·模塊一 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
·模塊二 距離公式
·模塊三 點(diǎn)、線間的對稱關(guān)系
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相
交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.
(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系
設(shè)兩直線,直線.
【考點(diǎn)1 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)】
【例1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【例1.2】（2023·全國·高三對口高考）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線和交于一點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．3D．
【變式1.2】（2023·上海浦東新·?？既＃┮阎龡l直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（ ）
A．個B．2個C．個D．無數(shù)個
【考點(diǎn)2 經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線方程】
【例2.1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例2.2】（2023秋·福建福州·高二?？计谀┻^兩直線的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【變式2.1】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2.2】（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
模塊二
距離公式
1．兩點(diǎn)間的距離公式
平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.
特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.
2．點(diǎn)到直線的距離公式
(1)定義：
點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.
(2)公式：
已知一個定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.
3．兩條平行直線間的距離公式
(1)定義
兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.
(2)公式
設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.
4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式
公式：
設(shè)平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則.
【考點(diǎn)1 兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用】
【例1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)，，則A，B兩點(diǎn)的距離為（ ）
A．25B．5
C．4D．
【例1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)C在x軸上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1.1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與平行，則的值為（ ）
A．6B．2C．D．不能確定
【變式1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)2 點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】
【例2.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是（ ）
A．10B．C．D．2
【例2.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知到直線的距離等于3，則a的值為（ ）
A．B．或C．或D．
【變式2.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2.2】（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線，點(diǎn)和到直線l的距離分別為且，則直線l的方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【考點(diǎn)3 兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】
【例3.1】（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【例3.2】（2023·安徽黃山·校考模擬預(yù)測）若直線與之間的距離為，則a的值為（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【變式3.1】（2023春·山東威?！じ叨_學(xué)考試）已知動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為和，另一組對邊所在的直線方程分別為，，則（ ）
A．B．C．2D．4
【考點(diǎn)4 與距離有關(guān)的最值問題】
【例4.1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎?，，則的最大值為
A．B．2C．4D．
【例4.2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn) ，點(diǎn)在直線 上，則 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式4.1】（2023春·重慶南岸·高二?？计谥校┮阎本€：過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：距離的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
【變式4.2】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）若P，Q分別為直線與直線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
模塊三
點(diǎn)、線間的對稱關(guān)系
1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱
2．直線關(guān)于點(diǎn)的對稱
3．兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱
(4)幾種特殊位置的對稱：
4．直線關(guān)于直線的對稱

【考點(diǎn)1 直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題】
【例1.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線是（ ）
A．B．C．D．
【例1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【變式1.1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，則直線l2過定點(diǎn)
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)2 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題】
【例2.1】（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【例2.2】（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（ ）.
A．a(chǎn)=-1，b=2B．a(chǎn)=4，b=-2
C．a(chǎn)=2，b=4D．a(chǎn)=4，b=2
【變式2.1】（2023春·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)AC反射后，再經(jīng)BC上點(diǎn)D反射，落到點(diǎn)上．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【變式2.2】（2023春·四川資陽·高三開學(xué)考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)3 直線關(guān)于直線的對稱問題】
【例3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【例3.2】（2023春·湖北武漢·高二校考階段練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（ ）
A．B．C．D．
【變式3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與關(guān)于直線對稱，與垂直，則（ ）
A．B．C．-2D．2
【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．-1B．C．1D．2
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．2B．3C．D．4
3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則是（ ）
A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
4．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線：，：間的距離為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．－2或1C．－1D．－1或2
6．（2022·高二單元測試）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一束光線從點(diǎn)A（1，2）出發(fā)，被直線反射后到達(dá)點(diǎn)B（3，6），則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為（ ）
A．B．C．4D．5
8．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
10．（2022·高二單元測試）若動點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( )
A．3B．2C．3D．4
11．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
12．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知直線與直線交于點(diǎn).
(1)直線經(jīng)過點(diǎn)，且平行于直線，求直線的方程；
(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，求直線的方程.
（注：結(jié)果都寫成直線方程的一般式）
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，： .
（1）求直線過的定點(diǎn)P，并求出直線的方程，使得定點(diǎn)P到直線的距離為 ；
（2）過點(diǎn)P引直線分別交，軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使得面積最小時(shí)，直線 的方程.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，點(diǎn)．求：
(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；
(3)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程．
15．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）一束光從光源射出，經(jīng)軸反射后（反射點(diǎn)為），射到線段上處．
(1)若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范圍；
(3)若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過的最短路程．方程組的解
一組
無數(shù)組
無解
直線l1和l2的公共點(diǎn)個數(shù)
一個
無數(shù)個
零個
直線l1和l2的位置關(guān)系
相交
重合
平行
點(diǎn)
對稱軸
對稱點(diǎn)坐標(biāo)
P(a,b)
x軸
(a,-b)
y軸
(-a,b)
y=x
(b,a)
y=-x
(-b,-a)
x=m(m≠0)
(2m-a,b)
y=n(n≠0)
(a,2n-b)

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