題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明
題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達式
題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值
題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
題型五：已知奇函數(shù)+M
題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題
題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運用
題型八：利用函數(shù)奇偶性識別圖像
題型九：對稱性與奇偶性的綜合應(yīng)用
【知識點梳理】
知識點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟
1、函數(shù)奇偶性的概念
偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為偶函數(shù)．
奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為奇函數(shù)．
知識點詮釋：
（1）奇偶性是整體性質(zhì)；
（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；
（3）的等價形式為：，
的等價形式為：；
（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有；
（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．
2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)
（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．
（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．
3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟
（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進行下一步；
（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；
（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．
若，則是奇函數(shù)；
若=，則是偶函數(shù)；
若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
知識點二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法
（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等．
（2）驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證及是否成立即可．
（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱．
（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．
（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷
判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較．
知識點三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論
（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱．
（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱．
（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足．
（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．
（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．
（6）運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如．
對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．
【典例例題】
題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明
例1．（2023·高一課時練習(xí)）對于兩個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說法中正確的是（ ）
A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)
B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)
C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)
D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)
例2．（2023·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)
變式2．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，證明是定義域上的奇函數(shù)；
變式3．（2023·云南曲靖·高一會澤縣實驗高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)求，的值；
(3)證明：為定值.
題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達式
例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的表達式為_________．
例5．（2023·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式是_____________．
例6．（2023·北京·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，求的解析式___________.
變式4．（2023·上海楊浦·高一?？计谀┤艉瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，__________.
變式5．（2023·山西大同·高一大同一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.當(dāng)時，求函數(shù)的解析式__________.
變式6．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期末）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則__．
題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值
例7．（2023·高一課時練習(xí)）己知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
例8．（2023·高一課時練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（ ）
A．4B．C．7D．
例9．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（ ）
A．1B．－1C．5D．－5
變式7．（2023·高一課時練習(xí)）已知，則等于（ ）
A．8B．C．D．10
變式8．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（ ）
A．B．C．D．
變式9．（2023·高一單元測試）奇函數(shù)在上是增函數(shù)，在上的最大值是8，最小值為，則（ ）
A．B．C．D．
題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
例10．（2023·廣東佛山·高一佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則__．
例11．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域是，則______．
例12．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若是奇函數(shù)，則__________
變式10．（2023·重慶璧山·高一重慶市璧山來鳳中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，則________.
變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，（且）是偶函數(shù)，則的值為__________．
變式12．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）如果為奇函數(shù)，那么__．
變式13．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知.若是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是____________.
變式14．（2023·北京·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)___________
題型五：已知奇函數(shù)+M
例13．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谥校?，若，則__________.
例14．（2023·山東濱州·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，且，則________________.
例15．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______.
變式15．（2023·江西宜春·高一校聯(lián)考期末）已知，且，那么________．
變式16．（2023·湖北武漢·高一武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（ ）
A．B．C．D．
變式17．（2023·河南鄭州·高一鄭州外國語學(xué)校?？计谥校┤舳x上的函數(shù)滿足：對任意有，若的最大值和最小值分別為，，則的值為（ ）
A．2022B．2018C．4036D．4044
題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題
例16．（2023·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的定義域為，且對任意x，，都有；
(1)求的值；
(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論：
(3)若時，，求證：在單調(diào)遞減.
例17．（2023·山西太原·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對于任意都有．
(1)證明是奇函數(shù)；
(2)解不等式．
例18．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為R，對任意x，y恒有，且．
(1)求的值；
(2)判斷的奇偶性，并證明．
變式18．（2023·安徽合肥·高一?？计谥校┮阎獫M足 ，且時，
(1)判斷的單調(diào)性并證明；
(2)證明：；
(3)若，解不等式．
題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運用
例19．（2023·高一課時練習(xí)）偶函數(shù)滿足：，且在區(qū)間與上分別遞減和遞增，使的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2023·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的解集為（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（ ）
A．B．C．D．
變式19．（2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式解集是（ ）
A．B．
C．D．
變式20．（2023·海南·高一農(nóng)墾中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(－∞,0]上單調(diào)遞減，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式21．（2023·新疆·高一烏魯木齊市第70中校考期中）設(shè)函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且在上遞減，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
變式22．（2023·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)，對任意的，，滿足，且，則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
變式23．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
變式24．（2023·全國·高一階段練習(xí)）若定義在R的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型八：利用函數(shù)奇偶性識別圖像
例22．（2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖像可能是（ ）
A．B．
C．D．
例23．（2023·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則它的部分圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·安徽合肥·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖像為（ ）
A．B．
C．D．
變式25．（2023·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
變式26．（2023·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谥校┪覈麛?shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：”數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在[﹣2，2]上的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
題型九：對稱性與奇偶性的綜合應(yīng)用
例25．（2023·云南保山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象對稱軸是（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·北京·高一北京市第五中學(xué)校考期中）若定義域為的奇函數(shù)滿足，且，則 （ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·浙江紹興·高一浙江省新昌中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．D．
變式27．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考期中）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（ ）
A．B．C．D．
變式28．（2023·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上有最大值12，則函數(shù)在上有（ ）
A．最小值-12B．最大值-12C．最小值-3D．最小值-2
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）對于定義在上的函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．若，則函數(shù)是增函數(shù)
B．若，則函數(shù)不是減函數(shù)
C．若，則函數(shù)是偶函數(shù)
D．若，則函數(shù)不是奇函數(shù)
2．（2023·北京·高一?？计谥校┖瘮?shù)滿足，且在區(qū)間上的值域是，則坐標(biāo)所表示的點在圖中的（ ）.

A．線段AD和線段BC上B．線段AD和線段DC上
C．線段AB和線段DC上D．線段AC和線段BD上
3．（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)
4．（2023·高一課時練習(xí)）已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（ ）
A．1.4B．3.4C．1.6D．3.6
5．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥校┒x在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·高一課時練習(xí)）若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則它在區(qū)間上是（ ）
A．增函數(shù)且最大值是B．增函數(shù)且最小值是
C．減函數(shù)且最大值是D．減函數(shù)且最小值是
7．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？紡娀媱潱┤糁苯亲鴺?biāo)系內(nèi)兩點M、N滿足條件①M、N都在函數(shù)y的圖象上②M、N關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)y的一個“共生點對”（點對與看作同一個”共生點對”），已知函數(shù)，則函數(shù)y的“共生點對”有（ ）個
A．0B．1C．2D．3
8．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·云南普洱·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)
C．是偶函數(shù)D．是偶函數(shù)
10．（2023·高一單元測試）下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)，又是（0，+∞）增函數(shù)的有（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的最大值為
C．在上是單調(diào)遞增D．的解集為
12．（2023·江蘇揚州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示.函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，.給出下列四個結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．不等式的解集為RD．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
三、填空題
13．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知有偶函數(shù)，奇函數(shù)，且有，則的值域為____________.
14．（2023·北京·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集是______.
15．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解集為__________.

16．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，比較，，大小關(guān)系_____.
四、解答題
17．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.
(1)求函數(shù)的解析式并畫出其圖像；

(2)設(shè)函數(shù)在上的最大值為，求.
18．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中c為常數(shù).
(1)求c的值；
(2)若時，均有，求m的取值范圍.
19．（2023·高一課時練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2) ；
(3).
20．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
(3)解不等式.
21．（2023·高一單元測試）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)求的解析式；
(2)畫出的圖象；
(3)求該函數(shù)的值域．
22．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且當(dāng)x>0時，f(x)

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