（寒假）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)寒假提升講義+隨堂檢測(cè) 第06課數(shù)列求和（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
【解題方法總結(jié)】
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
積累裂項(xiàng)模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項(xiàng)模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型
積累裂項(xiàng)模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項(xiàng)模型6：階乘
（1）
（2）
常見(jiàn)放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）；
（12）；
（13）．
（14）．
題型一：公式法
例1．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)?br>則，解得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，則，所以，
因?yàn)?，所以，，所以?br>（2）設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，則，，，
所以，，，因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，故的前5項(xiàng)之和．
例2．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）由，則，兩式相減得：，
整理得：，即時(shí)，，
所以時(shí)，，
又時(shí)，，得，也滿足上式．故．
（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上：
變式1．已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列
(1)求通項(xiàng)公式
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，
又成等比數(shù)列，所以，即，
整理得，得或，若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
【解題方法總結(jié)】
針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．
題型二：錯(cuò)位相減法
例3．已知數(shù)列滿足且
(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；
(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)符合題意，則必為與無(wú)關(guān)的常數(shù).
因?yàn)?
要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則，可得.
故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由，且，
由（1）知等差數(shù)列的公差，所以，即，
所以
記：，有，兩式相減，得，
故.
例4．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若為前項(xiàng)的和，求.
【解析】（1）因?yàn)?，所?
兩式作差得，整理得.
令，得，故對(duì)任意都成立.
所以的首項(xiàng)為1，故，所以是公比為2的等比數(shù)列.
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）得，所以.
所以.
又，
作差得.
變式2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由題意①，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，②，
①－②得，
當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，所以時(shí)，
兩式相減得，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）得，③，
④，
③－④得：，所以 .
變式3．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求其前項(xiàng)和
【解析】（1）因?yàn)椋?所以由題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，所以，
兩式作差得：，
化簡(jiǎn)得：即，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）方法一：設(shè)，
則有，比較系數(shù)得，所以
所以，所以，
所以.
方法二：因?yàn)?，所以?br>所以，
所以
，所以.
【解題方法總結(jié)】
錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．
（2）基本步驟
（3）注意事項(xiàng)
①在寫(xiě)出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出；
②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．
等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
題型三：分組求和法
例5．已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）證明：因?yàn)棰伲冢?br>①②可得，且，所以，數(shù)列為常數(shù)列，且③，
①②可得，且，
所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，④，
③④可得，則，
所以，.
（2）由（1）可知，，則
.
例6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由且得
當(dāng)時(shí)，由得，所以.
所以，故，又當(dāng)時(shí)，，適合上式.
所以.
（2）因?yàn)椋?，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)?2為公比的等比數(shù)列.
故數(shù)列的前2n項(xiàng)的和，
所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
變式4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
由得時(shí)，，
兩式相減得，
因?yàn)椋?，所以是等差?shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，
所以；
（2）由于，
因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，
所求和為.
變式5．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
【解析】（1）因?yàn)?，，所以，取倒得?br>所以，即，即，
因?yàn)椋允?，的等比?shù)列，所以.
（2）在之間有2個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，
合計(jì)個(gè)3，所以.
【解題方法總結(jié)】
（1）分組轉(zhuǎn)化求和
數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．
（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型
題型四：裂項(xiàng)相消法
例7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.
【解析】（1）設(shè)公差為，由題意得解得∴.
（2）由（1）知，
∴.
∵，∴.
例8．在數(shù)列中，已知，．
(1)求；
(2)若，為的前n項(xiàng)和，證明：．
【解析】（1）
而，是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
,.
（2）,,,
，
，
.
變式6．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求和.
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，即，
得，解得或（舍），所以，
所以，.
（2）由（1）得，，
所以.
變式7．已知數(shù)列滿足．
(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，?br>所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，
所以；
（2）
.
【解題方法總結(jié)】
題型五：倒序相加法
例9．設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為 .
【答案】11
【解析】因，設(shè)，則，故.
故答案為：11
例10．已知，則 .
【答案】4042
【解析】由，令可得，，且，
則，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即
由已知，，又
兩式相加可得，
所以，.故答案為：4042.
變式8．設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】
【解析】由題設(shè)，，所以，
即且n ≥ 2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，.
故答案為：.
變式9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則．
【答案】.
【解析】∵①， ∴當(dāng)時(shí)，②，①－②得，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)仍然成立，∴．
∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故．由于，
設(shè)
則，∴．
故答案為：．
變式10．“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則 .
【答案】46.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，
從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，
，相加得
所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；
故有.故答案為：46.
【解題方法總結(jié)】
將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
數(shù)列求和隨堂檢測(cè)
1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且; 數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和?.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得.
當(dāng)時(shí)，兩式相減有，即.
因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. 則.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）在等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為公差為，
則解得所以.則
①
②
所以①②得
即解得.
2.已知數(shù)列和，，，.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由，，得，整理得，而，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列
（2）由（1）知，∴，∴，
設(shè)，則，
兩式相減得，從而
∴.
3.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)?，即?br>則，
又因?yàn)?，可得，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得；
綜上所述：.
4.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為．則
，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
(2)由（1）知，，所以.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列的前18項(xiàng)和為.裂裂
項(xiàng)相
消法
求和
（1）基本步驟
（2）裂項(xiàng)原則
一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
（3）消項(xiàng)規(guī)律
消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．

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