TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc177682680" 【題型歸納】 PAGEREF _Tc177682680 \h 2
\l "_Tc177682681" 題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc177682681 \h 2
\l "_Tc177682682" 題型二：過兩條直線交點的直線系方程 PAGEREF _Tc177682682 \h 4
\l "_Tc177682683" 題型三：交點問題 PAGEREF _Tc177682683 \h 5
\l "_Tc177682684" 題型四：對稱問題 PAGEREF _Tc177682684 \h 6
\l "_Tc177682685" 題型五：兩點間的距離 PAGEREF _Tc177682685 \h 10
\l "_Tc177682686" 題型六：點到直線的距離 PAGEREF _Tc177682686 \h 11
\l "_Tc177682687" 題型七：兩平行直線間的距離 PAGEREF _Tc177682687 \h 12
\l "_Tc177682688" 題型八：距離問題的綜合靈活運用 PAGEREF _Tc177682688 \h 13
\l "_Tc177682689" 題型九：線段和與差的最值問題 PAGEREF _Tc177682689 \h 15
\l "_Tc177682690" 【重難點集訓】 PAGEREF _Tc177682690 \h 18
\l "_Tc177682691" 【高考真題】 PAGEREF _Tc177682691 \h 32
【題型歸納】
題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系
1．（多選題）（2024·高二·浙江溫州·期末）設直線：，：，下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線與不重合
B．當時，直線與相交
C．當時，
D．當時，
【答案】BD
【解析】對于A，時，若,,且時，
兩直線：，：重合，A錯誤；
對于B，聯(lián)立 ，可得,
當時，，此時方程組有唯一一組解，
故直線與相交，B正確；
對于C，時，若，則無解，
此時；
若，則有無數(shù)多組解，
此時重合，故C錯誤；
對于D，若，則由可得，
即兩直線斜率之積等于，故；
若,則可得，此時滿足，
直線：，：，
此時，
故當時，，D正確，
故選：
2．（多選題）（2024·高二·江蘇·專題練習）已知集合，集合，且，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】AD
【解析】因為集合，集合，且，
所以直線與直線平行或交于點，
當兩線平行時，；
當兩線交于點時，，解得．
綜上得a等于或2．
故選：AD．
3．（2024·高二·湖北武漢·期中）寫出使得關(guān)于的方程組無解的一個的值為 .（寫出一個即可）
【答案】，3，（寫出一個即可）
【解析】顯然，當時，不表示直線，無解，故方程組無解；
當時，由方程組可看作求兩直線（）與的交點，則方程組無解，即直線無交點，
若兩直線平行，則，解得.
若兩直線不平行時，過點，即，解得或，
此時，不過點，方程組無解.
綜上，的取值為.
故答案為：，3，（寫出一個即可）
4．（2024·高三·上海楊浦·階段練習）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為
【答案】4
【解析】若方程組有無窮多組解，
即兩條直線重合,即
,
則
故答案為：4
題型二：過兩條直線交點的直線系方程
5．（2024·高二·全國·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為 ．
【答案】
【解析】設直線l的方程為（其中為常數(shù)），即 ①．
又直線l的斜率為，則，解得．
將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．
故答案為：.
6．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為 .
【答案】
【解析】設所求直線方程為，
點在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
7．（2024·高三·全國·專題練習）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】設直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.過兩直線交點的直線方程可設為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因為它與直線x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直線為x－y＝0.
故答案為：x－y＝0.
題型三：交點問題
8．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）直線和的交點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解方程組，得，
所以所求交點坐標為.
故選：B
9．（2024·高二·安徽宿州·階段練習）若的圖象與直線有兩個不同的交點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】當時，由可得，，當時，解得；
當時，由可得，，由可知，方程的解是，
又的圖象與直線有兩個不同的交點，
所以，其中，解得；
綜上所述，.
故選：B
10．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【答案】C
【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，
∵直線和直線不平行，
∴直線和直線平行或直線和直線平行，
∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，
∴或.
故選：C.
11．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當時，，此時，不滿足題意；
當時，解方程組得，
由題知，解得，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：A
題型四：對稱問題
12．（2024·高二·全國·課堂例題）已知不同的兩點與關(guān)于點對稱，則（ ）
A．B．14C．D．5
【答案】C
【解析】因為兩點與關(guān)于點對稱，
可得，即，解得，
所以.
故選：C.
13．（2024·高二·四川遂寧·期中）若A(4，0)與B點關(guān)于點(2，1)對稱，則B點坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設，由題知，點和點的中點為，則
解得：，
所以點的坐標為
故選：B.
14．（2024·高二·北京西城·期中）點關(guān)于原點的對稱點為，則為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，
．
15．（2024·高二·四川雅安·開學考試）點關(guān)于直線對稱的點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設所求對稱點的坐標為，
則，解得，
故點關(guān)于直線對稱的點的坐標為.
故選：D.
16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線與關(guān)于點對稱，則 .
【答案】
【解析】在直線上取點，，M，N關(guān)于點對稱的點分別為.
點在直線上，
，解得，
.
故答案為：
17．（2024·高一·浙江杭州·期末）若直線和直線關(guān)于直線對稱，那么直線恒過定點 ．
【答案】
【解析】根據(jù)條件求出直線的方程，從而求得直線恒過定點的坐標直線與直線關(guān)于直線對稱，
直線的方程為，顯然經(jīng)過定點
故答案為：
18．（2024·高三·全國·專題練習）已知直線，直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程為
【答案】
【解析】在直線上任取一點，則關(guān)于的對稱點在直線上，
所以，解得，即，
將的坐標代入，得：，
所以直線的方程為.
故答案為：.
19．（2024·高二·安徽合肥·期末）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為 .
【答案】
【解析】利用所求直線上的點關(guān)于直線的對稱點在直線上求解.在所求直線上任取一點，此點關(guān)于直線的對稱點在直線上，
，即，
故答案為：.
20．（2024·高二·湖北恩施·期末）已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，即，
所以反射光線所在直線方程為，即．
故選：B．
21．（2024·高三·河南三門峽·階段練習）在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過的重心，則的周長等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解析：以為坐標原點，AB所在直線為x軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，，
所以直線的方程為.
設，點關(guān)于直線的對稱點為P1，點關(guān)于軸的對稱點為，
易得，.
易知直線就是所在的直線.
所以直線的方程為.
設的重心為，則，
所以，即，所以（舍去）或，
所以，.
結(jié)合對稱關(guān)系可知，，
所以的周長即線段的長度為：
.
故選：A.
題型五：兩點間的距離
22．（2024·高二·天津河西·階段練習）已知與兩點間的距離是17，則的值為（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【解析】由兩點間的距離公式得：，解得.
故選：D
23．（2024·高二·江西撫州·階段練習）點到直線的最大距離為（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】由題意知，
直線即，
所以該直線恒過定點，
則點到直線的最大距離即為點到定點的距離，
即.
故選：C.
24．（2024·高二·全國·階段練習）已知菱形的對角線與軸平行，，，則點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】四邊形為菱形，軸，軸，可設，
，，
解得：（舍）或，.
故選：A.
題型六：點到直線的距離
25．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）點到直線的距離等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直線方程化為，
由點到直線的距離公式得．
故選：B.
26．（2024·高二·湖南·期中）已知，，若，到直線的距離都等于，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【解析】當位于直線同側(cè)時，只有時，且兩平行線之間的距離為時，滿足條件，這樣的直線有2條；
又，
所以位于直線兩側(cè)時，只有當直線恰為直線的中垂線時，滿足條件，此時的直線有1條.
綜上所述，滿足條件的直線共有3條.
故選：C．
27．（2024·吉林·三模）已知兩點到直線的距離相等，則（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】D
【解析】（1）若在的同側(cè)，
則，所以，，
（2）若在的異側(cè)，
則的中點在直線上，
所以解得,
故選:D.
28．（2024·高二·山西朔州·階段練習）已知直線過點且與點，等距離，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】解析：設所求直線的方程為，即，
由已知及點到直線的距離公式可得，
解得或，
即所求直線方程為或.
故選:D.
題型七：兩平行直線間的距離
29．（2024·高二·浙江·期中）直線與之間的距離相等，則直線的方程是 .
【答案】
【解析】顯然直線平行，所以要求的直線也與平行，設直線的方程為，
則由平行線間的距離公式得，解得，
所以直線的方程為.
故答案為：.
30．（2024·高一·重慶沙坪壩·期末）若兩條平行直線：與：間的距離為2，則 .
【答案】或
【解析】由題意可得：，解得或.
故答案為：或.
31．（2024·高二·天津和平·階段練習）若兩條平行直線與之間的距離為，則 .
【答案】11或
【解析】直線，即，
直線與平行，
，解得，
直線與的距離為，
，解得或
故答案為：11或
32．（2024·高二·北京朝陽·期中）到直線的距離等于的直線方程為 .
【答案】或
【解析】設所求直線方程為，
由 ，得或,
所以所求的直線方程為或，
故答案為：或
題型八：距離問題的綜合靈活運用
33．（2024·高一·山東濱州·競賽）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.請你運用數(shù)形結(jié)合的思想，得出函數(shù)的最大值為 .
【答案】
【解析】因為，
所以它表示點到點和的距離之差，如圖所示：
因為，
所以的最大值為.
故答案為：.
34．（2024·高二·廣東揭陽·期中）函數(shù)的最小值是 .
【答案】
【解析】函數(shù)，
即為點至和的距離之和，
點關(guān)于軸對稱的點為，
所以,
由圖形易得最小值為.
故答案為: .
35．（2024·高二·上海浦東新·期中）已知x，y為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是 ．
【答案】5
【解析】即，幾何意義為點與點的距離；
即，幾何意義為點與點的距離；
即，幾何意義為點與點的距離，
分別作關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于軸的對稱點，
連接，則，
∴
，
當且僅當分別為與軸，軸的交點時，等號成立，
故答案為：5.
36．（2024·高二·浙江溫州·期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事修．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最大值為 ．
【答案】
【解析】，
可轉(zhuǎn)化成x軸上一點到點的距離與到點的距離之差.
，
所以的最大值為.
故答案為：
題型九：線段和與差的最值問題
37．（2024·高二·浙江金華·期中）已知兩直線.
(1)求過兩直線的交點，且垂直于直線的直線方程；
(2)已知兩點，動點在直線運動，求的最小值.
【解析】（1）聯(lián)立，解得，
因為所求直線垂直于直線，所以所求直線的斜率為；
故所求直線方程為，即
（2）設點關(guān)于直線對稱的點為，
，解得
則，
故的最小值為.
38．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標．
【解析】點關(guān)于x軸的對稱點為,如圖所示，若點不在直線上則,
連接并延長交x軸于點P，即為最大值．
直線的方程是，
即.
令，得．
則點P的坐標是.
39．（2024·高二·江蘇·專題練習）已知點，直線．
(1)在上求一點，使的值最?。?br>(2)在上求一點，使的值最大．
【解析】（1）由題意知，點、在直線的同一側(cè)．
由平面幾何的知識可知，先作出點關(guān)于直線的對稱點，
然后連接，則直線與的交點為所求．
設，則且，
解得，，，
直線的方程為．
由，解得，
即為所求；
（2）連接，則與直線的交點即為所求，
易得直線的方程為，
聯(lián)立，解得，
即為所求．
40．（2024·高一·上海閔行·階段練習）已知點和點，在直線上有一個點，滿足最小，則的最小值是
【答案】5
【解析】由于在上，所以點關(guān)于直線的對稱點為，所以的最小值為.
故填：.
【重難點集訓】
1．（2024·高二·山東濰坊·階段練習）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】直線的方程可化為，
聯(lián)立，解得，
所以直線經(jīng)過定點，
當時，點到直線的距離最大，最大距離為，
因為直線的斜率，，
所以直線的斜率，
所以，
所以，
所以，故，
所以直線的方程為.
故選：C.
2．（2024·高二·江蘇南通·開學考試）點P在直線上運動，，則的最大值是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解析】設關(guān)于的對稱點為，
則，解得，即
故,
,
當且僅當，三點共線時，等號成立.
故選：A
3．（2024·江西上饒·模擬預測）已知，，則的最小值等于（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【解析】令，，由已知可得點，分別在直線，上，
設線段的中點為，則，
到原點的距離，
依題意點在直線上，
所以點到原點的最小距離即為原點到直線的距離，為，
因此的最小值為，因此的最小值等于.
故選：D.
4．（2024·高二·陜西西安·開學考試）直線：與直線：的距離是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】直線：化為，
又直線：，所以，
所以直線與直線的距離是.
故選：A.
5．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線 ， 一束光線從原點 出發(fā)沿射線 向直線 射出， 經(jīng) 反射后與 軸交于點 ， 再次經(jīng) 軸反射后與 軸交于點 . 若 ， 則 的值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
如圖，設點關(guān)于直線的對稱點為，
則得，即，
由題意知與直線不平行，故，
由，得，即，
故直線的斜率為，
直線的直線方程為：，
令得，故，
令得，故由對稱性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，則第二次反射后光線不會與軸相交，故不符合條件．
故，
故選：B.
6．（2024·高二·天津和平·期末）設點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由直線可得，
所以直線與直線平行，
所以PQ的最小值為直線與直線距離，
所以.
故選：C.
7．（2024·高二·江蘇·單元測試）在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點P，則當實數(shù)變化時，點P到直線的距離的最大值為( )
A．B．
C．3D．
【答案】D
【解析】當時，，所以交點，所以；
當時，由解得，所以，
所以到的距離，
若，則，當且僅當時取等號，
若，則，當且僅當時取等號，
所以，所以，
所以，所以的最大值為，
綜上可知，點P到直線的距離的最大值為，
故選：D.
8．（2024·高二·山東棗莊·階段練習）已知點，直線，點在直線上，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】
如圖，作出點關(guān)于直線的對稱點，連接延長交直線于點,此時點使取得最大值.
(原因如下：根據(jù)點關(guān)于直線的對稱圖形特征，知,此時,
在直線上另取點,連接,則,)
不妨設點，則有：解得：即,
故
故選：C.
9．（多選題）（2024·高二·山東濟南·階段練習）一光線過點，經(jīng)傾斜角為的且過的直線反射后過點，則反射后的光線還經(jīng)過下列哪些點（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】傾斜角為的且過的直線 的方程為，即.
設點關(guān)于直線的對稱點，
則有，即，解得，即.
于是反射后的光線所在的直線方程為，即.
對于A：在l的左側(cè)，反射光線（射線）不經(jīng)過該點，故A錯誤；
對于B：時，故B正確；
對于C：時，故C正確；
對于D：時，故D錯誤；
故選：BC.
10．（多選題）（2024·高二·河北石家莊·階段練習）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點P到坐標原點O的距離可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】令Ax1,y1、Bx2,y2分別在直線：與：上，
設AB的中點M的坐標為，則有：
，兩式相加得：，
所以，則原點到該直線的距離，大于該值的都有可能.
故選：CD
11．（多選題）（2024·高二·陜西·開學考試）已知平行四邊形的三條邊所在直線的方程分別是，的交點為的交點為，且平行四邊形的面積為5，則（ ）
A．的坐標為
B．的坐標為
C．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為
D．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為
【答案】BCD
【解析】由,解得，所以,
由,解得，所以,故A錯誤，B正確，
由于，故，且之間的距離為，
根據(jù)平行四邊形的面積為5，所以,故，
設：，則，
在上，所以，
又，
解得或，
所以直線方程可能為，和，CD正確，
故選：BCD
12．（2024·高二·江蘇·專題練習）已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值范圍是 .
【答案】
【解析】聯(lián)立兩條直線的方程，
解得交點的坐標為，
∴，
由，故得的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知實數(shù)滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】由題可知，表示的是
直線0上一點到定點的距離之差．
如圖，設點關(guān)于直線對稱的點為，
則，解得，
當三點共線時，最大，
即最大，最大值為，
所以的最大值為．
故答案為：．
14．（2024·高二·廣東廣州·期中）設直線，一束光線從原點出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點．若，則的值為 .
【答案】/0.5
【解析】設點關(guān)于的對稱點為，
則，解得，故，
設，
因為，所以，
則，則，
設點關(guān)于軸的對稱點為，
則直線的方程為，
由對稱性可得在直線上，即，
解得，
故直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線，
，解得，
所以，將代入中，
.
故答案為：
15．（2024·山東煙臺·三模）在平面直角坐標系中，若定義兩點和之間的“t距離”為，其中表示p，q中的較大者，則點與點之間的“t距離”為 ；若平面內(nèi)點和點之間的“t距離”為，則A點的軌跡圍成的封閉圖形的面積為 .
【答案】 4
【解析】第一空：點與點之間的“t距離”為
；
第二空：若平面內(nèi)點和點之間的“t距離”為，
則，
不妨設，解得或，此時，即，
由對稱性可知，當或時，，如圖所示：
，所以A點的軌跡就是正方形的四條線段，
則A點的軌跡圍成的封閉圖形的面積為.
故答案為：；4.
16．（2024·高二·江蘇泰州·階段練習）已知點，，點在直線上，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖所示，
設點關(guān)于直線的對稱點為，則，
解得，即，
所以，等號成立當且僅當點與點重合，其中點為與直線的交點.
故答案為：.
17．（2024·高二·四川內(nèi)江·期中）已知的頂點邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.
(1)求直線的方程和點C的坐標；
(2)求的面積．
【解析】（1）由點在上，設點的坐標是，則的中點在直線上，
于是，解得，即點，
設關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，即，
顯然點在直線上，直線的斜率為，
因此直線的方程為，即，
由，解得，則點，
所以直線的方程為，點C的坐標為.
（2）由（1）得，點到直線的距離，
所以的面積.
18．（2024·高二·天津南開·期中）已知直線與直線．
(1)當m為何值時，與相交；
(2)當m為何值時，與平行，并求與的距離；
(3)當m為何值時，與垂直．
【解析】（1）由直線與相交，則，解得且.
（2）由直線與平行，則，解得，
所以此時直線，，
所以與的距離為.
（3）由直線與垂直，則，解得或.
19．（2024·高二·上海·課后作業(yè)）如圖，OAB是一張三角形紙片，，，，設與、的交點分別為、，將沿直線折疊后，使落在邊上的點處．設，試用表示點到距離．
【解析】以為原點，邊所在的直線分別為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設，因為，所以．
連接，因為點與點對稱，所以．
當時，直線的斜率不存在，此時直線的方程為，點到的距離為．當時，．因為的中點為，
從而直線的方程為，
即．①
又直線的方程為，②
由①②解得，即點的橫坐標為，
所以點到距離為.
當時也滿足上式．
所以點到距離為.
20．（2024·高二·上海·隨堂練習）如圖，已知，，，直線：．
(1)求直線經(jīng)過的定點坐標；
(2)若，李老師站在點用激光筆照出一束光線，依次由（反射點為）、（反射點為）反射后，光斑落在點，求入射光線的直線方程．
【解析】（1）由直線：，即，
令，解得，
故直線恒過定點；
（2）設關(guān)于的對稱點，則，
關(guān)于的對稱點，
由直線的方程為，即，
所以，解得，
所以，
由題意得、、、四點共線，，
由對稱性得，
所以入射光線的直線方程為，
即．
【高考真題】
1．（2003 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（全國卷））直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設為直線關(guān)于x軸對稱的直線方程上任意一點，則
關(guān)于x軸對稱的點在直線上，
即有，滿足直線方程，
即， 化簡得，.
故選：C.
2．（2004 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（湖北卷））已知點和．直線與線段的交點M分有向線段的比為，則m的值為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】設，且，
則，得，解得：,
代入直線，，得.
故選：D
3．（1990年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（全國卷））如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在上取一點，
則由題意可得其關(guān)于直線的對稱點在上，
所以，得，
在上取一點，
則其關(guān)于直線的對稱點在上，
所以，得，
綜上，
故選：A
4．（2003 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（全國卷））已知點到直線的距離為，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得．
解得或．，．
故選：C.
5．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為，
則其關(guān)于點對稱的點的坐標為，
因為點在直線上，
所以即.
故選：D.
6．（2004 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（安徽卷））已知直線．若直線與關(guān)于l對稱，則的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出直線，l的交點在直線上，在直線上任取一點，求出此點關(guān)于直線l的對稱點也在直線上，根據(jù)兩點坐標求出斜率，即可求出直線的方程.若直線與關(guān)于l對稱，則直線，l的交點在直線上，
即，解得：
在直線上任取一點關(guān)于直線l對稱的點為，則點B在直線上，
由A,B兩點可知，直線的斜率為，則直線的方程為：
即
故選：C
7．（2008 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（大綱卷 Ⅱ））原點到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由點到直線距離可知所求距離.
故選：D
8．（2006 年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（上海卷））如圖，平面中兩條直線和相交于點O.對于平面上任意一點M，若p?q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負實數(shù)對是點M的“距離坐標”.根據(jù)上述定義，“距離坐標”是的點的個數(shù)是 .
【答案】4
【解析】
作直線，與直線平行，且與直線的距離為1，作直線，與直線平行，且與直線的距離為2，
由圖可得，，，，有4個交點，即“距離坐標”是的點個數(shù)為4.
故答案為：4.
9．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學（全國卷Ⅰ））若直線m被兩平行線與所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號是 (寫出所有正確答案的序號)．
【答案】①⑤
【解析】因為，所以直線，間的距離．
設直線m與直線，分別相交于點B，A，
則，
過點A作直線l垂直于直線，垂足為C，
則，
則在中，，
所以，
又直線的傾斜角為45°，
所以直線m的傾斜角為或．
故答案為：①⑤．

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2.3 直線的交點坐標與距離公式

版本： 人教A版 (2019)

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