題型一：隨機(jī)變量的概念
題型二：離散型隨機(jī)變量的判斷
題型三：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果
題型四：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用
題型五：兩點(diǎn)分布
題型六：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值
題型七：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)
題型八：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用
題型九：求離散型隨機(jī)變量的方差
題型十：方差的性質(zhì)的應(yīng)用
題型十一：均值與方差的綜合應(yīng)用
題型十二：n重伯努利試驗(yàn)的判斷
題型十三：n重伯努利試驗(yàn)概率的求法
題型十四：二項(xiàng)分布的均值與方差
題型十五：利用超幾何分布的公式求概率
題型十六：超幾何分布的分布列
題型十七：超幾何分布的綜合應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：隨機(jī)變量及其分布列
1、隨機(jī)變量
隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．
定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．
2、離散型隨機(jī)變量
可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值．
3、隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系
隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．
4、離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之和
（1）離散型隨機(jī)變量的分布列
一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 x1，x2，…，xn ，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率
P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為分布列．
（2）可以用表格來(lái)表示X的分布列，如下表
還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．
5、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；
（2） p1＋p2＋…＋pn＝1．
6、兩點(diǎn)分布
對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，eq \(A,\s\up6(－))表示“失敗”，定義X＝P，如果P（A）＝p，則P（eq \(A,\s\up6(－))）＝1－p，那么X的分布列如表所示
我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．
知識(shí)點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
1、離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望
正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為
則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．
2、兩點(diǎn)分布的期望
一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么；
3、離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
設(shè)X的分布列為．
一般地，下面的結(jié)論成立：．
4、離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
考慮所有可能取值與的偏差的平方，因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值的偏離程度，我們稱
為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為，并稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為．
知識(shí)點(diǎn)三：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1、定義
一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
2、特點(diǎn)
（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；
（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．
知識(shí)點(diǎn)四：二項(xiàng)分布
1、定義
一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式
各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．
注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．
2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．
（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．
3、二項(xiàng)分布的期望、方差
若，則，．
知識(shí)點(diǎn)五：超幾何分布
1、定義
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①考察對(duì)象分兩類；
②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．
【典型例題】
題型一：隨機(jī)變量的概念
例1．（2022·陜西·渭南市華州區(qū)咸林中學(xué)高二期中（理））袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中可以用隨機(jī)變量表示的是（ ）．
A．至少取到1個(gè)白球B．至多取到1個(gè)白球
C．取到白球的個(gè)數(shù)D．取到球的個(gè)數(shù)
例2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將一枚質(zhì)地均勻的骰子擲兩次，下列選項(xiàng)可作為此次試驗(yàn)的隨機(jī)變量的是（ ）
A．第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B．第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)
C．兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和D．兩次出現(xiàn)相同點(diǎn)的種數(shù)
題型二：離散型隨機(jī)變量的判斷
例3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：
①一高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)ξ；
②一個(gè)沿直線y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置η；
③某指揮臺(tái)5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)電話次數(shù)X；
④某同學(xué)離開(kāi)哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；
其中是離散型隨機(jī)變量的為（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
題型三：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果
例4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是（ ）
A．兩次擲得的點(diǎn)數(shù)
B．兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和
C．兩次擲得的最大點(diǎn)數(shù)
D．第一次擲得的點(diǎn)數(shù)減去第二次擲得的點(diǎn)數(shù)的差
例5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）袋中有大小相同的6個(gè)黑球，5個(gè)白球，從袋中每次任意取出1個(gè)球且不放回，直到取出的球是白球，記所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
題型四：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用
例6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，其分布列為：
則實(shí)數(shù)q的值為_(kāi)_____.
例7．（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）隨機(jī)變量的分布列如圖，且，，成等差數(shù)列，則______．
題型五：兩點(diǎn)分布
例8．（2022·重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定感染者.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染者，呈陰性即為健康.
（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)；②分組混合化驗(yàn)：先將血液分成若干組，對(duì)組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者.
（i）采取逐一化驗(yàn)，求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方案.
例9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且成功概率P＝0.5，則D(X)＝________，E(X)＝________.
題型六：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值
例10．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）在采用五局三勝制（先取得三局勝利的一方，獲得最終勝利）的籃球總決賽中，當(dāng)甲隊(duì)先勝2場(chǎng)時(shí)，因疫情暴發(fā)不得不中止比賽.已知甲?乙兩隊(duì)水平相當(dāng)，每場(chǎng)甲?乙勝的概率都為，總決賽的獎(jiǎng)金為80萬(wàn)元，總決賽的勝者獲得全部獎(jiǎng)金.根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí)，甲隊(duì)?wèi)?yīng)分得的獎(jiǎng)金為（ ）萬(wàn)元.
A．80B．70C．50D．40
例11．（2022·黑龍江·肇東市第四中學(xué)校高二期末）設(shè)的分布列如表所示，又設(shè)，則等于（ ）
A．B．C．D．
題型七：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)
例12．（2022·廣東廣州·高二期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，則=（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
例13．（2022·北京·人大附中高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列是，則（ ）
A．B．C．D．
題型八：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用
例14．（2022·山東聊城一中高二期中）為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，山東電視臺(tái)舉行國(guó)寶知識(shí)大賽，先進(jìn)行預(yù)賽，規(guī)則如下：
①有易、中、難三類題，共進(jìn)行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機(jī)抽出該類題中的一個(gè)回答；②答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進(jìn)入決賽．選手甲答對(duì)各題是相互獨(dú)立的，答對(duì)每類題的概率及得分如下表：
(1)若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對(duì)了一個(gè)，你認(rèn)為他后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，并說(shuō)明理由；
(2)甲四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題、兩個(gè)中等題、一個(gè)難題，若容易題答對(duì)，記甲預(yù)賽四輪得分總和為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．
例15．（2022·山東·高二階段練習(xí)）某商場(chǎng)為了促銷規(guī)定顧客購(gòu)買滿600元商品即可抽獎(jiǎng)，最多有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽中，可依次獲得10元，20元，30元獎(jiǎng)金，若沒(méi)有抽中，則停止抽獎(jiǎng)．顧客每次抽中后，可以選擇帶走所有獎(jiǎng)金，結(jié)束抽獎(jiǎng)；也可選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)，若沒(méi)有抽中，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，結(jié)束抽獎(jiǎng)．小王購(gòu)買了600元商品并參與了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知他每次抽中的概率依次為，選擇繼續(xù)抽獎(jiǎng)的概率均為，且每次是否抽中互不影響．
(1)求小王第一次抽中，但所得獎(jiǎng)金歸零的概率；
(2)設(shè)小王所得獎(jiǎng)金總數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
題型九：求離散型隨機(jī)變量的方差
例16．（2022·上海市奉賢中學(xué)高二期末）已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布為，且，則______.
例17．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布如下表：
若隨機(jī)變量的期望值，則______．
題型十：方差的性質(zhì)的應(yīng)用
例18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于隨機(jī)變量X，它的數(shù)學(xué)期望和方差，下列所有正確的序號(hào)是______．
①是反映隨機(jī)變量的平均取值； ②越小，說(shuō)明X越集中于；
③； ④．
例19．（2022·四川眉山·高二期末（文））若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)__________.
例20．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二階段練習(xí)（文））某種種子每粒發(fā)芽的概率都為，現(xiàn)播種了粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，則的方差為_(kāi)_______．
題型十一：均值與方差的綜合應(yīng)用
例21．（2022·上海市大同中學(xué)高二期末）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).求：
(1)的分布；
(2)的期望與方差.
例22．（2022·北京房山·高二期末）開(kāi)展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開(kāi)展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.
(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學(xué)生支持方案二的條件下，該學(xué)生是女生的概率；
(2)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(3)在（2）中，表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫結(jié)果）
題型十二：n重伯努利試驗(yàn)的判斷
例23．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列事件：①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲?乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲?乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒(méi)射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo).其中是伯努利試驗(yàn)的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
例24．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是（ ）
A．運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C．甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒(méi)射中目標(biāo)”
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)
題型十三：n重伯努利試驗(yàn)概率的求法
例25．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在4重伯努利試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不小于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是（ ）
A．(0，0.6]B．[0.6，1)
C．[0.4，1)D．(0，0.4]
例26．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，若兩枚硬幣都正面向上，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則3次試驗(yàn)中至少有2次成功的概率是（ ）
A．B．C．D．
題型十四：二項(xiàng)分布的均值與方差
例27．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））無(wú)土栽培由于具有許多優(yōu)點(diǎn)，在果蔬種植行業(yè)得到大力推廣，無(wú)土栽培的類型主要有水培?巖棉培和基質(zhì)培三大類.某農(nóng)科院為了研究某種草苺最適合的無(wú)土栽培方式，種植了400株這種草苺進(jìn)行試驗(yàn)，其中水培?巖棉培?基質(zhì)培的株數(shù)分別為200，100，100.草苺成熟后，按照栽培方式用分層抽樣的方法抽取了40株作為樣本，統(tǒng)計(jì)其單株產(chǎn)量，數(shù)據(jù)如下：
(1)求x，y，z的值；
(2)若從這40株草苺中隨機(jī)抽取2株，求這2株中恰有1株的單株產(chǎn)量不小于150的概率；
(3)以這40株草莓的不同單株產(chǎn)量的頻率代替每一株草莓的產(chǎn)量為對(duì)應(yīng)數(shù)值的概率，若從這400株草莓中隨機(jī)抽取3株，用X表示單株產(chǎn)量在內(nèi)的株數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
例28．（2022·河北·石家莊二中高二期末）近年來(lái)某村制作的手工藝品在國(guó)內(nèi)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：
（ⅰ）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；
（ⅱ）若3位行家中僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)．若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)；若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；
（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí)．已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立．
(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；
(2)求81件手工藝品中，質(zhì)量為C級(jí)的手工藝品件數(shù)的方差；
(3)求10件手工藝品中，質(zhì)量為D級(jí)的手工藝品最有可能是多少件？
題型十五：利用超幾何分布的公式求概率
例29．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在含有5件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，則取到的次品數(shù)X的分布列為P(X＝r)＝________.
例30．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某導(dǎo)游團(tuán)有外語(yǔ)導(dǎo)游10人，其中6人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)，現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù)，則有2人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)的概率為_(kāi)_______．
題型十六：超幾何分布的分布列
例31．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計(jì)400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：噸）．
(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；
(2)若處理1噸廚余垃圾需要5元，處理1噸非廚余垃圾需要8元，請(qǐng)估計(jì)處理這400噸垃圾所需要的費(fèi)用；
(3)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動(dòng)（每名志愿者被選到的可能性相同）．設(shè)為選出的3名志愿者中男性志愿者的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．
例32．（2022·遼寧·瓦房店市高級(jí)中學(xué)高二期末）共享電動(dòng)車（sharedev）是一種新的交通工具，通過(guò)掃碼開(kāi)鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來(lái)到中國(guó)傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車，這些電動(dòng)車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車中任意抽取3輛.
(1)求取出的3輛共享電動(dòng)車中恰好有一輛是橙色的概率；
(2)求取出的3輛共享電動(dòng)車中橙色的電動(dòng)車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
題型十七：超幾何分布的綜合應(yīng)用
例33．（2022·北京·高三期末）2021年7月11日18時(shí)，中央氣象臺(tái)發(fā)布暴雨橙色預(yù)警，這是中央氣象臺(tái)2021年首次發(fā)布暴雨橙色預(yù)警.中央氣象臺(tái)預(yù)計(jì)，7月11日至13日，華北地區(qū)將出現(xiàn)2021年以來(lái)的最強(qiáng)降雨.下表是中央氣象臺(tái)7月13日2：00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國(guó)降雨量排在前十的區(qū)域.
(1)從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出1個(gè)區(qū)域，求這個(gè)區(qū)域的降雨量超過(guò)135毫米的概率；
(2)從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出3個(gè)區(qū)域，設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的區(qū)域?yàn)楸本﹨^(qū)域的數(shù)量，求X的分布列和期望：
(3)在7月13日2：00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國(guó)降雨量排在前十的區(qū)域中，設(shè)降雨量超過(guò)140毫米的區(qū)域降雨量的方差為，降雨量在140毫米或140毫米以下的區(qū)域降雨量的方差為，全部十個(gè)區(qū)域降雨量的方差為.試判斷，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
例34．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期末）某超市舉辦有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有個(gè)紅球，個(gè)白球的甲箱和裝有個(gè)紅球，個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出個(gè)球，若都是紅球，則可獲得現(xiàn)金元；若只有個(gè)紅球，則可獲得現(xiàn)金元；若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng).球的大小重量完全相同，每次抽獎(jiǎng)后都將球放回且攪拌均勻.
(1)若某顧客有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客獲得現(xiàn)金元或元的概率；
(2)若某顧客有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客在次抽獎(jiǎng)中一共獲得現(xiàn)金元的概率.
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．在前5次擲出的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)的條件下，第6次擲出的點(diǎn)數(shù)仍是偶數(shù)的概率為
B．投擲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率最大
C．投擲十次，擲出的點(diǎn)數(shù)之和的期望為35
D．投擲兩次，至少有一次擲出的點(diǎn)數(shù)為3的概率為
2．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
①取出的最大號(hào)碼服從超幾何分布；
②取出的黑球個(gè)數(shù)服從超幾何分布；
③取出2個(gè)白球的概率為；
④若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為
A．①②B．②④C．③④D．①③④
3．（2022·北京通州·高二期末）若，則取得最大值時(shí)，（ ）
A．4B．5C．6D．5或6
4．（2022·山東煙臺(tái)·高一期末）某零件加工廠認(rèn)定工人通過(guò)試用期的方法為：隨機(jī)選取試用期中的5天，再?gòu)拿刻焐a(chǎn)的零件中分別隨機(jī)抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽檢樣本中的合格品件數(shù)統(tǒng)計(jì)如下，甲：中位數(shù)為24，極差不超過(guò)2；乙：平均數(shù)為23，方差不超過(guò)1；丙：眾數(shù)為23，方差不超過(guò)1，則一定能通過(guò)試用期的有（ ）
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
5．（2022·福建龍巖·高二期末）把27粒種子分別種在9個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種1次，每補(bǔ)種一個(gè)坑需12元，用X表示補(bǔ)種費(fèi)用，則X的數(shù)學(xué)期望為（ ）
A．3元B．4元C．12元D．24元
6．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則和的值分別是（ ）
A．和B．和C．和D．和
7．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高二階段練習(xí)）高爾頓釘板是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過(guò)程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止現(xiàn)從入口放進(jìn)一個(gè)白球，則其落在第③個(gè)格子的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)袋中裝有大小一樣的6個(gè)豆沙粽，4個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取4個(gè)粽子，設(shè)取出的4個(gè)粽子中成肉粽的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布 D．
10．（2022·福建·莆田一中高二期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：
則當(dāng)m在（0，1）上增大時(shí)，（ ）A．減小B．增大
C．先增后減，最大值為D．先減后增，最小值為
11．（2022·廣東云浮·高二期末）已知隨機(jī)變量X的分布列為
下列結(jié)論正確的有（ ）A．B．C．D．
12．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）某企業(yè)于近期推出了一款盲盒，且該款盲盒分為隱藏款和普通款兩種，其中隱藏款的成本為50元/件，普通款為10元/件，且企業(yè)對(duì)這款盲盒的零售定價(jià)為元/件.現(xiàn)有一批有限個(gè)盲盒即將上市，其中含有20％的隱藏款.某產(chǎn)品經(jīng)理現(xiàn)對(duì)這批盲盒進(jìn)行檢驗(yàn)，每次只檢驗(yàn)一個(gè)盲盒，且每次檢驗(yàn)相互獨(dú)立，檢驗(yàn)后將盲盒重新包裝并放回.若檢驗(yàn)到隱藏款，則檢驗(yàn)結(jié)束；若檢驗(yàn)到普通款，則繼續(xù)檢驗(yàn)，且最多檢驗(yàn)20次.記X為檢驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的檢驗(yàn)次數(shù)，則（ ）
A．
B．
C．若小明從這批盲盒中一次性購(gòu)買了5件，則他抽到隱藏款的概率為0.5094
D．若這款盲盒最終全部售出，為確保企業(yè)能獲利，則
三、填空題
13．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高三階段練習(xí)（文））有一批產(chǎn)品，其中有2件正品和3件次品，從中任取3件，至少有2件次品的概率為_(kāi)______．
14．（2022·上海市延安中學(xué)高三期中）從放有6黑3白共9顆珠子的袋子中抓3顆珠子，則白珠顆數(shù)的期望為_(kāi)________.
15．（2022·福建·莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）一個(gè)袋中共有5個(gè)大小形狀完全相同的紅球、黃球和綠球，其中黃球有1個(gè)．每次從袋中拿一個(gè)小球，不放回，拿出黃球即停．記拿出的綠球個(gè)數(shù)為，且，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望______．
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有一摸球游戲，規(guī)則如下：袋子里有形狀和大小完全一樣的標(biāo)有1～6號(hào)的6個(gè)小球，游戲參與者每次從袋中不放回地摸1個(gè)球，若摸到1號(hào)球或6號(hào)球得2分，摸到3號(hào)球、4號(hào)球或5號(hào)球得1分，摸到2號(hào)球得0分，若參與者摸到2號(hào)球或摸了三次后不管有沒(méi)有摸到2號(hào)球游戲均結(jié)束．記隨機(jī)變量X為參與者摸球結(jié)束后獲得的分?jǐn)?shù)，則X的數(shù)學(xué)期望是__________．
四、解答題
17．（2022·江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個(gè)球的袋中（3個(gè)白球和2個(gè)黑球）輪流摸出1球（摸后不放回），摸到第2個(gè)黑球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲.
(1)分別求先摸球者3輪獲勝和5輪獲勝的概率；
(2)小李和小張準(zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某小學(xué)生參加了暑期進(jìn)行的游泳培訓(xùn)，分別學(xué)習(xí)自由泳和蛙泳，經(jīng)過(guò)一周訓(xùn)練后，她每次自由泳訓(xùn)練及格的概率為，蛙泳及格的概率為．考核采用積分制，每次自由泳、蛙泳及格分別得1分、2分，不及格均得0分，每次游泳的結(jié)果相互獨(dú)立．若該小學(xué)生每天進(jìn)行3次考核訓(xùn)練，其中自由泳2次，蛙泳1次．
(1)求“該小學(xué)生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”的概率；
(2)若該小學(xué)生的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）北京冬奧會(huì)某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)?禮儀及服務(wù)等方面知識(shí)的測(cè)試，測(cè)試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題者視為合格，若甲能答對(duì)其中的5道題，求：
(1)甲測(cè)試合格的概率；
(2)甲答對(duì)的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20．（2022·河北唐山·高三階段練習(xí)）甲?乙兩個(gè)同學(xué)去參加學(xué)校組織的百科知識(shí)大賽，規(guī)則如下：甲先答2道題，至少答對(duì)1道題，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，乙同樣答2道題.每答對(duì)1題可以得50分，已知甲答對(duì)每道題的概率都是，乙答對(duì)第1道題的概率為，答對(duì)第2道題的概率為，乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.
(1)求；
(2)求甲與乙總得分的分布列與數(shù)學(xué)期望.
21．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三階段練習(xí)）文化月活動(dòng)中，某班級(jí)在宣傳欄貼出標(biāo)語(yǔ)“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時(shí)間后，隨機(jī)有個(gè)字脫落．
(1)若，用隨機(jī)變量表示脫落的字中“學(xué)”的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及期望；
(2)若，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機(jī)貼回，求標(biāo)語(yǔ)恢復(fù)原樣的概率．
22．（2022·廣東·廣州市第十七中學(xué)高三階段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．己知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為，甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中．
(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金13萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金4萬(wàn)元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)萬(wàn)元，求的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．
…
…
…
…
X
0
1
P
1－p
p
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
1
…
…
X
－1
0
1
P
-1
0
1
1
2
3
4
1
2
3
容易題
中等題
難題
答對(duì)概率
0.7
0.5
0.3
答對(duì)得分
3
4
5
0
2
P
a
b
男
女
支持方案一
24
16
支持方案二
25
35
方式
株數(shù)
單株產(chǎn)量（）
水培
巖棉培
基質(zhì)培
x
4
3
5
3
z
4
2
2
1
y
0
廚余垃圾桶
可回收物桶
其他垃圾桶
廚余垃圾
60
20
20
可回收物
10
40
10
其他垃圾
30
40
170
北京密云
山東樂(lè)陵
河北遷西
山東慶云
北京懷柔
河北海興
河北唐山
天津渤海A平臺(tái)
河北豐南
山東長(zhǎng)清
180毫米
175毫米
144毫米
144毫米
143毫米
140毫米
130毫米
127毫米
126毫米
126毫米
0
m
1
P
0
1

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