·模塊一 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
·模塊二 橢圓的焦點(diǎn)三角形
·模塊三 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
·模塊四 課后作業(yè)
模塊一
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫
作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.
(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
3．橢圓方程的求解
(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.
(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待
定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.
②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)
在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【考點(diǎn)1 曲線方程與橢圓】
【例1.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【例1.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）“是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【變式1.1】（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1.2】（2023春·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)2 橢圓的定義】
【例2.1】（2023春·上海靜安·高二校考期中）設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為（ ）
A．B．C．4D．
【例2.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．1D．3
【變式2.1】（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【變式2.2】（2023秋·山西大同·高二統(tǒng)考期末）如果橢圓上一點(diǎn)到此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，是的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．10C．8D．12
【考點(diǎn)3 橢圓方程的求解】
【例3.1】（2023秋·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例3.2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足，且，則橢圓C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【變式3.1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：右焦點(diǎn)為，其上下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式3.2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，分別是的中點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【考點(diǎn)4 動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】
【例4.1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（ ）
A． B．（y≠0）
C．D．
【例4.2】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【變式4.1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．線段B．圓C．橢圓D．直線
【變式4.2】（2023秋·北京通州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
模塊二
橢圓的焦點(diǎn)三角形
1．橢圓的焦點(diǎn)三角形
(1)焦點(diǎn)三角形的概念
設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)三角形焦點(diǎn)三角形，如圖所示.
(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式
①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③設(shè)，，則.
【考點(diǎn)1 橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題】
【例1.1】（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．6D．8
【例1.2】（2023春·四川宜賓·高二?？计谀┮阎c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6B．12C．D．
【變式1.1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△ABF周長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．4B．8C．10D．20
【變式1.2】（2023春·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓上有一點(diǎn)P，是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為直角三角形，這樣的點(diǎn)P有（ ）
A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)
模塊三
橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1．橢圓的范圍
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍.
(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.
(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.
2．橢圓的對(duì)稱性
(1)從形的角度看：橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.
(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫作橢圓的中心.
3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸
以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a>b>0)為例.
(1)頂點(diǎn)
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
這說(shuō)明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓與它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).
(2)長(zhǎng)軸、短軸
線段，分別叫作橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.
長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a，短軸長(zhǎng)=2b，a和b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).
4．橢圓的離心率
(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.
(2)離心率的范圍：0

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