TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc178779126" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc178779126 \h 2
\l "_Tc178779127" 題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 PAGEREF _Tc178779127 \h 2
\l "_Tc178779128" 題型二：圓的一般方程 PAGEREF _Tc178779128 \h 3
\l "_Tc178779129" 題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc178779129 \h 4
\l "_Tc178779130" 題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系 PAGEREF _Tc178779130 \h 5
\l "_Tc178779131" 題型五：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 PAGEREF _Tc178779131 \h 7
\l "_Tc178779132" 題型六：軌跡問(wèn)題 PAGEREF _Tc178779132 \h 7
\l "_Tc178779133" 題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題 PAGEREF _Tc178779133 \h 10
\l "_Tc178779134" 【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 PAGEREF _Tc178779134 \h 11
\l "_Tc178779135" 【高考真題】 PAGEREF _Tc178779135 \h 20
【題型歸納】
題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（2024·高二·重慶九龍坡·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閳A以為直徑，所以圓心的坐標(biāo)為，
半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B.
2．（2024·高二·北京海淀·期中）已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為，
代入點(diǎn)，得，
所以所求圓的方程為．
故選：B．
3．（2024·高二·福建漳州·期中）已知圓C的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)和，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓C的方程為，
由點(diǎn)和點(diǎn)在圓C上，
可得①，②，
由①②可得，
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
4．（2024·高二·四川成都·期末）已知圓 的圓心為 ，且圓 與 軸的交點(diǎn)分別為 ，則圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閳A與軸的交點(diǎn)分別為，所以圓心在直線上，即有，圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：B．
題型二：圓的一般方程
5．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求以為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的一般方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，圓的半徑，
所以圓的方程為，
所以圓的一般方程為.
故選：C.
6．（2024·高二·河北·學(xué)業(yè)考試）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心坐標(biāo)為的圓的一般方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，求出圓的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，變形可得其一般方程．根據(jù)題意，圓的圓心為，且過(guò)原點(diǎn)，
且其半徑，
則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，
變形可得其一般方程是，
故選：C．
7．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則的外接圓的一般方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)外接圓的一般方程為：，
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，
解得：，
所以的外接圓的一般方程為：．
故答案為：.
8．（2024·高三·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）若的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則該三角形的外接圓的一般方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)的外接圓的一般方程為．
∵的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，
∴可得方程組解得
∴的外接圓的一般方程為．
故答案為：．
9．（2024·高二·江蘇·階段練習(xí)）已知頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則其外接圓的一般方程為 .
【答案】.
【解析】設(shè)圓的方程為 ，
把△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，代入可得：
，
解得： ，故所求的△ABC的外接圓的方程為：．
故答案為：.
題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
10．（2024·高二·吉林延邊·期中）已知圓，則下列點(diǎn)在圓C內(nèi)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，因?yàn)椋栽趫A內(nèi)，所以D正確.
故選：D
11．（2024·陜西西安·三模）若過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圓，即圓，則，解得．
過(guò)點(diǎn)有兩條切線，則點(diǎn)P在圓外，，即，解得．
故．
故選：C
12．（2024·高三·廣東·開(kāi)學(xué)考試）“”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以“”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的充分不必要條件.
故選：A.
題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系
13．（2024·高二·上海·期中）方程表示圓的充要條件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】由題意可得：，解得或，
所以方程表示圓的充要條件是或.
故選：D.
14．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依題意，，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B
15．（2024·高二·山東青島·期中）若方程表示的曲線為圓，則的取值范圍是（ ）．
A．B．或C．D．
【答案】C
【解析】若方程表示的曲線為圓，
則，
即，
解得：，
故選:C．
16．（2024·高二·廣東東莞·期中）方程表示圓，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】方程，即為，
若它表示圓，需滿足，故.
故選：A．
17．（2024·高二·北京·期中）若表示圓的方程，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程化為：，
因方程表示圓，于是得，解得，
所以的取值范圍是：.
故選：A
題型五：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
18．（2024·高二·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為 .
【答案】、
【解析】由由得，故，解得或.
故填：、.
19．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知方程表示圓，其中，且a≠1，則不論a取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
【答案】
【解析】由已知得，它表示過(guò)圓與直線交點(diǎn)的圓.
由，解得
即定點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為
題型六：軌跡問(wèn)題
20．（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)Mx,y，由，得，
可得：，即，
整理得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：.
21．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，則以為斜邊的的頂點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】令，解，得A-2,0，B4,0．
設(shè)，由于直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為，
如圖所示，則半徑為，即得圓的方程為．
又點(diǎn)為的頂點(diǎn)，所以，故的軌跡方程為．
故答案為：.
22．（2024·高二·四川宜賓·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則連線的中點(diǎn)軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)連線的中點(diǎn)為，則，
則，即.
故答案為：
23．（2024·高二·云南昆明·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從下列3個(gè)條件選取一個(gè)________
①過(guò)點(diǎn)；
②圓恒被直線平分；
③與軸相切.
(1)求圓的為程；
(2)已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．
【解析】（1）選條件①．設(shè)圓的方程為，
將，代入可得
，解得，
則圓的方程為．
選條件②．
直線恒過(guò)點(diǎn)．
因?yàn)閳A恒被直線平分，所以恒過(guò)圓心，
所以圓心坐標(biāo)為，
又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓的半徑，
所以圓的方程為，即．
選條件③．
設(shè)圓的方程為，
由題意可得，解得，
則圓的方程為，即．
（2）設(shè)，，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，
所以的軌跡方程為．
24．（2024·高二·山東青島·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：
(2)若動(dòng)點(diǎn)Q滿足，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
【解析】（1）依題意，設(shè)點(diǎn)，又，
因?yàn)椋矗?br>化簡(jiǎn)可得，即，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；
（2）設(shè)，又，
因?yàn)?，所以?br>即，得，
由（1）知，所以，
整理得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.
題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題
25．（2024·高二·河南周口·期末）若曲線上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，則k的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】若曲線上相異兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，
則圓心在直線上，故代入解得，
故選：D．
26．（2024·高二·河北·期中）已知圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的斜率.
由圓與圓關(guān)于對(duì)稱，得的斜率.
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在上，所以，即.
故選：C.
27．（2024·高一·江西宜春·階段練習(xí)）已知直線，圓，若圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．5B．C．D．20
【答案】D
【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，
圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l過(guò)圓心，即，有，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值20.
故選：D
28．（2024·高二·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，
即圓心為，
因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，則該直線經(jīng)過(guò)圓心，
即，整理得（，），
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故選：A．
【重難點(diǎn)集訓(xùn)】
1．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知?jiǎng)又本€恒過(guò)定點(diǎn)，圓，則以為圓心，半徑與圓半徑相等的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】動(dòng)直線，可化為，故恒過(guò)定點(diǎn)，
又易得圓的半徑為2，則以為圓心，以圓的半徑為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：D.
2．（2024·高三·貴州黔東南·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓：上，則（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，解得，.
因?yàn)樵谏?，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
故選：B
3．（2024·高一·浙江臺(tái)州·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形的長(zhǎng)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，
則，
即，
設(shè)中點(diǎn)為，則，且，
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
設(shè)Mx,y，
由，
則，
化簡(jiǎn)可得，
即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
則、在圓上，
令，則，，
即圓與軸交于，兩點(diǎn)，，
且，及
所以點(diǎn)在內(nèi)的軌跡為，
其長(zhǎng)度為，
故選：B.
4．（2024·高三·江西新余·專題練習(xí)）已知集合，，則：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合表示半徑為1的圓形除去圓心，
集合表示半徑為1的圓形除去與坐標(biāo)軸重合的部分，
故選：B.
5．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等腰三角形的一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別是，則另一腰的一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A．
B．（除去兩點(diǎn)）
C．（除去兩點(diǎn)）
D．（除去兩點(diǎn)）
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)，
由，得，
即，
又點(diǎn)與點(diǎn)不重合且不共線，所以需除去兩點(diǎn)．
故選：B．
6．（2024·西藏拉薩·二模）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，即求的最小值.
設(shè)，則，
整理，得點(diǎn)的軌跡方程為.
又點(diǎn)在圓上，
所以，解得，所以，
所以，
即的最小值為.
故選：.
7．（2024·高二·貴州六盤(pán)水·期末）關(guān)于的方程對(duì)應(yīng)的曲線不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，方程為：，對(duì)應(yīng)的圖象為選項(xiàng)A，
當(dāng)時(shí)，方程為：，對(duì)應(yīng)的圖象為選項(xiàng)B，
當(dāng)時(shí)，方程為：，
得，對(duì)應(yīng)的圖象為選項(xiàng)C，
選項(xiàng)D圖形是四條線段，沒(méi)有方程與之對(duì)應(yīng)，
故選：D
8．（2024·高一·浙江寧波·期末）實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．3B．7C．D．
【答案】A
【解析】化簡(jiǎn)可得，即在圓上，
則表示為圓上點(diǎn)到直線距離的倍，
圓心到直線距離為，
則的最小值為.
故選：A
9．（多選題）（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，為圓心，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最小值為B．當(dāng)最大時(shí)，的面積為2
C．的最大值為D．的最大值為
【答案】ACD
【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，如圖所示，
對(duì)于A，當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，即，此時(shí)取得最小值為，故A正確；
對(duì)于B，由題知，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)與重合，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，為圓心，則，所以當(dāng)最大時(shí)，也最大，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)，其最大值為，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故D正確．
故選：ACD．
10．（多選題）（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知直線，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．存在m的值，使得與 不互相垂直
B． 和分別過(guò)定點(diǎn)0,2和
C．存在m的值，使得和關(guān)于直線對(duì)稱
D．若和交于點(diǎn)M，則OM的最大值是3
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，故無(wú)論取何值，與 都互相垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，直線，當(dāng)時(shí)，恒成立，故過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故過(guò)定點(diǎn)B-2,0，故B正確；
對(duì)于C，在上任取點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入的方程得：，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，
故存在，使得和關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)AB知，,故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓(除原點(diǎn)外），
故圓心為，半徑,
故的最大值為,故D錯(cuò)誤.
故選：BC
11．（多選題）（2024·高二·江西鷹潭·開(kāi)學(xué)考試）已知圓及點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓心的坐標(biāo)為
B．若點(diǎn)在圓上，則直線的斜率為
C．點(diǎn)在圓外
D．若是圓上任一點(diǎn)，則的取值范圍為．
【答案】ACD
【解析】將把轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,
則，如圖所示：
對(duì)于A：圓心C的坐標(biāo)為，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)點(diǎn)在圓上，則有，
化簡(jiǎn)得，解得.
即，所以直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?，
所以，即，故D正確.
故選：ACD.
12．（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡形成的圖形周長(zhǎng)是 ．
【答案】
【解析】設(shè)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Px,y，由得，
所以，
化簡(jiǎn)得，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
所以周長(zhǎng)是.
故答案為：.
13．（2024·高二·云南昆明·階段練習(xí)）阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題；平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．現(xiàn)有，，則的最大面積為 ．
【答案】12
【解析】以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，由，得，
整理得，因此點(diǎn)的軌跡方程為，，
顯然上的點(diǎn)到軸，即直線距離的最大值為4，
所以面積的最大值為.
故答案為：12
14．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)，若直線過(guò)的外接圓的圓心，則 ；若點(diǎn)在的外接圓內(nèi)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)的外接圓方程為，，
則，解得，
于是的外接圓方程為，即，其圓心，
由點(diǎn)在直線上，得，解得，
由點(diǎn)在的外接圓內(nèi)，得，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：；
15．（2024·高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)P與定點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．
【解析】設(shè),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,
可得，
由于在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，
即，
所以M的軌跡方程為.
16．（2024·高二·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）已知直線：，：，且滿足，垂足為C.
(1)求m的值及點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)A，直線與x軸交于點(diǎn)B，求的外接圓方程.
【解析】（1）顯然，可得，，
由，可得，即，解得，
所以直線：，直線：，
聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)．
（2）由直線：，直線：，可得，，
所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心，半徑，
所以的外接圓方程是．
17．（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）已知在中，，，，動(dòng)點(diǎn)M在內(nèi)部且滿足．
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)求的最小值．
【解析】（1）由，，，則有，，
因?yàn)?，，所?
在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），
所以，解得：.
設(shè)E為AC的中點(diǎn)，有，又，所以鈍角的外接圓的圓心為O，
又點(diǎn)M在內(nèi)部，所以點(diǎn)M的軌跡為：.
（2）設(shè)Mx,y，則有.
由，
所以當(dāng)時(shí)有最小值.
【高考真題】
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，即，
則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
2．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
3．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.
故選：B.
4．（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（重慶卷））以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意知，圓的半徑，故所求圓的方程為.
故選C
5．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)III卷））直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可
直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)
,則
點(diǎn)P在圓上
圓心為（2，0），則圓心到直線距離
故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為
則
故答案選A.
6．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）正方形草地邊長(zhǎng)到距離為到距離為，有個(gè)圓形通道經(jīng)過(guò)，且經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)，求圓形通道的周長(zhǎng) .（精確到）

【答案】
【解析】如圖，以為原點(diǎn)建系，易知，連接，
不妨設(shè)中點(diǎn)為，直線中垂線所在直線方程為，
化簡(jiǎn)得，所以圓心為，半徑為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
即，化簡(jiǎn)得，
解得，
結(jié)合題意可得，故圓的周長(zhǎng)為.
故答案為：
7．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三點(diǎn)共圓
∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
8．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）
設(shè)
（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過(guò)三點(diǎn)， 設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過(guò) 三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．
9．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（上海卷））圓心在直線上的圓與軸交于，兩點(diǎn)，則圓的一般方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)圓的一般方程為.
因圓心在直線上，
所以，即.①
又因點(diǎn)，在圓上，
所以，②
由①②，解得，，，
所以圓的一般方程為.
故答案為：.
10．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷））在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為 ．
【答案】
【解析】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.
設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0），則：
，解得：，則圓的方程為.

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2.4 圓的方程

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