·模塊一 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
·模塊二 用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系
·模塊三 用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系
·模塊四 用空間向量研究距離、夾角問題
·模塊五 課后作業(yè)
模塊一
空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
(1)空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq \(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．

(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a ，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))②，
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．
(3)平面的法向量定義：
直線l⊥α，取直線l的方向向量a ，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.
【注】一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.
【考點(diǎn)1 求平面的法向量】
【例1.1】（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則平面的一個(gè)法向量可以是（ ）．
A．B．C．D．
【例1.2】（2022秋·湖南郴州·高二?？计谥校┤羝矫?，且平面的一個(gè)法向量為，則平面的法向量可以是（ ）
A． B．C．D．
【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）平面經(jīng)過，且垂直于法向量為的一個(gè)平面，則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A．B．C．D．
【變式1.2】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（ ）

A．B．C．D．
模塊二
用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系
1．空間中直線、平面的平行
(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.
(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.
(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1 ，n2 分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2 .
2．利用向量證明線線平行的思路：
證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．
3．證明線面平行問題的方法：
(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；
(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；
(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．
4．證明面面平行問題的方法：
(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．
(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．
【考點(diǎn)1 空間線、面平行關(guān)系的判定及應(yīng)用】
【例1.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.
【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面.
【變式1.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.
【變式1.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，
求證：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
模塊三
用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系
1．空間中直線、平面的垂直
(1)線線垂直的向量表示：設(shè) u1，u2 分別是直線 l1 , l2 的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.
(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.
(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2 分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.
2．證明兩直線垂直的基本步驟：
建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．
3．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：
(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方
向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與
平面的法向量平行．
4．證明面面垂直的兩種方法：
(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．
【考點(diǎn)1 空間線、面垂直關(guān)系的判定及應(yīng)用】
【例1.1】（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).
(1)求證：.
(2)求證：平面.
【例1.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【變式1.1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.
【變式1.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)在平面內(nèi)求一點(diǎn)G，使平面.
模塊四
用空間向量研究距離、夾角問題
1．距離問題
(1)點(diǎn)P到直線 l 的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq \(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq \r(a2－?a·u?2) (如圖)．

(2)點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．
2．夾角問題
(1)兩個(gè)平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90° 的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
(2)空間角的向量法解法
【考點(diǎn)1 利用空間向量研究距離問題】
【例1.1】（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)證明： 平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
【例1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．
【變式1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點(diǎn)P，M分別為，上靠近的三等分點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M到直線的距離；
(2)求直線PD與平面所成角的正弦值.
【變式1.2】（2023春·甘肅張掖·高二?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
【考點(diǎn)2 利用空間向量求空間角】
【例2.1】（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；
(2)若，求與所成角的余弦值.
【例2.2】（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).

(1)求證： 平面；
(2)求二面角的余弦值.
【變式2.1】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點(diǎn)，且.

(1)求證：；
(2)若點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.
【變式2.2】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)3 利用空間向量研究存在性問題】
【例3.1】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；
(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【例3.2】（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知直角梯形中，，，，，，為的中點(diǎn)，，如圖，將四邊形沿向上翻折，使得平面 平面.

(1)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面？
(2)求二面角的余弦值.
【變式3.1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在底面ABCD為梯形的多面體中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四邊形BDEN為矩形．

(1)求證：BD⊥AE；
(2)線段EN上是否存在點(diǎn)Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點(diǎn)Q的位置并加以證明．
【變式3.2】（2023·全國·高三對口高考）如圖，直三棱柱中，，D是的中點(diǎn)．
(1)求異面直線與所成角的大?。?br>(2)求二面角的余弦值；
(3)在上是否存在一點(diǎn)，使得 平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，則平面ABC的一個(gè)法向量為（ ）
A．(0，1，－1)B．(－1，0，1)
C．(1，1，1)D．(－1，0，0)
2．（2023秋·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考期末）若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線與平面的所成的角等于（ ）
A．B．C．D．以上均錯(cuò)
3．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（ ）
A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；
B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；
C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；
D．若、、是空間三個(gè)向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（ ）
A．B．或C．D．
5．（2023春·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則.B．若，則.
C．若，則.D．若，則.
6．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（ ）．

A．B．C．D．
7．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．與垂直B．與平面垂直
C．與平行D．與平面平行
8．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）

A．B．C．D．
9．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，長方體中，，P為線段上的動點(diǎn)，則以下結(jié)論中不正確的是（ ）

A．當(dāng)時(shí)，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為
B．當(dāng)時(shí)，若平面的法向量記為，則
C．當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為
D．若，則
10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，E為線段上的動點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)E，使；②存在點(diǎn)E，使平面；③EF與所成的角不可能等于60°；④三棱錐的體積隨動點(diǎn)E的變化而變化．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：
(1)平面的一個(gè)法向量；
(2)平面的一個(gè)法向量.
12．（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）已知正方體的棱長為1，如圖以為原點(diǎn)，為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系.分別是的中點(diǎn).
(1)求直線的一個(gè)方向向量；
(2)證明：平面.
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，M為CE的中點(diǎn).請用空間向量知識解決下列問題：
(1)求證：；
(2)求證：平面.
14．（2023春·江西贛州·高二校考階段練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)到平面AEF的距離．
15．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；
(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.角的分類
向量求法
范圍
兩條異面直線所成的角
設(shè)兩異面直線 l1，l2 所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直線與平面所成的角
設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
兩個(gè)平面的夾角
設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))

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