學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解兩條直線平行與垂直的條件,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).
重點(diǎn)難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：理解兩條直線平行或垂直的判斷條件
2.難點(diǎn)：會(huì)利用斜率判斷兩條直線平行或垂直
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識(shí)點(diǎn)一 兩條直線(不重合)平行的判定
思考：兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？
提示 不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．
知識(shí)點(diǎn)二 兩條直線垂直的判定
思考：當(dāng)直線m與直線n平行或垂直時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的斜率有怎樣的關(guān)系？
提示
當(dāng)兩直線平行時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的斜率相等．
當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的斜率的乘積為－1.
特別地，當(dāng)兩直線的斜率都不存在時(shí)，兩直線平行．
當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線垂直．
自主檢測(cè)
1.判斷正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．
(1)如果兩條直線與垂直，則它們的斜率之積一定為－1.( )
(2)若兩條直線平行，則這兩條直線的方向向量一定相等．( )
(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．( )
(4)若兩條直線的斜率都不存在，且兩直線不重合，則這兩條直線平行．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
【詳解】(1)錯(cuò)誤．當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩直線也垂直．
(2)錯(cuò)誤．若兩條直線平行，則這兩條直線的方向向量只要共線即可．
(3)錯(cuò)誤．當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線才垂直．
(4)正確．斜率都不存在且不重合的兩條直線都是垂直于x軸的直線，所以這兩條直線平行．
2.下列說(shuō)法中，
①若兩直線平行，則其斜率相等;
②若兩直線斜率之積為-1，則這兩條直線垂直;.
③若直線與直線垂直，則.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率關(guān)系、直線垂直的判定判斷各項(xiàng)的真假，即可得結(jié)果.
【詳解】①若兩直線平行且兩線都垂直于x軸，此時(shí)斜率不存在，錯(cuò)誤；
②若兩直線斜率之積為-1，則這兩條直線垂直，正確；
③若直線與直線垂直，則，，錯(cuò)誤.
正確命題為②.
故選：A
3.直線和直線平行，則（ ）
A．B．2或C．3D．或3
【答案】A
【解析】用兩直線平行的條件求解，注意去除兩直線重合的情形即可得．
【詳解】由題意，解得或，
時(shí)，兩直線方程都是，兩直線重合，舍去，
時(shí)，兩直線直線方程分別為，，兩直線平行．
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行求參數(shù)，兩直線和平行時(shí)，但包括兩直線平行和重合，因此需要驗(yàn)證．
4.直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．重合C．平行D．垂直
【答案】C
【解析】根據(jù)直線的一般方程滿足,則兩直線平行.
【詳解】解: 直線與直線,
滿足,
故直線與直線平行.
故選:C
【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,若兩直線滿足,則兩直線平行.
5.已知直線，則與（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
【答案】A
【分析】由直線的斜率間的關(guān)系可得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)榈男甭史謩e為，所以，所以.
故選：A.
新課導(dǎo)學(xué)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
為了在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法表示直線，我們從確定直線位置的幾何要素出發(fā)，引入直線的傾斜角，再利用傾斜角與直線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系引入直線的斜率，從數(shù)的角度刻畫(huà)了直線相對(duì)于軸的傾斜程度，并導(dǎo)出了用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算斜率的公式，從而把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題下面，我們通過(guò)直線的斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系．
過(guò)山車是一項(xiàng)富有刺激性的娛樂(lè)項(xiàng)目.實(shí)際上,過(guò)山車的運(yùn)動(dòng)包含了許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理.過(guò)山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道,它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著,為了使設(shè)備安全,柱子之間還有一些小的鋼筋連接,這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到過(guò)山車中的平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來(lái)刻畫(huà)呢?
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
思考
問(wèn)題1：我們知道，平面中兩條直線有兩種位置關(guān)系：相交、平行．
當(dāng)兩條直線與直線平行時(shí)，它們的斜率與滿足什么關(guān)系？
注釋：若沒(méi)有特別說(shuō)明，說(shuō)“兩條直線，”時(shí)，指兩條不重合的直線．
如圖2.1-7，若，則與的傾斜角與相等，
由，可得，即．
因此，若，則．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
反之，當(dāng)時(shí)，，
由傾斜角的取值范圍及正切函數(shù)的單調(diào)性可知，，因此．
于是，對(duì)于斜率分別為，的兩條直線，，有
顯然，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)．
若直線，重合，此時(shí)仍然有．
用斜率證明三點(diǎn)共線時(shí)，常常用到這個(gè)結(jié)論．
例2已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：如圖2.1-8，由已知可得直線的斜率，
直線的斜率，因?yàn)椋?br>所以直線．
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
例3已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．
解：如圖2.1-9，由已知可得邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．
因?yàn)椋?，所以，?br>因此四邊形是平行四邊形．
顯然，當(dāng)兩條直線相交時(shí)，它們的斜率不相等；反之，當(dāng)兩條直線的斜率不相等時(shí)，它們相交．在相交的位置關(guān)系中，垂直是最特殊的情形．
問(wèn)題2：當(dāng)直線，垂直時(shí)，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系？
設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則直線，的方向向量分別是，，于是，即．也就是說(shuō)．
當(dāng)直線或的傾斜角為時(shí)，若，則另一條直線的傾斜角為；
反之亦然．
由上我們得到，如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；
反之，如果兩條直線的斜率之積等于，那么它們互相垂直．
即
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例4已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系．
解：直線的斜率，直線的斜率，
因?yàn)?，所以?br>例5 已知，，三點(diǎn)，試判斷的形狀．
分析：如圖2.1-10，猜想，是直角三角形．
解：邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．
由，得，即，所以是直角三角形．
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié),反思提升
問(wèn)題3：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問(wèn)題：
1. 本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？
2. 在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
1.知識(shí)總結(jié)：
利用斜率公式來(lái)判定兩直線垂直的方法
(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二步．
(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．
(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．
利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟
2.學(xué)生反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
完成教材：第57頁(yè) 練習(xí) 第1，2題
第57 頁(yè) 習(xí)題2.1 第5,6,9,10題
備用練習(xí)1. 若直線與直線互相垂直，則a的值為（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；
【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以
解得；
故選：B
2.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0），且與直線垂直，那么直線l的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意可求出直線l的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程化簡(jiǎn)即可．
【詳解】直線l與直線垂直，
直線l的斜率為，
則，即
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的求法，考查兩直線垂直的等價(jià)條件，屬于基礎(chǔ)題．
4．已知直線l：，若直線l與直線：平行，則m的值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行得到，再排除重合的情況得到答案.
【詳解】直線l：，若直線l與直線：平行，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證滿足.
故選：C.
5.若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為
A．或B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)可得，，求解的值即可.
【詳解】解：直線與化為
所以，，解得：.
故選：B.類型
斜率存在
斜率不存在
前提條件
對(duì)應(yīng)關(guān)系
?
?兩直線的斜率都不存在
圖示
圖示
對(duì)應(yīng)
關(guān)系
若(兩直線的斜率都存在)
?則．
的斜率不存在，的斜率為0?

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.1 直線的傾斜角與斜率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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