（暑期班）高二數(shù)學(xué)(人教A版選擇性必修第一冊)暑假講義第03講空間向量基本定理（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

·模塊一空間向量基本定理
·模塊二空間向量的正交分解
·模塊三用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
·模塊四課后作業(yè)
模塊一
空間向量基本定理
1．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．
(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等
向量的代換、向量的運算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．
(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，
，不能含有其他形式的向量．
【考點1 空間向量基底的判斷】
【例1.1】（2023·全國·高三對口高考）已知為空間的一個基底，則下列各選項能構(gòu)成基底的是（）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用基底的性質(zhì)進(jìn)行求解.
【解答過程】因為，所以是共面向量，不能構(gòu)成基底，A不正確；
因為不是共面向量，所以可以構(gòu)成基底，B正確；
因為與平行，所以不能構(gòu)成基底，C不正確；
因為，所以共面，不能構(gòu)成基底，D不正確.
故選：B.
【例1.2】（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（）
A．B．C．D．
【解題思路】利用空間共面向量定理及基底的概念判斷即可.
【解答過程】∵，，∴與共面，故A，B錯誤；
∵，∴與共面，故C錯誤；
∵是基底，∴不存在使成立，
∴與不共面，故可以與構(gòu)成空間的一組基底，故D正確.
故選：D.
【變式1.1】（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解題思路】根據(jù)基底的性質(zhì)，結(jié)合共面向量的性質(zhì)逐一判斷即可.
【解答過程】假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因為構(gòu)成空間的一個基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項A不符合題意；
假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因為構(gòu)成空間的一個基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項B不符合題意；
假設(shè)，，是共面向量，則存在使，即，
因為構(gòu)成空間的一個基底，所以上式向量式無實數(shù)解，因此假設(shè)不成立，故選項C符合題意；
假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因為構(gòu)成空間的一個基底，
所以有，因此假設(shè)成立，故選項D不符合題意，
故選：C.
【變式1.2】（2023秋·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知平面ABC，，，，則空間的一個單位正交基底可以為（）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為1.
【解答過程】因為平面ABC，AB、AC都在面ABC內(nèi)，
所以，.
因為，，，所以，又SA=1，
所以空間的一個單位正交基底可以為.
故選：A.
【考點2 用空間基底表示向量】
【例2.1】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點，設(shè)，，，則（）
A．B．
C．D．
【解題思路】由空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.
【解答過程】
如圖所示，，
故選：C.
【例2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（）
A．B．
C．D．
【解題思路】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．
【解答過程】
即
故選：D．
【變式2.1】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設(shè)，，．則（）

A．B．
C．D．
【解題思路】利用空間向量的線性運算即可求解.
【解答過程】因為P是的中點，
所以，
又因為點Q在上，且，
所以
，
所以，
故選：C.
【變式2.2】（2023春·山東青島·高二校考開學(xué)考試）如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，則向量可表示為（）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)向量加減法和數(shù)乘運算，結(jié)合圖形關(guān)系直接求解即可.
【解答過程】，，
.
故選：A.
【考點3 由空間向量基本定理求參數(shù)】
【例3.1】（2022秋·山東濟南·高二統(tǒng)考期中）在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且，則t=（）
A．1B．3C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量的基本定理，進(jìn)而得出方程，解之即可.
【解答過程】因為，
所以，即．
因為M是平面ABC上一點，所以，所以．
故選：A.
【例3.2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解題思路】利用向量的三角形法則及平行四邊形法則和向量形式的中點公式即可得出．
【解答過程】、分別是對邊、的中點，
，．

，
因此，．
故選：D.
【變式3.1】（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知直線AB，BC，不共面，若四邊形的對角線互相平分，且，則的值為（）
A．1B．C．D．
【解題思路】由題意為空間的一組基底，然后利用空間向量基本定理求解.
【解答過程】由題意，知，，不共面，四邊形為平行四邊形，，
為空間的一組基底.
，又，
，，，，
.
故選：D.
【變式3.2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點G為的重心，點M在上，且，過點M任意作一個平面分別交線段，，于點D，E，F(xiàn)，若，，，則的值為（）
A．2B．3C．4D．5
【解題思路】以為空間一組基底，結(jié)合四點共面，用兩種方法表示出，由空間向量的基本定理求得的值.
【解答過程】連接并延長，交于點，
以為空間一組基底，
由于是的重心，點M在上，且，
所以
①.
連接，因為四點共面，
所以存在實數(shù)，使得，
即，
②，
由①②以及空間向量的基本定理可知：
，
，
所以.
故選：C.
模塊二
空間向量的正交分解
1．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．
【考點1 正交分解】
【例1.1】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)為得到，即可得到向量在基底下的坐標(biāo).
【解答過程】因為向量在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.
故選：C.
【例1.2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)，根據(jù)空間向量基本定理建立關(guān)于的方程，解之即可得解.
【解答過程】解：設(shè)
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐標(biāo)為.
故選：A.
【變式1.1】（2022·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，向量是空間的另一個基底，用基底表示向量 .
【解題思路】設(shè)，然后整理解方程組即可.
【解答過程】設(shè)，
即有，
因為是空間的一個單位正交基底，
所以有，
所以.
故答案為：.
【變式1.2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，是空間的一組單位正交基底，向量，，是空間的另一組基底，若向量在基底，，下的坐標(biāo)為（2，1，3），p在基底，，下的坐標(biāo)為（x，y，z），則x﹣y＝ 1 ，z＝ 3 ．
【解題思路】化簡得到，對比系數(shù)得到答案.
【解答過程】根據(jù)題意知：，.
故；
故答案為：；.
模塊三
用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
1．證明平行、共線、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.
(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.
3．求距離(長度)問題
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
【考點1 利用空間向量基本定理解決幾何問題】
【例1.1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足.
(1)判斷三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).
【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；
（2）根據(jù)（1）結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可.
【解答過程】（1）由題知，
∴，
即，
∴共面.
（2）由（1）知，共面且基線過同一點M，
∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi).
【例1.2】（2022秋·湖北省直轄縣級單位·高二?？计谥校┤鐖D，正四面體（所有棱長均相等）的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體中各棱的中點，設(shè)，，.
(1)用，，表示，并求的長；
(2)求與的夾角.
【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用空間向量基底表示，再利用向量數(shù)量積的運算律求出的長作答.
（2）用空間向量基底表示，再求出與的數(shù)量積即可作答.
【解答過程】（1）因分別為棱的中點，而，，，
所以，
因正四面體的棱長為1，則，
所以.
（2）依題意，，
因正四面體的棱長為1，有，
因此，
所以，即與的夾角為.
【變式1.1】（2023·高一單元測試）如圖，三棱柱中，M，N分別是上的點，且．設(shè)，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，求MN的長．
【解題思路】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.
（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.
【解答過程】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的長為.
【變式1.2】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．
(1)用，，表示向量；
(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．
【解題思路】（1）根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)，，用，，表示向量，依題意可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律求出，即可得解．
【解答過程】（1）解：因為是中點，所以，
所以
；
（2）解：假設(shè)存在點，使，設(shè)，，
顯然，，
因為，所以，
即，
，，，
即，
解得，所以當(dāng)時，.
模塊四
課后作業(yè)
1．（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）若是空間的一個基底，則下列各組向量中一定能構(gòu)成空間的一個基底的是（）
A．B．
C．D．
【解題思路】判斷所給三個向量是否共面，即可得解.
【解答過程】對A選項，，故三向量共面，A錯誤；
對B選項，若共面，則，解得，故三向量共面，B錯誤，
對C選項，，故三向量共面，C錯誤，
對D選項，若向量共面，則無解,
故向量不共面，故D正確,
故選：D.
2．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知是空間的一個基底，則下列說法錯誤的是（）
A．若，則
B．兩兩共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能構(gòu)成空間的一個基底
【解題思路】利用向量的線性關(guān)系、向量的基底的定義和空間向量基本定理，即可求解．
【解答過程】對于A，若不全為0，則共面，與題意矛盾，故A正確；
對于B，是空間的一個基底,則兩兩共面，但不共面，故B正確；
對于C，不共面，則不存在實數(shù)，使得，故C錯誤；
對于D，若共面，，無解，
故不共面，一定能構(gòu)成空間的一個基底，故D正確
故選∶C．
3．（2023春·高二課時練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合條件逐項分析即得．
【解答過程】由題可知不共面，
對于A選項，因為，所以三個向量共面；
對于B選項，因為，所以三個向量共面；
對于C選項，假設(shè)存在實數(shù)使得，
則共面，與不共面矛盾，因此不共面；
對于D選項，，所以共面.
故選：C．
4．（2023秋·河北秦皇島·高二?？计谀┮阎蛄渴强臻g的一個單位正交基底，向量是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則它在下的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)正交分解的定義即可得解．
【解答過程】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，
則，
所以解得
故在基底下的坐標(biāo)為.
故選：C.
5．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）O、A、B、C為空間四點，且向量、、不能構(gòu)成空間的一個基底，則下列說法正確的是（）
A．、、共線B．、共線
C．、共線D．O、A、B、C四點共面
【解題思路】根據(jù)向量、、不能構(gòu)成空間的一個基底知向量共面，即可得出結(jié)論.
【解答過程】因為O、A、B、C為空間四點，且向量、、不能構(gòu)成空間的一個基底，
所以、、共面，
所以O(shè)、A、B、C四點共面，
故選：D.
6．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（）

A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合圖形可得.
【解答過程】因為，所以，
所以，即，
又，
所以.
故選：D.
7．（2023春·安徽池州·高二聯(lián)考階段練習(xí)）已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，結(jié)合向量的數(shù)乘運算和相等向量的概念計算，即可求解.
【解答過程】由題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，
即，
則，
則x=2，，，解得.
故選：D.
8．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（）
A．B．1C．D．2
【解題思路】運用向量的線性運用表示向量，對照系數(shù)，求得，代入可得選項.
【解答過程】因為，
所以，所以，所以，
所以，
故選：A.
9．（2023·高二單元測試）如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為（）
A．B．C．D．10
【解題思路】利用空間向量基本定理表達(dá)出，平方后利用空間向量數(shù)量積公式求出，得到的長.
【解答過程】，故
，
故.
故選：C.
10．（2023春·湖南長沙·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱柱的體積為，四邊形是平行四邊形，點在平面內(nèi)，且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（）
A．B．C．D．
【解題思路】作出輔助線，找到兩三棱錐的公共部分，結(jié)合三角形相似知識得到邊長比，從而得到體積比，求出答案.
【解答過程】先找兩三棱錐的公共部分，由知：，故，
在上取點，使得，連接，
設(shè)，連接，
則三棱錐為三棱錐與三棱錐的公共部分，
∵∽，
，
點到平面的距離是點到平面的距離的，又，
.
故選：A.
11．（2023春·高二課時練習(xí)）已知為空間的一個基底，且，，，能否以作為空間的一組基底？
【解題思路】假設(shè)存在不全為的實數(shù)，，使得成立，則，通過此方程組的解即可判斷出結(jié)論．
【解答過程】假設(shè)存在不全為的實數(shù)，，使得成立，
即，
所以，此方程組無解，
即不存在不全為的實數(shù)，，使得成立，
因此假設(shè)不成立．所以不共面，
所以能以作為空間的一組基底．
12．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，G、H分別是、的重心，D為BC的中點，設(shè)，，，試用試用基底表示向量和.

【解題思路】由已知得，，可得；
由可得可得答案.
【解答過程】由已知得，，
因為G是的重心，D為BC的中點，
所以，，
所以；
又因為H是的重心，
所以，
.
13．（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是平行四邊形對角線AC和BD的交點，Q是CD的中點，求下列各式中x，y的值．
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）利用向量的三角形法則及其向量相等即可得出．
（2）利用向量的三角形法則及其向量相等即可得出．
【解答過程】（1）解：
．
．
（2）解：，．
又，．
從而有．
，．
14．（2023春·高二課時練習(xí)）已知是空間的一組基，且，，，．
（1）能否構(gòu)成空間的一組基？若能，試用這一組基向量表示；若不能，請說明理由．
（2）判斷，，，四點是否共面．
【解題思路】（1）假設(shè)向量，，共面，則存在實數(shù)，，使，
即，列出關(guān)于的方程組，方程組無解則不共面，由已知把都用表示，代入即得；
（2）假設(shè)，，，四點共面，則存在實數(shù)，，，使，且，但（1）中結(jié)論不滿足，從而得不共面．
【解答過程】（1）假設(shè)向量，，共面，則存在實數(shù)，，使，
即，
所以，方程組無解，所以向量，，不共面，
因此可以構(gòu)成空間的一組基．
令，，，
由，得，
所以
．
（2）假設(shè)，，，四點共面，則存在實數(shù)，，，使，且．
由（1）知，但，故，，，四點不共面．
15．（2023春·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知在平行六面體中，，，且.
(1)求的長；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【解題思路】（1）用空間的一個基底表示向量，再利用空間向量數(shù)量積的運算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，結(jié)合空間向量的夾角公式計算作答.
【解答過程】（1）在平行六面體中，為空間的一個基底，
因為，，且，
則，
，
所以
.
（2）由（1）知，，則，
又，所以向量與夾角的余弦值.

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