·模塊一 直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程
·模塊二 直線的兩點(diǎn)式、截距式方程
·模塊三 直線的一般式方程
·模塊四 方向向量與直線的參數(shù)方程
·模塊五 課后作業(yè)
模塊一
直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程
1．直線的點(diǎn)斜式方程
(1)直線的點(diǎn)斜式方程的定義：
設(shè)直線l經(jīng)過一點(diǎn)，斜率為k，則方程叫作直線l的點(diǎn)斜式方程.
(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：
①已知直線的斜率并且經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.
②當(dāng)已知直線的傾斜角時(shí)，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，但因?yàn)閘上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以直線方程為x= x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.
2．直線的斜截式方程
(1)直線的斜截式方程的定義：
設(shè)直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個(gè)方程叫作直線l的斜截式方程.
(2)斜截式方程的使用方法：
已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.
【考點(diǎn)1 直線的點(diǎn)斜式方程及辨析】
【例1.1】（2023春·安徽池州·高二聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)且傾斜角為150°的直線l的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）方程表示（ ）
A．通過點(diǎn)的所有直線B．通過點(diǎn)且不垂直于y軸的所有直線
C．通過點(diǎn)且不垂直于x軸的所有直線D．通過點(diǎn)且除去x軸的所有直線
【變式1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如下圖，直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1.2】（2023春·河南商丘·高二校考階段練習(xí)）直線：，直線過點(diǎn)，且它的傾斜角是的傾斜角的倍，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)2 直線的斜截式方程及辨析】
【例2.1】（2022秋·重慶南岸·高二?？计谥校┙?jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（ ）
A．B．C．D．
【例2.2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（ ）
A．x＝3B．y＝－5
C．2y＝xD．x＝4y－1
【變式2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）傾斜角為，且過點(diǎn)的直線斜截式方程為 ．
【變式2.2】（2022秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是 ．
模塊二
直線的兩點(diǎn)式、截距式方程
1．直線的兩點(diǎn)式方程
(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義：
設(shè)直線l經(jīng)過兩點(diǎn) ()，則方程叫作直線l的兩點(diǎn)式方程.
(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：
①已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)，且時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.
②當(dāng)時(shí)，直線方程為 (或).
③當(dāng)時(shí)，直線方程為 (或).
2．直線的截距式方程
(1)直線的截距式方程的定義：
設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.
(2)直線的截距式方程的適用范圍：
選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.
(3)截距式方程的使用方法：
①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.
②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y=kx，利用直線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)求解k，得到直線方程.
【考點(diǎn)1 直線的兩點(diǎn)式方程及辨析】
【例1.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
【例1.2】（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學(xué)?？计谀┻^點(diǎn)和點(diǎn)的直線在上的截距為（ ）
A．1B．2C．D．
【變式1.1】（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為( )
A．B．
C．D．
【變式1.2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過、兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【考點(diǎn)2 直線的截距式方程及辨析】
【例2.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例2.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A．B．C．D．或
【變式2.1】（2023秋·安徽六安·高二?？计谀┮阎本€過，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【變式2.2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對(duì)值相等的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
模塊三
直線的一般式方程
1．直線的一般式方程
(1)直線的一般式方程的定義：
在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程.
對(duì)于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)，
當(dāng)B≠0時(shí)，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當(dāng)A=0時(shí)，它表示垂直于y軸的直線.
當(dāng)B=0時(shí)，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.
(2)一般式方程的使用方法：
直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.
2．辨析直線方程的五種形式
【考點(diǎn)1 直線的一般式方程及辨析】
【例1.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的一般式方程為（ ）
A．B．C．D．
【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過（ ）
A．一、二、三象限B．一、二、四象限
C．一、三、四象限D(zhuǎn)．二、三、四象限
【變式1.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線不通過第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1.2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）已知直線（A，B不同時(shí)為），則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，直線l總與x軸相交
B．當(dāng)時(shí)，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O
C．當(dāng)時(shí)，直線l是x軸所在直線
D．當(dāng)時(shí)，直線l不可能與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相交
【考點(diǎn)2 直線一般式方程與其他形式之間的互化】
【例2.1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過點(diǎn)且斜率為的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)和的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2.1】（2023秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）直線與直線的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【變式2.2】（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎本€過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
模塊四
方向向量與直線的參數(shù)方程
1．方向向量與直線的參數(shù)方程
除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.
如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)，=(m,n)是它的一個(gè)方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使=t，即()=t(m,n)，所以
①.
在①中，實(shí)數(shù)t是對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).
由上可知，對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對(duì)于參數(shù)t的每一個(gè)確定的值，由①可以確定直線l上的一個(gè)點(diǎn)P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.
【考點(diǎn)1 求直線的方向向量】
【例1.1】（2023秋·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）直線的一個(gè)方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【例1.2】（2023秋·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）直線的一個(gè)方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【變式1.1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，那么（ ）
A．B．C．D．2
【變式1.2】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點(diǎn)且方向向量為，則l在x軸上的截距為（ ）
A．B．1C．D．5
【考點(diǎn)2 根據(jù)直線的方向向量求直線方程】
【例2.1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例2.2】（2022秋·廣東廣州·高二?？计谀┡c向量平行，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2.1】（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則（ ）
A．直線的點(diǎn)斜式方程為
B．直線的斜截式方程為
C．直線的截距式方程為
D．直線的一般式方程為
【變式2.2】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┮阎本€：經(jīng)過定點(diǎn)P，直線經(jīng)過點(diǎn)P，且的方向向量，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
模塊五
課后作業(yè)
1．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二?？计谀┰谙铝兴膫€(gè)命題中，正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大
B．過點(diǎn)的直線方程都可以表示為：
C．經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線方程都可以表示為：
D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
2．（2022秋·新疆喀什·高二?？计谀┲本€l的傾斜角是，在y軸上的截距是-2，則直線l的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·遼寧沈陽·高二?？计谀┻^點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
5．（2023·上海·高二專題練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
6．（2022秋·河南濮陽·高二校考階段練習(xí)）直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·山東青島·高二?？奸_學(xué)考試）已知直線.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)在直線上B．直線在軸上的截距為
C．直線的傾斜角為D．直線的一個(gè)方向向量為
8．（2023秋·廣東廣州·高一?？计谥校┻^點(diǎn)P（1，1）作直線l，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線l有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
9．（2022秋·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）直線l經(jīng)過點(diǎn)，在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）把直線的一般式方程化為斜截式，求出直線的斜率以及它在軸與軸上的截距，并畫出圖形.
12．（2022秋·甘肅白銀·高二校考期中）根據(jù)下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式.
(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；
(2)在軸和軸上的截距分別是和；
(3)經(jīng)過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為.
13．（2022秋·廣西玉林·高二校考階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．
(1)求邊上的中線所在直線的方程；
(2)若邊所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9，求邊所在直線的方程．
14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，過點(diǎn)作直線AB分別與OA，OB交于點(diǎn)A、B，當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程.

15．（2023·全國·高三對(duì)口高考）過點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；
(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．方程形式
直線方程
局限性
選擇條件
點(diǎn)斜式
不能表示與x軸垂直的直線
①已知斜率；②已知
一點(diǎn)
斜截式
y=kx+b
不能表示與x軸垂直的直線
①已知在y軸上的截距；②已知斜率
兩點(diǎn)式
不能表示與x軸、
y軸垂直的直線
①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知兩個(gè)截距
截距式
不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點(diǎn)的直線
①已知兩個(gè)截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
一般式
Ax+By+C=0
(A,B不全為0)
表示所有的直線
求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程

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