·模塊一 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
·模塊二 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
·模塊三 課后作業(yè)
模塊一
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．拋物線的定義
(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.
(2)集合語言表示
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
【考點(diǎn)1 動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題】
【例1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.
【解答過程】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D.
【例1.2】（2022秋·新疆哈密·高二?？计谀c(diǎn)到點(diǎn) 的距離比它到直線的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離可得答案.
【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離少2，
所以將直線左移2個(gè)單位，得到直線，即，
可得點(diǎn)到直線的距離等于它到點(diǎn)的距離，
根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，可得，得，
所以拋物線的方程為，即為點(diǎn)的軌跡方程.
故選：B．
【變式1.1】（2023春·上海閔行·高二?？奸_學(xué)考試）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
【解題思路】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.
【解答過程】由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，
即，
即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，
又由點(diǎn)不在直線上，
根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以的拋物線.
故選：D.
【變式1.2】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)題意分別求得，的坐標(biāo)與切線，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
【解答過程】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），
所以，，
又因?yàn)檫^作圓的切線，
所以切線的方程為，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
所以的軌跡方程為．
故選：A.
【考點(diǎn)2 利用拋物線的定義解題】
【例2.1】（2022春·山西忻州·高二統(tǒng)考期末）拋物線上一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，則P到焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解題思路】設(shè)，則，解出值，則距離為，代入即可.
【解答過程】設(shè)，則，
解得（負(fù)根舍去），
所以P到焦點(diǎn)的距離為．
故選：B.
【例2.2】（2022秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且，則（ ）
A．B．1C．2D．4
【解題思路】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義，列式計(jì)算作答.
【解答過程】點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線方程為：，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，且，則有，解得，
所以.
故選：C.
【變式2.1】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二校考期末）已知A為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為9，則（ ）
A．2B．3C．6D．9
【解題思路】利用拋物線的定義即可求解.
【解答過程】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義知，解得.
故選：A.
【變式2.2】（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．3C．D．
【解題思路】根據(jù)拋物線定義結(jié)合，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求得答案.
【解答過程】由題意F為拋物線的焦點(diǎn)，則,且準(zhǔn)線方程為，
設(shè),由可得,代入得，
即,故,
故選：C.
【考點(diǎn)3 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】
【例3.1】（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C：過點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線方程為（ ）
A． B．C．D．
【解題思路】先求得參數(shù)a的值，進(jìn)而求得C的準(zhǔn)線方程.
【解答過程】拋物線C：過點(diǎn)，則，解之得，
則拋物線C方程為，則C的準(zhǔn)線方程為
故選：B.
【例3.2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．時(shí)為時(shí)B．時(shí)為時(shí)為
C．D．
【解題思路】拋物線化為，分，兩種情況討論求解，綜合即可得出答案.
【解答過程】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
拋物線化為，
當(dāng)時(shí)，其表示焦點(diǎn)在軸正半軸上，開口向上的拋物線，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，其表示焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，開口向下的拋物線，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為即，
綜上，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C.
【變式3.1】（2023·安徽滁州·安徽省校考二模）已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上可得，利用拋物線定義可得，即可求得p的值，即可求得答案,
【解答過程】由題意可知，，所以
又知拋物線的準(zhǔn)線方程為，
根據(jù)拋物線的定義可知，，整理得，解得，
所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：C．
【變式3.2】（2023·河南鄭州·三模）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C：，一條平行于y軸的光線，經(jīng)過點(diǎn)，射向拋物線C的B處，經(jīng)過拋物線C的反射，經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，即可轉(zhuǎn)化求解.
【解答過程】由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，所以，得，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：B.
【考點(diǎn)4 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例4.1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【解題思路】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)的值，即得答案.
【解答過程】設(shè)拋物線的方程為或，
將點(diǎn)代入，可得或，
解得或，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，
故選：C.
【例4.2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，代入拋物線方程，再由，利用拋物線的定義求解.
【解答過程】解：依題意得 ，
因?yàn)?，所?
又，解得，
所以拋物線的方程為.
故選：D.
【變式4.1】（2023春·四川雅安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，且的開口朝左，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)開口設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，利用p的幾何意義即可求出.
【解答過程】依題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)榈慕裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
【變式4.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，l是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若，，則拋物線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義及性質(zhì)，即可求解.
【解答過程】解：由題意得：
，，，所以
可得，由拋物線的定義得
所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是．
故選：B.
模塊二
拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1．拋物線的幾何性質(zhì)
拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：
2．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異
拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：
①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；
②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；
③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；
④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是00)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
標(biāo)準(zhǔn)
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
圖形
頂點(diǎn)
(0,0)
(0,0)
軸
對(duì)稱軸y=0
對(duì)稱軸x=0
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
離心率
e =1
e=1
開口
開口向右
開口向左
開口向上
開口向下
焦半徑
范圍
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0

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