題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式
題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯
題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法
題型四：一次分式不等式的解法
題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題
題型六：不等式的恒成立問題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的概念
一般地，我們把只含有一個(gè)末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．
知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集．
知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系
對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；
（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．
知識(shí)點(diǎn)五：利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；
（2）由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；
（3）求解所列出的不等式（組）；
（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．
知識(shí)點(diǎn)六：一元二次不等式恒成立問題
（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立
（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．
知識(shí)點(diǎn)七：簡單的分式不等式的解法
系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”
【典例例題】
題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式
例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集是___________________.
例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為___________________.
例3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)） 的解集為___________________.
變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為___________________.
變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為___________________.
題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯
例4．（多選題）（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的解集為
C．D．的解集為
例5．（多選題）（2023·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于的不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為或
例6．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為或，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．不等式的解集為
C．D．不等式的解集為或
變式3．（多選題）（2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．且D．不等式的解集是
變式4．（多選題）（2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，且，則
題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法
例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，解不等式．
例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的不等式.
例9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求，的值；
(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式．
變式5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對(duì)于恒成立．
(1)求的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，解關(guān)于的不等式．
變式6．（2023·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)．
(1)若的解集為，求a，b的值.
(2)若，求解不等式.
題型四：一次分式不等式的解法
例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為_________．
例11．（2023·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集是______.
例12．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為________．
變式7．（2023·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┎坏仁降慕饧莀_____.
變式8．（2023·四川巴中·高一四川省平昌中學(xué)校考階段練習(xí)）不等式的解集為_________．
變式9．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集是___________.
題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題
例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）年月日，迎來了香港回歸祖國周年，為了迎接這一歷史性時(shí)刻，某商店購進(jìn)一批香港回歸周年紀(jì)念章，每枚的最低售價(jià)為元，若每枚按最低售價(jià)銷售，每天能賣出枚，每枚售價(jià)每提高元，日銷售量將減少枚，為了使這批紀(jì)念章每天獲得元以上的銷售收入，則這批紀(jì)念章的銷售單價(jià)（單位：元）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，每盞的最低售價(jià)為15元，若每盞按最低售價(jià)銷售，每天能賣出45盞，每盞售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺(tái)燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)（單位：元）的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某村辦服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x（件）與售價(jià)p（元/件）的關(guān)系為p=300-2x；生產(chǎn)x件的成本r=500+30x（元），為使月獲利不少于8600元，則月產(chǎn)量x滿足（ ）
A．55≤x≤60B．60≤x≤65C．65≤x≤70D．70≤x≤75
變式11．（2023·全國·高一假期作業(yè)）某種雜志原以每本元的價(jià)格銷售，可以售出萬本.根據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高元，銷售量就減少本.設(shè)每本雜志的定價(jià)為元，要使得提價(jià)后的銷售總收入不低于萬元，則應(yīng)滿足（ ）
A．B．C．D．
題型六：不等式的恒成立問題
例16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．或D．
例18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值恒小于0，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式13．（2023·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知對(duì)一切，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式14．（2023·云南文山·高一校聯(lián)考期中）已知不等式的解集為，且對(duì)于，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式16．（2023·北京·高一?？计谥校?，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式17．（2023·河北邯鄲·高一校考階段練習(xí)）設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，則（ ）
A．B．C．D．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．或
5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山東聊城·高二山東聊城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（ ）
A．[－4，3]B．[－4，2]
C．[－1，3]D．[－2，2]
二、多選題
9．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式的解集為或，則（ ）
A．
B．
C．不等式的解集是
D．不等式與的解集相同
10．（2023·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某商場若將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件元出售，每天可銷售件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤．已知這種商品每件銷售價(jià)提高元，銷售量就要減少件．那么要保證每天所賺的利潤在元以上，每件銷售價(jià)可能為（ ）
A．元B．元C．元D．元
12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下面正確的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，且，則
三、填空題
13．（2023·天津南開·高二天津市第二南開中學(xué)校考階段練習(xí)）若命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集是__________．
15．（2023·高一單元測試）不等式的解集是__________．
16．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有2個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________．
四、解答題
17．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知；若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為R，求m．
19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校要在一塊長為40米，寬為30米的矩形地面上進(jìn)行綠化，四周種植花卉(花卉帶的寬度相等)，中間設(shè)草坪(如圖)．要求草坪的面積不少于總面積的一半，求花卉帶寬度的取值范圍．

20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)的最小值為，且其圖象過點(diǎn)，.
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在區(qū)間上，二次函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．（2023·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或.
(1)求的值；
(2)當(dāng)，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.
22．（2023·廣東梅州·高一大埔縣虎山中學(xué)校考期中）設(shè)．
(1)命題，使得成立．若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)解關(guān)于的不等式．
23．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式
(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求此不等式的解集．二次函數(shù)
（）的圖象
有兩相異實(shí)根
有兩相等實(shí)根
無實(shí)根

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