TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc177645046" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc177645046 \h 2
\l "_Tc177645047" 題型一：點斜式直線方程 PAGEREF _Tc177645047 \h 2
\l "_Tc177645048" 題型二：斜截式直線方程 PAGEREF _Tc177645048 \h 3
\l "_Tc177645049" 題型三：兩點式直線方程 PAGEREF _Tc177645049 \h 4
\l "_Tc177645050" 題型四：截距式直線方程 PAGEREF _Tc177645050 \h 5
\l "_Tc177645051" 題型五：中點坐標(biāo)公式 PAGEREF _Tc177645051 \h 7
\l "_Tc177645052" 題型六：直線的一般式方程 PAGEREF _Tc177645052 \h 8
\l "_Tc177645053" 題型七：直線方程的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc177645053 \h 9
\l "_Tc177645054" 題型八：判斷動直線所過定點 PAGEREF _Tc177645054 \h 12
\l "_Tc177645055" 題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題 PAGEREF _Tc177645055 \h 12
\l "_Tc177645056" 題型十：直線方程的實際應(yīng)用 PAGEREF _Tc177645056 \h 15
\l "_Tc177645057" 【重難點集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc177645057 \h 18
\l "_Tc177645058" 【高考真題】 PAGEREF _Tc177645058 \h 28
【題型歸納】
題型一：點斜式直線方程
1．（2024·高二·上海·課后作業(yè)）已知直線經(jīng)過點，且傾斜角等于直線的傾斜角的一半，則直線的點斜式方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，
則斜率，又，故，
設(shè)直線的的傾斜角為，則，
直線的斜率，
又直線經(jīng)過點，
則直線的點斜式方程為：.
故答案為：.
2．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線過點（,4），傾斜角為，則直線的點斜式方程為 ．
【答案】
【解析】因為傾斜角為，故直線斜率，
又直線過點（,4），所以直線的點斜式方程為.
故答案為：
3．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點，且與直線平行的直線的斜截式方程為 ；與直線垂直的直線的點斜式方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)直線的斜率為，
與直線平行的直線的斜率為，
與直線垂直的直線斜率為.
由得，
由兩直線平行知.
所以所求直線方程為，即；
由兩直線垂直知，
所以與直線垂直的直線的點斜式方程為.
故答案為：;
4．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線l經(jīng)過點，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，則l的點斜式方程為 ．
【答案】
【解析】依題意直線的傾斜角為或，
所以直線的斜率或，
所以直線方程為；
故答案為：
5．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線l經(jīng)過點，傾斜角為，且，則直線l的點斜式方程為 ．
【答案】
【解析】因為，，所以，故，
又直線l經(jīng)過點，故直線l的點斜式方程為.
故答案為：.
題型二：斜截式直線方程
6．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）與直線垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為 ；它與y軸的交點為 .
【答案】
【解析】設(shè)所求直線斜率為k，則，
即，又在y軸上的截距為4，
則直線為，與y軸交點為.
故答案為：；.
7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）傾斜角為，且過點的直線斜截式方程為 ．
【答案】
【解析】因為直線的傾斜角為，則直線的斜率，
所以直線的方程，即.
故答案為：.
8．（2024·高二·重慶南岸·期中）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】斜率，
點斜式方程為，
斜截式方程為.
故選：A
9．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為所求的直線與直線垂直，所以，得.
設(shè)所求直線為,又因為所求直線在x軸上的截距為2即過點，
求得,所以所求直線的斜截式方程為，
故選：B.
題型三：兩點式直線方程
10．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）一條直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，則它的方程（ ）
A．可以寫成兩點式或截距式
B．可以寫成兩點式或斜截式或點斜式
C．可以寫成點斜式或截距式
D．可以寫成兩點式或截距式或斜截式或點斜式
【答案】B
【解析】由于直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，所以直線的斜率存在，且直線上任意兩點的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)都不相同，所以直線能寫成兩點式或斜截式或點斜式．
由于直線在坐標(biāo)軸上的截距有可能為0，所以直線不一定能寫成截距式．
故選：B
11．（2024·高二·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）過點和點的直線的兩點式方程是 ．
【答案】
【解析】由題意，不和坐標(biāo)軸垂直，符合兩點式方程的使用條件，
當(dāng)直線經(jīng)過時，兩點式方程為：，
于是直線的兩點式方程為：.
故答案為：
12．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）過點，直線的兩點式方程為 ．
【答案】
【解析】過點，直線的兩點式方程為
故答案為：
13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點?的直線的兩點式方程為 .
【答案】
【解析】因為直線經(jīng)過點?，
由直線的兩點式方程可得，可得，即，
所以直線的兩點式方程為.
故答案為：.
題型四：截距式直線方程
14．（2024·高二·山西太原·期末）直線在軸和軸上的截距分別為（ ）
A．，2B．，2C．，D．，
【答案】B
【解析】直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以直線在軸和軸上的截距分別為，2.
故選：B
15．（2024·高二·天津南開·階段練習(xí)）過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】當(dāng)直線過原點時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，
又因為直線過點，所以直線的斜率為，
所以直線方程為y=2x，即，
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，
因為點在直線上，
所以，解得，
所以直線方程為，
故所求直線方程為或.故C項正確.
故選：C.
16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直線過點(2, 1)，且橫截距、縱截距滿足，則該直線的方程為（ ）
A．2x+y-5=0B．x+2y-4=0
C．x-2y=0或x+2y-4=0D．x-2y=0或2x+y-5=0
【答案】C
【解析】當(dāng)截距為0時，設(shè)直線的方程為：，
因為直線過點(2, 1)，所以，即，則直線方程為：；
當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為，
因為直線過點（2，1），所以，則，
所以直線方程為，即，
綜上：直線的方程為： x-2y=0或x+2y-4=0，
故選：C
題型五：中點坐標(biāo)公式
17．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】點M的坐標(biāo)為(2,1)，由直線的兩點式方程得，即.
故選：D
18．（2024·高二·江蘇徐州·期中）直線分別交x軸和軸于A、兩點，若是線段的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】因A、兩點在x軸和軸上，設(shè)，
因是線段的中點，則，
故直線的截距式方程為：.
故答案為：.
19．（2024·高一·內(nèi)蒙古包頭·期末）直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標(biāo)原點，則直線l的方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線與和，分別交于點和，
因為所截得的線段中點恰為坐標(biāo)原點，可得，解得，
所以和，則，
可得直線的方程為，即.
故答案為：.
20．（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）直線l過點，且與x軸，y軸分別交于A，B兩點（A?B不重合），若點M恰為線段的中點，則直線l的方程為 .
【答案】.
【解析】由題意，設(shè)，由中點坐標(biāo)公式得，則，則直線l的方程為：.
故答案為：.
題型六：直線的一般式方程
21．（2024·高二·江蘇徐州·開學(xué)考試）過點且斜率為1的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意可得直線為，化簡得.
故選：D
22．（2024·高二·新疆昌吉·階段練習(xí)）經(jīng)過點且斜率為的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為直線經(jīng)過點且斜率為，
所以直線方程為，即.
故選：D.
23．（2024·高二·江蘇淮安·期末）直線過點且與直線平行，則直線與，軸圍成的三角形面積為 .
【答案】
【解析】直線的斜率為，
故直線的方程為，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以直線與，軸圍成的三角形面積為.
故答案為：
24．（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）若原點在直線上的射影為，則直線的一般式方程為 ．
【答案】
【解析】因為，所以，
則直線的方程為，即.
故答案為：
25．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）寫出滿足下列條件的直線的方程．
(1)經(jīng)過點和；
(2)平行于向量，并且經(jīng)過點．
【解析】（1）由已知條件可知直線的一個方向向量，
直線的一個法向量．
因此可設(shè)直線的一般式方程為，
代入，得，
所求直線的方程為．
（2）所求直線平行于向量，
所求直線的斜率為．
又直線經(jīng)過點，
所求直線的方程為，整理得．
題型七：直線方程的綜合應(yīng)用
26．（2024·高一·廣西桂林·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點為，，，求：
(1)所在直線的方程；
(2)邊上的高所在直線的方程.
【解析】（1）由，，得直線的斜率為，
所以所在直線的方程為，即.
（2）由（1）知，直線的斜率為，而，
則邊上的高所在直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
27．（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為.
(1)求BC邊上的中線AD所在直線方程；
(2)求BC邊上的高AE所在直線方程.
【解析】（1）由題意可知，作出圖形如圖所示
因為，所以BC的中點為，
因為在BC邊上的中線上，
所以所求直線方程為，即.
即BC邊上的中線所在直線的方程為.
（2）由題意可知，作出圖形如圖所示
因為，
所以直線BC的斜率為，
因為BC邊上的高所在直線與直線BC垂直，
所以BC邊上的高所在直線的斜率為，
因為在BC邊上的高上，
所以所求直線方程為，即.
即BC邊上的高所在直線的方程為.
28．（2024·高二·黑龍江大慶·期中）已知動直線和是兩直線的交點，是兩直線和分別過的定點，則的最大值為 .
【答案】
【解析】直線，即，
所以直線過定點.
直線，即，
所以直線過定點.
所以，
由于，所以，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：
29．（2024·高二·河南南陽·期中）在平行四邊形中，，，，點是線段的中點．
(1)求直線的方程；
(2)求過點且與直線垂直的直線方程．
【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，
由題意，，又，
故，解得，，，
所以點的坐標(biāo)為，
則，
所以直線的方程為，
即；
（2）設(shè)所求直線為，
點是線段的中點，則，
直線的斜率為，
由于直線與垂直，故直線的斜率為，
所以直線的方程為，
即．
題型八：判斷動直線所過定點
30．（2024·高二·福建廈門·期中）不論k為何實數(shù)，直線恒過一個定點，這個定點的坐標(biāo)是 .
【答案】
【解析】直線即，令，得，
所以直線恒過定點.
故答案為：.
31．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)m變化時，直線（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒過定點 .
【答案】（－1，－1）
【解析】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化為（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由
得
所以定點坐標(biāo)是（－1，－1）.
【考查意圖】直線過定點.
32．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線經(jīng)過的定點是 ．
【答案】
【解析】由，
則，得，直線過定點.
故答案為：
題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題
33．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）已知直線過點且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，
(1)求三角形面積取最小值時直線的方程；
(2)求取最小值時直線的方程．
【解析】（1）由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的方程為，
因為直線過點，所以，
由基本不等式可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值，
所以面積，
所以當(dāng)，時，面積最小，
此時直線的方程為，即，
（2）因為，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以當(dāng)，時，的值最小，
此時直線的方程為，即．
34．（2024·高一·浙江寧波·期末）已知直線.
(1)求證：直線過定點；
(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍；
(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.
【解析】（1）由，即，
則，解得，
所以直線過定點；
（2）
如圖所示，結(jié)合圖像可知，
當(dāng)時，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；
當(dāng)時，直線斜率存在，方程為，
又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；
綜上所述；
（3）已知直線，且由題意知，
令，得，得，
令，得，得，
則，
所以當(dāng)時，取最小值，
此時直線的方程為，即.
35．（2024·高二·天津靜?！るA段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.
(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負(fù)半軸于點B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.
【解析】（1）當(dāng)直線過原點時滿足條件，此時,解得,化為.
當(dāng)直線不過原點時，則直線斜率為-1，故,解得,可得直線的方程為:.
綜上所述，直線的方程為或.
（2）,
∵不經(jīng)過第二象限,∴,解得.
∴實數(shù)a的取值范圍是.
（3）令,解得,解得;
令,解得,解得或.
綜上有.
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
∴(為坐標(biāo)原點)面積的最小值是6，此時直線方程，即
題型十：直線方程的實際應(yīng)用
36．（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）一根鐵棒在40℃時長12.506m，在80℃時長12.512m．已知長度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線方程來表示，試求出這個方程，并根據(jù)這個方程求出這根鐵棒在100℃時的長度．
【解析】依題意，設(shè)l與t的關(guān)系式為：，是常數(shù)，
于是得，解得，
則l與t的關(guān)系式為，當(dāng)時，，
所以所求直線的方程為，鐵棒在100℃時的長度是m.
37．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）一河流同側(cè)有兩個村莊A，B，兩村莊計劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最?。?br>【解析】如圖，以河流所在直線為x軸、y軸通過點A，建立平面直角坐標(biāo)系，
則點A(0，300)，B(x，700)．
設(shè)點B在y軸上的射影為H，則x＝|BH|＝＝300，
故點B(300，700)．
設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點A′(0，－300)，
則直線A′B的斜率k＝，直線A′B的方程為y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得點P(90，0)，
故水電站建在P(90，0)處電線用料最?。?br>38．（2024·高二·上海浦東新·期中）為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個矩形的草坪，其中，點Q在上，且，，經(jīng)測量，，，．
（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，求線段所在直線的方程；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標(biāo)并求出此最大面積（精確到）
【解析】（1）由題意得，
所以線段所在直線的方程為，即；
（2）設(shè)，則草坪的占地面積
故當(dāng)時，，此時．
39．（2024·高二·上海浦東新·期中）足球比賽中，攻方隊員在守方隊員的逼搶下，其行進(jìn)路線可看作一條直線，已如球門兩根立柱的坐標(biāo)分別為，，直線過兩點，．球場的長度、寬度分別100，60（單位：米）．
現(xiàn)攻方隊員在行進(jìn)過程中尋求機(jī)會射門，其位置用點表示，
（1）若以攻方隊員與球門中心（為坐標(biāo)原點）的距離最近為標(biāo)準(zhǔn)，求點的坐標(biāo)；
（2）若以攻方隊員對球門范圍的視角最大（即最大）為標(biāo)準(zhǔn)，求點的坐標(biāo)．
（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，由于直線過兩點，，故直線的方程為，化簡得.
（1）當(dāng)直線時，攻防隊員與球門中心的距離最近，直線的方程為.由解得.
（1）設(shè)，則，
①當(dāng)，時，軸，.
②當(dāng)，時，軸，.
③當(dāng)且時，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值，也即取得最大值，此時.
【重難點集訓(xùn)】
1．（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，
動直線即，經(jīng)過點定點，
過定點A的直線與過定點B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點，
有，
故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以面積的最大值為
故選:
2．（2024·高二·北京西城·期中）任意的，直線恒過定點（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，即，
所以直線恒過定點.
故選：C.
3．（2024·高二·廣東廣州·期中）直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線的斜率，則該直線的傾斜角為.
故選：B.
4．（2024·高二·全國·課前預(yù)習(xí)）若直線的傾斜角為，則直線的一個法向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線的傾斜角為，
直線的斜率，
直線的一個方向向量為，則直線的一個法向量為．
故選：B.
5．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．不能表示過點Mx1,y1且斜率為k的直線方程
B．在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為
C．直線與y軸的交點到原點的距離為b
D．設(shè)，，若直線與線段AB有交點，則a的取值范圍是
【答案】A
【解析】對于選項A：由可知，所以不過點,，故選項A正確，
對于選項B：當(dāng)時，在軸、軸上的截距分別為0的直線不可用表示，故選項B錯誤，
對于選項C：直線與軸的交點為，到原點的距離為，故選項C錯誤，
對于選項D：直線方程可化為，恒過定點，畫出圖形，如圖所示，
，，
若直線與線段有交點，則，或，
即或，故選項D錯誤，
故選：A．
6．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）當(dāng)點到直線距離的最大時，直線l的一般式方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為直線，
所以可將直線方程變形為，
，解得，，
由此可得直線系恒過點
到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時直線垂直于，，
直線的斜率為，
，，
直線的一般方程為．
故選：A
7．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線的圖象如圖，則（ ）
A．若，則，B．若，則，
C．若，則，D．若，則，
【答案】C
【解析】易知，由直線，可得，
根據(jù)圖象可得，，
若，則，；
若，則，．
故選：C
8．（2024·高二·廣東佛山·期中）過點的直線可表示為，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【解析】可化為①，
要使與兩坐標(biāo)軸能圍成三角形，則且，
由①令得；令得，
依題意，
，所以或,
所以或，
設(shè)，則或，
則或
解得或，
即或，
即或，
所以這樣的直線有條.
故選：D
9．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB的方程可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
直線斜率為2，有，則.
依題意有或，
當(dāng)時，，即，
解得，即直線的斜率為-3，C選項中的直線斜率符合；
當(dāng)時，，即，
解得，即直線的斜率為，B選項中的直線斜率符合.
故選：BC
10．（多選題）（2024·高二·廣東中山·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為
B．方程與方程可表示同一直線
C．經(jīng)過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為
D．過兩點的直線都可用方程表示
【答案】AD
【解析】對于選項A：直線的斜率，傾斜角為，故A正確；
對于B，表示過點斜率為k的直線，但不含點，而表示過點斜率為k的直線，且含點，故B錯誤；
對于C：經(jīng)過點，斜率存在，設(shè)直線為，若在，軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，
所以直線方程為或，故C錯誤；
對于D，方程為直線兩點式方程的變形，可以表示經(jīng)過任意兩點Px1,y1、Qx2,y2的直線，故D正確；
故選：AD.
11．（多選題）（2024·高二·安徽六安·期末）已知直線：和直線：，下列說法正確的是（ ）
A．始終過定點B．若，則或
C．若，則或2D．當(dāng)時，始終不過第三象限
【答案】ACD
【解析】選項A：：，令，得，過點，A正確；
選項B：當(dāng)時，，重合，故B錯誤；
選項C：當(dāng)時，由，得或2，故C正確；
選項D：當(dāng)時，：始終過，斜率為負(fù)，不會過第三象限，故D正確.
故選：ACD
12．（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）已知直線不過第一象限，則實數(shù)t的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，故直線不過原點，
則直線一定通過三個象限，
而直線不過第一象限，故其必過第二，三，四象限，
得到，解得.
故答案為：
13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線l過原點，且垂直于向量．若角的終邊落在直線l上，則 ．
【答案】/
【解析】因為直線l過原點，且垂直于向量，
所以直線l的方程為，
當(dāng)時，取終邊上的點，可得，
當(dāng)時，取終邊上的點，可得，
所以若角的終邊落在直線l上，則，
．
故答案為：
14．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為 .
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】先計算AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，設(shè)B（x0，y0），AB的中點M為，根據(jù)解得答案.由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，
又A（5，1），AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，
聯(lián)立直線AC與直線CM方程得 解得
頂點C的坐標(biāo)為C（4，3）.設(shè)B（x0，y0），AB的中點M為 ，
由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
聯(lián)立 解得 所以頂點B的坐標(biāo)為（－1，－3）.
于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.
故答案為：6x－5y－9＝0
15．（2024·高二·廣東中山·階段練習(xí)）已知直線的方程為：.
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線交坐標(biāo)軸正半軸于兩點，當(dāng)面積最小時，求的周長.
【解析】（1）證明：由可得：，
令，
所以直線過定點．
（2）由（1）知，直線恒過定點，
由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點為，
令x=0，得；令，得，
所以面積 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積最小，
此時，，，
的周長為.
所以當(dāng)面積最小時，的周長為.
16．（2024·高二·廣西·開學(xué)考試）已知直線，直線.
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值.
【解析】（1）因為，所以，
整理得
解得或.
當(dāng)時，重合；
當(dāng)時，，符合題意.
故.
（2）因為，所以
解得或.
17．（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知直線過定點．
(1)求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程；
(2)若直線交軸正半軸于點，交軸負(fù)半軸于點，的面積為（為坐標(biāo)原點），求的最小值并求此時直線的方程．
【解析】（1）直線，則直線過定點，
①當(dāng)，時，設(shè)的方程為．
點在直線上，．
若，則，
直線的方程為，
若，則，，
直線的方程為；
②當(dāng)時，直線過原點，且過點，
直線的方程為，
綜上所述，所求直線的方程為或或；
（2）令，則；令，則，
直線交軸的正半軸于點，交軸的負(fù)半軸于點，，
為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，
故的最小值為24，此時，
直線．
18．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線.
(1)求證：直線過定點；
(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由，即，
則，解得，
所以直線過定點；
（2）
如圖所示，結(jié)合圖像可知，
當(dāng)時，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；
當(dāng)時，直線斜率存在，方程為，
又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；
綜上所述.
19．（2024·高二·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標(biāo)原點.
(1)當(dāng)時，求直線的方程；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時，求直線的方程.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，且
由，得，由直線過點，得，解得，
所以直線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，且直線不經(jīng)過原點，
由題意知，，，解得或，
所以直線的方程為或.
20．（2024·高二·浙江·階段練習(xí)）已知，由確定兩個點.
(1)寫出直線的方程（答案含）；
(2)在內(nèi)作內(nèi)接正方形，頂點在邊上，頂點在邊上.若，當(dāng)正方形的面積最大時，求的值.
【解析】（1）由題意知當(dāng)直線斜率存在時，，
當(dāng)時，直線的方程為，
當(dāng)時，直線的方程為.
直線的方程為.
（2）由和四邊形為正方形可知，
，
因為點在直線上，
所以，
所以，
而正方形的面積最大，即最大，
所以當(dāng)時，，此時圖中陰影部分的面積最大.
【高考真題】
1．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（四川卷））直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個單位，所得到的直線為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)時，所得直線斜率為，此時，該直線方程為，
再將該直線向右平移1個單位可得：，即.
故選：A.
2．（2003 年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷））在同一坐標(biāo)系中，表示直線與正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由一次函數(shù)可知，函數(shù)為增函數(shù)，故排除B，D選項，A選項中，由可知，函數(shù)中的，故不符合，A錯誤，C選項兩個函數(shù)圖像都符合的情況，故C正確.
故選：C
3．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（全國卷IV））過點且垂直于直線的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得直線的斜率為，
則過點且垂直于直線的直線斜率為，
直線方程為，
化為一般式為．
故選：A．
4．（2004年普通高等學(xué)枚招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（全國卷II））已知點，，則線段AB的垂直平分線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)，，故線段AB的垂直平分線的斜率為2，又中點為，
所以線段AB的垂直平分線方程為，整理得：.
故選：B
5．（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）如下圖，直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由圖可得直線的傾斜角為30°，
所以斜率，
所以直線與軸的交點為，
所以直線的點斜式方程可得：，
即．
故選：D
6．（2006年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））已知直線過點，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點，為原點，則面積最小值為 ．
【答案】
【解析】依題意，設(shè)直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
則直線的方程為，
直線過點，，
，
，
，即，
當(dāng)且僅當(dāng)， 即 時取等號，
面積最小值為.
故答案為：.
7．（2004 年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））直線（a為常實數(shù)）的傾斜角的大小是 ．
【答案】/
【解析】設(shè)直線傾斜角為，直線可化為，斜率為，
則，所以.
故答案為：.

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2.2 直線的方程

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