)題意寫(xiě)出集合C的元素，可得答案.
【解答過(guò)程】由題意，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)，時(shí)， ，
當(dāng)，時(shí)， ，
即C中有三個(gè)元素，
故選：C.
【變式2.2】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（ ）
A．0B．1C．－1D．
【解題思路】根據(jù)題意列式求得的值，即可得出答案.
【解答過(guò)程】根據(jù)條件分別令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故選：C．
模塊三
集合的表示法
1．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{ }”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．
注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復(fù)．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．
(2)具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．
【考點(diǎn)1 用列舉法表示集合】
【例1.1】（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）集合用列舉法表示為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】直接求出集合中的元素即可.
【解答過(guò)程】.
故選：C.
【例1.2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】由題意利用列舉法寫(xiě)出集合A中的元素即可得出答案．
【解答過(guò)程】集合 ，
所以集合的元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．
故選：B．
【變式1.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)集合的定義以及表示方法求解.
【解答過(guò)程】方程組的解為,
所以方程組的解集為，
故選：D.
【變式1.2】（2023·云南昆明·校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為
A．B．C．D．
【解題思路】列舉出集合中的元素，可得出結(jié)論.
【解答過(guò)程】由題意可得，
因此，集合中有個(gè)元素.
故選：B.
【考點(diǎn)2 用描述法表示集合】
【例2.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）集合用描述法可表示為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)集合中的元素特征即可求解.
【解答過(guò)程】中的元素滿(mǎn)足，所以，
故選：D.
【例2.2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集可表示為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由方程組的求解可得的關(guān)系，即可求解.
【解答過(guò)程】由得，
將代入得，所以，
故選：D.
【變式2.1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）集合表示的是 第三象限內(nèi)點(diǎn)的集合 .
【解題思路】由集合中的不等式，解出的取值范圍，確定點(diǎn)所在的區(qū)域.
【解答過(guò)程】由，解得，則集合表示的是第三象限內(nèi)點(diǎn)的集合.
故答案為：第三象限內(nèi)點(diǎn)的集合.
【變式2.2】（2023秋·上海崇明·高一統(tǒng)考期末）直角坐標(biāo)平面上由第二象限所有點(diǎn)組成的集合用描述法可以表示為 ．
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用集合的描述法寫(xiě)出第二象限的點(diǎn)集作答.
【解答過(guò)程】依題意，第二象限所有點(diǎn)組成的集合是.
故答案為：.
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（ ）
A．上課遲到的學(xué)生B．年高考數(shù)學(xué)難題
C．所有有理數(shù)D．小于的正整數(shù)
【解題思路】根據(jù)集合中元素的三要素判斷．
【解答過(guò)程】上課遲到的學(xué)生屬于確定的互異的對(duì)象，所以能構(gòu)成集合；年高考數(shù)學(xué)難題界定不明確，所以不能構(gòu)成集合；任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，所以能構(gòu)成集合；小于的正整數(shù)分別為，所以能夠組成集合.
故選：.
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，則下列元素屬于A的是（ ）
A．B．C．D．0
【解題思路】根據(jù)集合中元素特征即可求解.
【解答過(guò)程】，故，所以ABD錯(cuò)誤，C正確，
故選：C.
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】由方程組的解即可求解解集.
【解答過(guò)程】由得，所以方程組的解集可以表示為，
故選：C.
4．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解題思路】根據(jù)實(shí)數(shù)集，有理數(shù)集，自然數(shù)集，整數(shù)集的概念判斷即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)集，所以，故①正確；
因?yàn)槭怯欣頂?shù)集，所以，，故②③錯(cuò)誤；
因?yàn)槭亲匀粩?shù)集，所以，故④正確；
因?yàn)槭钦麛?shù)集，所以，故⑤正確；
綜上：關(guān)系正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選：C.
5．（2023秋·山東菏澤·高一?？计谀┮阎?，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．?C．D．
【解題思路】先化簡(jiǎn)集合，然后結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判定.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A,B,D均正確，C不正確.
故選：C.
6．（2023春·河南焦作·高二校考階段練習(xí)）已知集合，且，則取值構(gòu)成的集合為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】由求出m，再利用互異性即可求解
【解答過(guò)程】因?yàn)榧?，且?br>所以或.
當(dāng)時(shí)，解得：或.
而，不符合元素的互異性，故或.
故選：B.
7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【解題思路】根據(jù)，采用列舉法表示集合B 即可求解.
【解答過(guò)程】根據(jù)題意 ，
所以集合B中共有6個(gè)元素，
故選：C.
8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．-1B．-3C．-3或-1D．無(wú)解
【解題思路】根據(jù)題意可得或解方程，再利用集合元素的互異性即可求解.
【解答過(guò)程】若，可得
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，
不滿(mǎn)足集合的互異性，故（舍去），
當(dāng)，解得（舍去）或，此時(shí)，
滿(mǎn)足題意，故實(shí)數(shù)的值為-3.
故選：B.
9．（2023秋·湖南常德·高一?？计谀┤絷P(guān)于的方程的解集中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意，分情況討論，進(jìn)行求解即可.
【解答過(guò)程】由題知，
當(dāng)時(shí)，的解有且僅有一個(gè)：，
符合題意，所以；
當(dāng)時(shí)，要使的方程的解集
中有且僅有一個(gè)元素，則有：，則.
所以實(shí)數(shù)的值組成的集合中的元素個(gè)數(shù)為：2.
故選：B.
10．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知集合A滿(mǎn)足，，若，則集合A所有元素之和為（ ）
A．0B．1C．D．
【解題思路】根據(jù)，，代入元素依次計(jì)算得到答案.
【解答過(guò)程】集合A滿(mǎn)足，，，故，，，
，故，
則集合A所有元素之和為：
故選：C.
11．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）定義集合運(yùn)算：，設(shè)，，則集合的所有元素之和為（ ）
A．14B．15C．16D．18
【解題思路】由集合的新定義計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】由題設(shè)知，
所有元素之和為，
故選：A.
12．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）若集合A同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1），；（2）若，則；（3）若且，則．則稱(chēng)A為“好集”．已知命題：①集合是好集；②對(duì)任意一個(gè)“好集”A，若，則．以下判斷正確的是（ ）
A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題
【解題思路】根據(jù)“好集”的定義逐一判斷即可.
【解答過(guò)程】對(duì)于①，因?yàn)?，而?br>所以集合不是好集，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)榧蠟椤昂眉保?br>所以，
所以，故②正確，
所以①為假命題，②為真命題.
故選：D.
13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．
（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．
（3）大于4的所有偶數(shù)．
【解題思路】集合用描述法表示，根據(jù)條件寫(xiě)代表元具有的性質(zhì).
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榧现械脑爻?余數(shù)為1，所以集合表示為：；
（2）第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0，所以集合表示為：；
（3）大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：．
14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合為小于6的正整數(shù)}，為小于10的素?cái)?shù)}，集合為24和36的正公因數(shù)}．
（1）試用列舉法表示集合且；
（2）試用列舉法表示集合且．
【解題思路】（1）求出集合，則，即可求出；
（2）根據(jù)集合中元素的特征，即可寫(xiě)出.
【解答過(guò)程】由題意，，.
（1）.
（2）.且
.
15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，其中.
（1）1是中的一個(gè)元素，用列舉法表示A；
（2）若中至多有一個(gè)元素，試求a的取值范圍.
【解題思路】（1）由得，代入，解得的元素后，可得解；
（2）按照集合中元素的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論，可求得結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?，所以，得?br>所以 .
（2）當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，只有一個(gè)解，
所以或，
所以或，
當(dāng)中沒(méi)有元素時(shí)，無(wú)解，所以，解得，
綜上所述：或.

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